n********g
发帖数: 6504 | 1 不用加减乘除如何描述实数？
From: 哆嗒数学网 哆嗒数学网 Today
本文编译自 @downwardsLST 的推特账号
编译作者，Math001
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有很多定义实数的办法，他们之中很多都是等价的。但是，如果我想放弃所有的代数结
构，只是使用序结构来定义，会怎么样呢？(就是说只考虑大小关系，不考虑加减乘除
之类的运算)。首先，我需要一个全序集——这样的集合里任意两个元素都可以比较大
小。
自然数就是那样的集合，而且每个自然数都有一个后继。但是，我们想让自然没有端点
，于是我们加入“没有最大元素和最小元素”这样的条件。好了，这样整数就诞生了。
但是，这样的集合有太多的缝隙，每两个连续的整数间都有缝隙。
我们需要填补这些缝隙，于是需要打破每个整数都有前驱或后继这样的状态。于是，我
们这样要求，要求任意两个不同元素之间都有另外一个元素：这个性质叫做(序)稠密性。
看吧：有理数就是稠密的。但是，有理数仍然有很多“小洞”。为了填补这些洞我们要
求“完备性”：每一个有界子集都有上确界和下确界。实数就满足这样的性质，填补那
些洞的数叫做无理数。
但是，我们还要现在我们得到的实数不能“太散了”，所以还需要加入条件：如果有一
串开区间两两不交，那么这一串开区间至多可数。所以有个问题是这样的：以上的这些
性质是不是就能刻画实数？
这就是“舒斯林假设”( Suslin Hypothesis, 简称SH)。舒斯林假设说：如果一个有序
集合满足之前说的所有条件，那么他是否和实数（通常意义的实数）是同构的（这里指
序同构）。
你也许已经猜到了：苏斯林假设在ZFC公理体系下不可判定。 |
T*******x
发帖数: 8565 | 2 谢谢。这篇讲的不错。
上次那个代数定义方法我忘了有没有上下确界的假设，我记得好像没有。那个是从有限
代数运算都方法定义的，好像不涉及无穷。
这么点要求就够了吗？那我需要的实数加减乘除的性质从哪里来啊？我觉得不够。
所谓在一个公理体系下不可判定，这个我理解不确。我的初等理解就是它不和公理体系
矛盾。嗯，这是必要条件。
【在 n********g 的大作中提到】
: 不用加减乘除如何描述实数？
: From: 哆嗒数学网 哆嗒数学网 Today
: 本文编译自 @downwardsLST 的推特账号
: 编译作者，Math001
: 关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文
: 有很多定义实数的办法，他们之中很多都是等价的。但是，如果我想放弃所有的代数结
: 构，只是使用序结构来定义，会怎么样呢？(就是说只考虑大小关系，不考虑加减乘除
: 之类的运算)。首先，我需要一个全序集——这样的集合里任意两个元素都可以比较大
: 小。
: 自然数就是那样的集合，而且每个自然数都有一个后继。但是，我们想让自然没有端点
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n********g
发帖数: 6504 | 3 我觉得作为现代人，特别是言必出科学的人，必要的科普常识还是需要了解。至少编故
事猜原理可以少闹笑话。不然就是现代人造永动机。
这些东西并不新，撕逼撕了几千年。到最后，具有“良好”性质的仍然是可数集。而实
数是不可数的，优良性质一样都没有。
很多现实问题，特别是物理问题可以归结到可数和不可数问题。不可数的东西其实物理
上观察不到。计算也算不出来。哲学上是否存在只能靠定义。
闲得没事干有兴趣的可以深入研究。对我们大CS而言也不那么没用。很多最新的成果都
出现在计算机（编程语言）里，连名词都照搬，如类（class），类型等等。
我这几年想打通时间复杂性和空间复杂性这任督二脉。还没有灵感。不过在外围转圈的
时候细思恐极，发现这些谱系和康托尔的超限数谱系一样。会不会是变形的连续统问题
也不可知。
用相同方法定义出来的东西，最终掉一个坑里也不奇怪。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 谢谢。这篇讲的不错。
: 上次那个代数定义方法我忘了有没有上下确界的假设，我记得好像没有。那个是从有限
: 代数运算都方法定义的，好像不涉及无穷。
: 这么点要求就够了吗？那我需要的实数加减乘除的性质从哪里来啊？我觉得不够。
: 所谓在一个公理体系下不可判定，这个我理解不确。我的初等理解就是它不和公理体系
: 矛盾。嗯，这是必要条件。
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T*******x
发帖数: 8565 | 4 一个集合和它的幂集就不能一一对应，所以可数集的幂集就不能是可数的，所以这个东
西还是存在的，或者说这里面有一个东西值得描述。
【在 n********g 的大作中提到】
: 我觉得作为现代人，特别是言必出科学的人，必要的科普常识还是需要了解。至少编故
: 事猜原理可以少闹笑话。不然就是现代人造永动机。
: 这些东西并不新，撕逼撕了几千年。到最后，具有“良好”性质的仍然是可数集。而实
: 数是不可数的，优良性质一样都没有。
: 很多现实问题，特别是物理问题可以归结到可数和不可数问题。不可数的东西其实物理
: 上观察不到。计算也算不出来。哲学上是否存在只能靠定义。
: 闲得没事干有兴趣的可以深入研究。对我们大CS而言也不那么没用。很多最新的成果都
: 出现在计算机（编程语言）里，连名词都照搬，如类（class），类型等等。
: 我这几年想打通时间复杂性和空间复杂性这任督二脉。还没有灵感。不过在外围转圈的
: 时候细思恐极，发现这些谱系和康托尔的超限数谱系一样。会不会是变形的连续统问题
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n********g
发帖数: 6504 | 5 知道并能使用可数不可数这对概念的，在博士里都已经凤毛麟角了。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 一个集合和它的幂集就不能一一对应，所以可数集的幂集就不能是可数的，所以这个东
: 西还是存在的，或者说这里面有一个东西值得描述。
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D*******8
发帖数: 1 | |
T*******x
发帖数: 8565 | 7 哪有。这是数学的基本概念。
【在 n********g 的大作中提到】
: 知道并能使用可数不可数这对概念的，在博士里都已经凤毛麟角了。
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