x****u
发帖数: 44466 | 1 这会给小孩一种错觉，一个小数只要无限没循环就一定是无理数
然后让他算调和级数就傻眼了。。。 |
w**d
发帖数: 2334 | 2 压根就不是一个数，不需要算
【在 x****u 的大作中提到】
: 这会给小孩一种错觉，一个小数只要无限没循环就一定是无理数
: 然后让他算调和级数就傻眼了。。。
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x***1
发帖数: 999 | 3 不知道无理数和调和级数有啥联系？
【在 x****u 的大作中提到】
: 这会给小孩一种错觉，一个小数只要无限没循环就一定是无理数
: 然后让他算调和级数就傻眼了。。。
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x***1
发帖数: 999 | 4 当年班上有个帅哥，会证明分数是无限循环小数，几个女生好奇，围着他让他讲，他讲
了一遍又一遍，没有一个听得懂的，但无限不循环到是记住了。
你的问题是想问无限多个到底有多少个？无穷大有多大？
【在 x****u 的大作中提到】
: 这会给小孩一种错觉，一个小数只要无限没循环就一定是无理数
: 然后让他算调和级数就傻眼了。。。
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x****u
发帖数: 44466 | 5 如果错误地讲了无限不循环这个定义，就会有人算
我当年很多同学都算，人家不信啊。。。
【在 w**d 的大作中提到】
: 压根就不是一个数，不需要算
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x****u
发帖数: 44466 | 6 调和级数如果用数学归纳法可以证明其无限不循环，但这东西发散不是无理数
【在 x***1 的大作中提到】
: 不知道无理数和调和级数有啥联系？
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r*g
发帖数: 3159 | 7 调和级数连整数位都会变来变去，确定不了，它就不是一个数，不能说是无限不循环小
数。拿这个当反例是多虑了。
【在 x****u 的大作中提到】
: 调和级数如果用数学归纳法可以证明其无限不循环，但这东西发散不是无理数
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w**d
发帖数: 2334 | 8 都不收敛的东西怎么能算？在那计算来计算去的多半是初高中生，应该是概念模糊导致的
【在 r*g 的大作中提到】
: 调和级数连整数位都会变来变去，确定不了，它就不是一个数，不能说是无限不循环小
: 数。拿这个当反例是多虑了。
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x****u
发帖数: 44466 | 9 所以说不要给小孩过早的灌输一个错误的“无限”概念
所谓无理数，就是无法用分数表示的数。分数有两种，一种可以用有限小数表示，一种
不可以，后者如果试图计算小数，会出现循环。
这些用小学知识都能说通
致的
【在 w**d 的大作中提到】
: 都不收敛的东西怎么能算？在那计算来计算去的多半是初高中生，应该是概念模糊导致的
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x****u
发帖数: 44466 | 10 问题是你用小学方法证明不了
错误的概念必然可以被利用了当陷阱
【在 r*g 的大作中提到】
: 调和级数连整数位都会变来变去，确定不了，它就不是一个数，不能说是无限不循环小
: 数。拿这个当反例是多虑了。
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w**d
发帖数: 2334 | 11 还在说这个是错误的概念。。。
压根就是教育的不对，还过几周我就要给几个四年级的孩子讲这个定义，不认为有任何
问题。
你这个调和级数的事，根本的原因是小孩子压根没有搞懂级数收敛的意思，在那瞎算。
【在 x****u 的大作中提到】
: 所以说不要给小孩过早的灌输一个错误的“无限”概念
: 所谓无理数，就是无法用分数表示的数。分数有两种，一种可以用有限小数表示，一种
: 不可以，后者如果试图计算小数，会出现循环。
: 这些用小学知识都能说通
:
: 致的
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t******l
发帖数: 10908 | 12 希尔伯特旅馆其实也不收敛的。无穷大加一不一定等于无穷大，我完全可以 argue 希
尔伯特旅馆在任何时候都多一个旅客排不下，一直到无穷远的将来。
至于希尔伯特的让所有旅客往后移动一个房间的办法，这个问题是所有旅客是同时移动
，还是一个一个按先后顺序移动。
如果是一个一个按顺序移动的话，时间轴说了，所有因果关系或者先后顺序的操作，不
可能 take zero time。所以永远都移不完。既然永远都移不完，新旅客就永远都排不
到房间。
那如果是所有旅客同时移动的话，空间轴和超炫理论说了说了，任何两超弦不可能占据
相同的空间和相同的状态。爱因斯坦也说了，奇点也得有个视界，于是就发生了把同步
信号送到无穷远处的问题。然后爱因斯坦说了句：speed of light。可怜的新旅客还是
没排到房间。
：都不收敛的东西怎么能算？在那计算来计算去的多半是初高中生，应该是概念模糊导
致的 |
x****u
发帖数: 44466 | 13 无限这玩意不要乱讲
数学家都走了千年弯路，小孩基本绕不过去
一种
【在 w**d 的大作中提到】
: 还在说这个是错误的概念。。。
: 压根就是教育的不对，还过几周我就要给几个四年级的孩子讲这个定义，不认为有任何
: 问题。
: 你这个调和级数的事，根本的原因是小孩子压根没有搞懂级数收敛的意思，在那瞎算。
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w**d
发帖数: 2334 | 14 就是数学和实际脱节。。。。
【在 t******l 的大作中提到】
: 希尔伯特旅馆其实也不收敛的。无穷大加一不一定等于无穷大，我完全可以 argue 希
: 尔伯特旅馆在任何时候都多一个旅客排不下，一直到无穷远的将来。
: 至于希尔伯特的让所有旅客往后移动一个房间的办法，这个问题是所有旅客是同时移动
: ，还是一个一个按先后顺序移动。
: 如果是一个一个按顺序移动的话，时间轴说了，所有因果关系或者先后顺序的操作，不
: 可能 take zero time。所以永远都移不完。既然永远都移不完，新旅客就永远都排不
: 到房间。
: 那如果是所有旅客同时移动的话，空间轴和超炫理论说了说了，任何两超弦不可能占据
: 相同的空间和相同的状态。爱因斯坦也说了，奇点也得有个视界，于是就发生了把同步
: 信号送到无穷远处的问题。然后爱因斯坦说了句：speed of light。可怜的新旅客还是
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t******l
发帖数: 10908 | 15 这个问题的本质在于，无穷大加一的意义，要取决于上下文。
就好比对于 ( 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... )，“无穷大加一” 确实等于 “无穷大”
，因为收敛。（或者我个人的说法就是 temporal reachable by approximation）。
而对于 ( 1 - 1 + 1 - 1 ... )，“无穷大加一” 永远跟 “无穷大” 相差一，永远
是白天不懂夜的黑，传说中的男厕所和女厕所的距离。说白了就是不收敛（或者我个人
的说法就是 temporal unreachable even by approximation）。
：希尔伯特旅馆其实也不收敛的。无穷大加一不一定等于无穷大，我完全可以 argue 希
：尔伯特旅馆在任何时候都多一个旅客排不下，一直到无穷远的将来。 |
w**d
发帖数: 2334 | 16 关键还是每人都有房间住的定义：按常识或你上面的说法得都搬进搬出搞定了才算，而
数学上只要每个人对应个不同的房间就行了，鬼才管你有没有时间搬完。
问题的核心还是出在无穷大上，这不是个数字，只是一个符号而已。
希
【在 t******l 的大作中提到】
: 这个问题的本质在于，无穷大加一的意义，要取决于上下文。
: 就好比对于 ( 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... )，“无穷大加一” 确实等于 “无穷大”
: ，因为收敛。（或者我个人的说法就是 temporal reachable by approximation）。
: 而对于 ( 1 - 1 + 1 - 1 ... )，“无穷大加一” 永远跟 “无穷大” 相差一，永远
: 是白天不懂夜的黑，传说中的男厕所和女厕所的距离。说白了就是不收敛（或者我个人
: 的说法就是 temporal unreachable even by approximation）。
:
: ：希尔伯特旅馆其实也不收敛的。无穷大加一不一定等于无穷大，我完全可以 argue 希
: ：尔伯特旅馆在任何时候都多一个旅客排不下，一直到无穷远的将来。
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t******l
发帖数: 10908 | 17 数学一向是被认为 ”抽象“，不用受 ”实际“ 所束缚，只要 “逻辑” 正确就是数
学。这本身没错。
但我上例子里提到的 “实际”，跟一般所说的 “实际” 是有本质区别的。。。我上
面所依据的 “实际”，不是只 cosmos 本身，而是 the fabric of cosmos：the
space-time。
而现在的问题是，现代数学家所提到的 “逻辑”，都逃不掉基于 “先因后果” 的因
果律。。。而 “因果律” 不过是时间轴（temporal axis）在 monkey brain 里的幻
影。。。那如果数学脱离了 temporal axis，也就是脱离了因果律的根基，那这个,所
谓的证明本身就不存在逻辑。。。或者说，illogical proof。。。
：就是数学和实际脱节。。。。 |
t******l
发帖数: 10908 | 18 这不是理论上有多少时间搬完的问题，这是希尔伯特没有意识到他的 proof 的根基 “
先因后果的因果律“，是基于时间轴而存在的。而当他在希尔伯特旅店问题里 proof
到无限的时候，他必须把时间轴压成一个奇点。而时间轴一旦被压成奇点，因果律本身
，或者说，逻辑本身，已经不存在了。
或者说，你说的 “对应“，不管是说成 mapping / indexing 也好，都得对应到 “自
然数集” 上。。。而 自然数集 是基于 axiom of infinity（如果用 ZFC set theory
的话）。。。而 axiom of infinity 本质上是一个 recursive statement。。。而
recursive statement 就要求因果律的存在，以及时间轴不能被压成一个奇点。
：关键还是每人都有房间住的定义：按常识或你上面的说法得都搬进搬出搞定了才算，
而数学上只要每个人对应个不同的房间就行了，鬼才管你有没有时间搬完。 |
t******l
发帖数: 10908 | 19 或者简单的说，这不是现代数学跟 “实际” 脱节。这是现代数学跟 “逻辑” 脱节。
。。因为 monkey brain 所认知的 “逻辑”，其实是 “先因后果的因果律” 以及 “
没有被压成奇点的时间轴” 所产生的 sensory illusion 和 cognitive delusion。。
。 |
t******l
发帖数: 10908 | 20 或者更简单的说，所谓的 “逻辑”（数学逻辑），不过就是猴子所认知的无数种坑爹
pattern 里的一种。
而不管是欧几里德、希尔伯特还是 cantor 高斯啥的，目前还没见过任何一个数学家能
搞出彻底独立于 space-time 的 pattern。。。如果不服的话，把随便谁给扔黑洞里，
或者扔到宇宙大爆炸之前，看看还能不能再写一次证明。
所以爱因斯坦很知趣地给奇点包个视界，而宇宙大爆炸理论也很肚明地给时间一个起点
。。。这不一定就是说黑洞的视界里面，或者宇宙大爆炸之前，是一无所有。。。而是
说，猴子们还是先把“因果律”/“时间之箭”给搞搞清楚先，再来讨论不基于 space-
time 的 pattern，也不至于搞出痔疮。。。
：或者简单的说，这不是现代数学跟 “实际” 脱节。这是现代数学跟 “逻辑” 脱节
。。。因为 monkey brain 所认知的 “逻辑”，其实是 “先因后果的因果律” 以及
“没有被压成奇点的时间轴” 所产生的 sensory illusion 和 cognitive delusion。
。。 |
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|
h*****m
发帖数: 1034 | 21 还在吵这个呀？ : )
严谨的数学定义是一回事，如何教给小孩是一回事，多大的小孩又是一回事。教育小孩
要与他的认知能力相适应。
如果你说的“小孩”是数学专业的学生，那自然不必说了。
可在另一贴里你第一次提出这个问题的时候，说的是小学里的“二逼老师”误人子弟。
那对于小学生你打算怎么解释“无理数“这个概念？还是说为了避免误导其中极小比例
可能成为数学家的学生，就根本就不讲。当别的孩子说圆周率是3.1415926...并用它来
计算圆周长时，你教的学生说“圆周率是一个无法用123这些数字表示的数"。那一种更
“误人子弟“？
用前沿的科学观念来说，小学中学学的那些科学知识全都不准确（或者说不严谨），要
说那些老师都是“二逼“，实在是不厚道啊不厚道。。
说到这，想起前两天儿子问我关于颜色的问题，我抓了一把各种颜色的cereal，让他把
除了绿色的都吃掉，然后告诉他说光里面有各种颜色的小粒粒，一个东西把其它颜色的
吸收了，只留下绿色的反射到我们眼睛里，我们就认为那个东西是绿色的。
跟小学老师讲无理数相比，我这不知道“二逼”到哪里去了啊，不禁汗流浃背。。。
【在 x****u 的大作中提到】
: 这会给小孩一种错觉，一个小数只要无限没循环就一定是无理数
: 然后让他算调和级数就傻眼了。。。
|
h*****m
发帖数: 1034 | 22 光是粒子还是波，科学家也吵了好几百年。
小孩子问我个他看起来很简单的颜色问题，我给他讲一通波粒二象性和量子力学，你觉
得这样好吗？
或者说我现在拿粒子论误导了他，他将来会在理解波粒二象性时有绕不过去的坎？
【在 x****u 的大作中提到】
: 无限这玩意不要乱讲
: 数学家都走了千年弯路，小孩基本绕不过去
:
: 一种
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t******l
发帖数: 10908 | 23 反过来说，对于数学哲学方面的问题，可以教给娃结论，但犯不着下定论。
或者说，对娃娃的教育而言，在数学哲学方面的问题，提到就可以了。就好比只要
AIME 心算填空题能做对，就不要太在意娃是咋做出来的，只要别像高中数学老师那样
先看答案后作弊就成。
或者再退一步，如果希尔伯特的有关无限的数学哲学思想是不可被怀疑的，那我们还要
理论数学系干嘛。。。改个名字叫希尔伯特神学院很难么？
：光是粒子还是波，科学家也吵了好几百年。
： |
h*****m
发帖数: 1034 | 24 历史上有毕达哥拉斯神学院。。
【在 t******l 的大作中提到】
: 反过来说，对于数学哲学方面的问题，可以教给娃结论，但犯不着下定论。
: 或者说，对娃娃的教育而言，在数学哲学方面的问题，提到就可以了。就好比只要
: AIME 心算填空题能做对，就不要太在意娃是咋做出来的，只要别像高中数学老师那样
: 先看答案后作弊就成。
: 或者再退一步，如果希尔伯特的有关无限的数学哲学思想是不可被怀疑的，那我们还要
: 理论数学系干嘛。。。改个名字叫希尔伯特神学院很难么？
:
: ：光是粒子还是波，科学家也吵了好几百年。
: ：
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x****u
发帖数: 44466 | 25 无理数有很简单的定义，不能表示为分数。这个一点也不难，讲不明白是老师太蠢。
如果pi是分数，圆就等于多边形，这玩意老祖宗的都清楚，你还想怎么样？
不能因为小孩理解力差，就把大人的偏见教给他们。
谁说小学中学学的科学不准确了？老师只要认真上过大学没偷懒，肯定可以把这些概念
给小孩讲清楚。
【在 h*****m 的大作中提到】
: 还在吵这个呀？ : )
: 严谨的数学定义是一回事，如何教给小孩是一回事，多大的小孩又是一回事。教育小孩
: 要与他的认知能力相适应。
: 如果你说的“小孩”是数学专业的学生，那自然不必说了。
: 可在另一贴里你第一次提出这个问题的时候，说的是小学里的“二逼老师”误人子弟。
: 那对于小学生你打算怎么解释“无理数“这个概念？还是说为了避免误导其中极小比例
: 可能成为数学家的学生，就根本就不讲。当别的孩子说圆周率是3.1415926...并用它来
: 计算圆周长时，你教的学生说“圆周率是一个无法用123这些数字表示的数"。那一种更
: “误人子弟“？
: 用前沿的科学观念来说，小学中学学的那些科学知识全都不准确（或者说不严谨），要
|
x****u
发帖数: 44466 | 26 你告诉小孩光是物质，肯定没错，波动性你确定小学生理解的了？你让小孩分析个机械
波看看？
【在 h*****m 的大作中提到】
: 光是粒子还是波，科学家也吵了好几百年。
: 小孩子问我个他看起来很简单的颜色问题，我给他讲一通波粒二象性和量子力学，你觉
: 得这样好吗？
: 或者说我现在拿粒子论误导了他，他将来会在理解波粒二象性时有绕不过去的坎？
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x****u
发帖数: 44466 | 27 那就变成宗教了
科学的基础是逻辑而不应该是信仰
【在 t******l 的大作中提到】
: 反过来说，对于数学哲学方面的问题，可以教给娃结论，但犯不着下定论。
: 或者说，对娃娃的教育而言，在数学哲学方面的问题，提到就可以了。就好比只要
: AIME 心算填空题能做对，就不要太在意娃是咋做出来的，只要别像高中数学老师那样
: 先看答案后作弊就成。
: 或者再退一步，如果希尔伯特的有关无限的数学哲学思想是不可被怀疑的，那我们还要
: 理论数学系干嘛。。。改个名字叫希尔伯特神学院很难么？
:
: ：光是粒子还是波，科学家也吵了好几百年。
: ：
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r*g
发帖数: 3159 | 28 如果pi是分数，圆就等于多边形?
可以看看pi是无理数的证明，哪个都没这么简单,而且一个都没有用到园的多边形逼近
。这个逻辑跳跃大了。
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
【在 x****u 的大作中提到】
: 无理数有很简单的定义，不能表示为分数。这个一点也不难，讲不明白是老师太蠢。
: 如果pi是分数，圆就等于多边形，这玩意老祖宗的都清楚，你还想怎么样？
: 不能因为小孩理解力差，就把大人的偏见教给他们。
: 谁说小学中学学的科学不准确了？老师只要认真上过大学没偷懒，肯定可以把这些概念
: 给小孩讲清楚。
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x***1
发帖数: 999 | 29 你这种定义，会产生很多问题：
孩子有可能问：不能表示为分数的数到底是一个什么样的数？
还有可能问：无理数和分数有什么区别？
还有可能问：不能表示为分数的数都是无理数数吗？
还有可能问：为什么无理数不能表示为分数？
还有可能问：sqrt2/2是分数吗？
还有可能问：Pi不就表示为分数之和了吗？
当然”无限不循环小数“对小孩也不好解释。
【在 x****u 的大作中提到】
: 无理数有很简单的定义，不能表示为分数。这个一点也不难，讲不明白是老师太蠢。
: 如果pi是分数，圆就等于多边形，这玩意老祖宗的都清楚，你还想怎么样？
: 不能因为小孩理解力差，就把大人的偏见教给他们。
: 谁说小学中学学的科学不准确了？老师只要认真上过大学没偷懒，肯定可以把这些概念
: 给小孩讲清楚。
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t******l
发帖数: 10908 | 30 xiaoju 在上面这点上我觉得是对的。
娃版无理数的基本定义，是存在于数轴上的点（geometric measurable），但不能被整
数或分数来表达。
无限不循环小数并不是原始概念级的定义。
更重要的是，monkey brain 无法真正意义上处理 “真正无限的 pattern”（the size
of pattern itself have to be finite size, otherwise it is not monkey-
imaginable）。
举个例子就是：不管是 sqrt (2) 还是 pi 还是 0.101001000100001...，其 pattern
本身都是有限的（直角三角形、圆、LR 文法嘣字机）。
当然不少希尔伯特教跪在地上认为其 monkey brain 能处理 pattern size 可以是无穷
，另说。
：你这种定义，会产生很多问题：
：孩子有可能问：不能表示为分数的数到底是一个什么样的数？ |
|
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t******l
发帖数: 10908 | 31 进一步说，前面这个实数定义中的 “数轴上的点”，或者其隐含的 “geometric
measurable”，其背后是 the completeness & continuous of real numbers。
而 the completeness & continuous of real numbers，其背后是 derive real
numbers from Cauchy sequences, 或者是 derive real numbers from Dedekind cuts。
无限不循环小数的说法，更接近于 derive real numbers from Cauchy sequences。。
。这里比较有欺骗性的是，Cauchy sequences 似乎能不依赖于 space-time 而在虚无
中存在。。。但我觉得希尔伯特教的问题是，Cauchy sequences 里的 infinite close
，跟
Dedekind cuts 的 Dedekind continuous，难道不是一回事？一样也得依赖于 space-
time 而存在不是？
：xiaoju 在上面这点上我觉得是对的。 |
h*****m
发帖数: 1034 | 32
不知道你自己有没有孩子，或者有没有教过小孩子。你教给孩子一个定义，不告诉他这
个东西是什么，只告诉他这个东西不是什么，他理解不了的。
对于小孩子来说，对数字的认知过程是，自然数，加减乘除，加减乘都没问题，得到的
都是整数，除法就会遇到除不尽的问题，所以引进小数，然后像1除以2，1除以4都好办
，1除以3就有点麻烦，总也除不尽，从“除不尽“就引申出一个娃版的“无限“概念，
要按着你的严谨定义，1/3=0.33333...都不能教了。可是对于小孩子来说，他就是要知
道这个数到底有多大。
然后，从有理数都是有限或无限循环小数的概念，告诉娃，还有一类小数，无限但不循
环，就是无理数，然后才是无理数不能表达成分数的形式。
不是我想怎么样，是小孩子想知道圆的周长“到底”是直径的多少倍，你总不能说就是
pi倍，而这个pi是没法写成数字的。对小孩来说，这句话等于白说。
老祖宗都清楚，还不是要算出来个近似的小数形式，要不然这个pi除了数学家们自娱自
乐，也没什么用处了。
不能说是偏见，只是以一种小孩能理解的方式进行数学科普。
嗯，你要是用大学的知识把这些概念都讲清楚了，小孩就不用上大学了。: )
循序渐进，不断更新修正原有的知识，不仅是人类历史上科学进步的方式，也是孩子学
习过程中应该采取的符合实际的方式。
【在 x****u 的大作中提到】
: 无理数有很简单的定义，不能表示为分数。这个一点也不难，讲不明白是老师太蠢。
: 如果pi是分数，圆就等于多边形，这玩意老祖宗的都清楚，你还想怎么样？
: 不能因为小孩理解力差，就把大人的偏见教给他们。
: 谁说小学中学学的科学不准确了？老师只要认真上过大学没偷懒，肯定可以把这些概念
: 给小孩讲清楚。
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h*****m
发帖数: 1034 | 33 你肯定不是搞量子物理的，要不然怎么能容忍我用宏观的物体来描述微观量子特别是光
子？
【在 x****u 的大作中提到】
: 你告诉小孩光是物质，肯定没错，波动性你确定小学生理解的了？你让小孩分析个机械
: 波看看？
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t******l
发帖数: 10908 | 34 其实争论到这里，我觉得都不需要对量子力学说的微观时空不是无限连续的表示直观上
无法接受了。
实际上，如果允许微观时空可以无限连续的话，直观上可以不接受量子力学薛定谔猫倒
是省事了。。。但这样一来，得接受希尔伯特教的旅馆悖论不算，还要接受 Costco 拍
西瓜大悖论 the Banach-Tarski paradox (I told you don't use axiom of
choice on real numbers！)。。。我觉得直观上还不如接受量子力学薛定谔猫更简单
明了呢，一只小猫有啥可怕？。。。
：进一步说，前面这个实数定义中的 “数轴上的点”，或者其隐含的 “geometric
：measurable”，其背后是 the completeness & continuous of real numbers。 |
h*****m
发帖数: 1034 | 35 说到神学，好像基督教是反对偶像崇拜的，“不可以用实际物体来描述神“，跟“不能
用小数来表现无理数“非常的异曲同工。
可现实是，你不让老百姓有个偶像瞧瞧，他就没法理解。所以搞得现在上帝耶稣和玛丽
娅的像到处都是。
连宗教这么严肃认真动不动就烧人的领域都可以对人的认知能力做出妥协，数学家也就
别抻着端着了。: )
【在 h*****m 的大作中提到】
: 历史上有毕达哥拉斯神学院。。
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t******l
发帖数: 10908 | 36 我刚才查了一下，好像有物理学海蜇头给了一个类似 monkey imaginable world 的物
理学对应的定义：Bekenstein bound。。。 |
t******l
发帖数: 10908 | 37 马工学上好像也给了 monkey imaginable world 一个范围：Bremermann's limit
。对于 monkeys 的上限是 10^93，再大的 pattern 其本身的 size 也不能超过这个。
：我刚才查了一下，好像有物理学海蜇头给了一个类似 monkey imaginable world 的物
：理学对应的定义：Bekenstein bound。。。 |
t******l
发帖数: 10908 | 38 发现关于 real number 的这段还是有点意思。。。其实数学到一定的虚无缥缈的抽象
程度后，我觉得就跟神学确实差不多，或者说，艺术。
http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number#In_computation
A real number is called computable if there exists an algorithm that yields
its digits. Because there are only countably many algorithms,[12] but an
uncountable number of reals, almost all real numbers fail to be computable.
Moreover, the equality of two computable numbers is an undecidable problem.
Some constructivists accept the existence of only those reals that are
computable. The set of definable numbers is broader, but still only
countable. |
t******l
发帖数: 10908 | 39 发现这句话还是挺有意思的。
“Moreover, the equality of two computable numbers is an undecidable problem
. ”
（BTW：wiki 没有敲错字，这里指的是 equality by computation，一位一位比过去，
就算是一百万个零也不知道下一个是不是零，所以 undecidable）
其实如果沿用这个马工学角度的说法看希尔伯特旅馆，就是希尔伯特的塞个新旅客进去
的算法，让新旅客能不能拿到房间钥匙的 yes or no 的问题，成为一个马工学上的
undecidable problem。
yields
.
.
【在 t******l 的大作中提到】
: 发现关于 real number 的这段还是有点意思。。。其实数学到一定的虚无缥缈的抽象
: 程度后，我觉得就跟神学确实差不多，或者说，艺术。
: http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number#In_computation
: A real number is called computable if there exists an algorithm that yields
: its digits. Because there are only countably many algorithms,[12] but an
: uncountable number of reals, almost all real numbers fail to be computable.
: Moreover, the equality of two computable numbers is an undecidable problem.
: Some constructivists accept the existence of only those reals that are
: computable. The set of definable numbers is broader, but still only
: countable.
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t******l
发帖数: 10908 | 40 我在想我们的希尔伯特神教的根源，是不是试图给 theoretical undecidable problem
一个 yes or no 的 answer。
那这个真的跟给不收敛的级数求和一个确定的结果，比如 ( 1-1+1-1+1-1+1-1+1... )
，有啥本质上的差别？
：发现这句话还是挺有意思的。 |
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a****l
发帖数: 8211 | 41 就算是错觉又有什么问题？关键在于，这里的小孩能准确的弄清楚无限不循环的是无理
数就已经不错了，如果能说的清楚为什么不能写成分数形式的是无理数就已经可以算数
学神童了。就算中国的小朋友数学学的好，能说清楚这个道理的也是极少比例的。就算
是中国顶级大学的理工科研究生博士生，能讲的清无理数的原理的估计也不多，几乎很
少有人的工作需要明白无理数的原理。所以说，错就错吧，反正几乎是不可能遇到这个
错误会导致任何问题的地方，如果这的确是一个错误的话。
【在 x****u 的大作中提到】
: 这会给小孩一种错觉，一个小数只要无限没循环就一定是无理数
: 然后让他算调和级数就傻眼了。。。
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x***1
发帖数: 999 | 42 你把这问题上升到哲学高度，没法讨论了。我觉得给孩子讲，把这些点都讲一讲，还是
比较好。
size
pattern
【在 t******l 的大作中提到】
: xiaoju 在上面这点上我觉得是对的。
: 娃版无理数的基本定义，是存在于数轴上的点（geometric measurable），但不能被整
: 数或分数来表达。
: 无限不循环小数并不是原始概念级的定义。
: 更重要的是，monkey brain 无法真正意义上处理 “真正无限的 pattern”（the size
: of pattern itself have to be finite size, otherwise it is not monkey-
: imaginable）。
: 举个例子就是：不管是 sqrt (2) 还是 pi 还是 0.101001000100001...，其 pattern
: 本身都是有限的（直角三角形、圆、LR 文法嘣字机）。
: 当然不少希尔伯特教跪在地上认为其 monkey brain 能处理 pattern size 可以是无穷
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t******l
发帖数: 10908 | 43 属实。给娃结论但不要下定论，可能是最好的折中。
：你把这问题上升到哲学高度，没法讨论了。我觉得给孩子讲，把这些点都讲一讲，还
是比较好。
：【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】 |
x****u
发帖数: 44466 | 44 这是祖冲之的做法
【在 r*g 的大作中提到】
: 如果pi是分数，圆就等于多边形?
: 可以看看pi是无理数的证明，哪个都没这么简单,而且一个都没有用到园的多边形逼近
: 。这个逻辑跳跃大了。
: http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
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x****u
发帖数: 44466 | 45 问问题可以啊，照着书往后讲到他懒得听为止
大人还要问问题呢，为什么会有宇宙膨胀
【在 x***1 的大作中提到】
: 你这种定义，会产生很多问题：
: 孩子有可能问：不能表示为分数的数到底是一个什么样的数？
: 还有可能问：无理数和分数有什么区别？
: 还有可能问：不能表示为分数的数都是无理数数吗？
: 还有可能问：为什么无理数不能表示为分数？
: 还有可能问：sqrt2/2是分数吗？
: 还有可能问：Pi不就表示为分数之和了吗？
: 当然”无限不循环小数“对小孩也不好解释。
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x****u
发帖数: 44466 | 46 你不能因为错误的东西直观，就给小孩灌输错误的概念
天下雨是因为雷公电母，这个最直观
【在 h*****m 的大作中提到】
: 说到神学，好像基督教是反对偶像崇拜的，“不可以用实际物体来描述神“，跟“不能
: 用小数来表现无理数“非常的异曲同工。
: 可现实是，你不让老百姓有个偶像瞧瞧，他就没法理解。所以搞得现在上帝耶稣和玛丽
: 娅的像到处都是。
: 连宗教这么严肃认真动不动就烧人的领域都可以对人的认知能力做出妥协，数学家也就
: 别抻着端着了。: )
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x****u
发帖数: 44466 | 47 光子在特定情况下当然可以用宏观特性类比了，比如动量
【在 h*****m 的大作中提到】
: 你肯定不是搞量子物理的，要不然怎么能容忍我用宏观的物体来描述微观量子特别是光
: 子？
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x****u
发帖数: 44466 | 48 基督教本身是反对偶像崇拜的，但教会重新做了解释
【在 h*****m 的大作中提到】
: 说到神学，好像基督教是反对偶像崇拜的，“不可以用实际物体来描述神“，跟“不能
: 用小数来表现无理数“非常的异曲同工。
: 可现实是，你不让老百姓有个偶像瞧瞧，他就没法理解。所以搞得现在上帝耶稣和玛丽
: 娅的像到处都是。
: 连宗教这么严肃认真动不动就烧人的领域都可以对人的认知能力做出妥协，数学家也就
: 别抻着端着了。: )
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h*****m
发帖数: 1034 | 49 你这不是抬杠嘛。反正现在有点时间，就和你掰扯掰扯。
首先，不要说“无限不循环”错误，这类似于一种科普。
“科学普及简称科普，又称大众科学或者普及科学，是指利用各种传媒以浅显的、让公
众易于理解、接受和参与的方式向普通大众介绍自然科学和社会科学知识、推广科学技
术的应用、倡导科学方法、传播科学思想、弘扬科学精神的活动。”
要按照严谨的定义，所有科普都是灌输错误的概念。
其次，雷公电母也不是不能讲，比如对小小孩，也没有什么大的坏处。拿圣诞老人骗孩
子的历史那可悠久了，现在人们也乐此不疲。只是这种解释的有效期特短，很快就要被
新的理论代替。而“无限不循环”对于绝大多数人的一辈子来说都足够了，不需要什么
更加严谨的概念来代替。对于极少数需要和严谨概念打交道的人来说，以前的不严谨概
念所产生的影响必然是微乎其微的。修正一下原有的知识有那么难吗？那么多孩子最终
发现世界上没有圣诞老人，也没见几个从此怀疑人生啊。
【在 x****u 的大作中提到】
: 你不能因为错误的东西直观，就给小孩灌输错误的概念
: 天下雨是因为雷公电母，这个最直观
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h*****m
发帖数: 1034 | 50 要是有人不管你怎么解释“特定情况下当然可以用宏观特性类比”，就是一口咬定“拿
宏观物体来类比微观量子”是错误的，不应该向孩子灌输错误概念，你是不是有点抓狂？
这就是我现在的感受。： ）
【在 x****u 的大作中提到】
: 光子在特定情况下当然可以用宏观特性类比了，比如动量
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h*****m
发帖数: 1034 | 51 是啊，这就是我说的，连教会都可以在偶像崇拜这个大是大非的问题上重新做解释来照
顾普通信众的理解能力，把个数学概念用小孩子能理解的方式解释一下有什么大不了的？
【在 x****u 的大作中提到】
: 基督教本身是反对偶像崇拜的，但教会重新做了解释
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x****u
发帖数: 44466 | 52 那宏观类比量子不是错误的
你这种绝对的思想在科学里不存在
狂？
【在 h*****m 的大作中提到】
: 要是有人不管你怎么解释“特定情况下当然可以用宏观特性类比”，就是一口咬定“拿
: 宏观物体来类比微观量子”是错误的，不应该向孩子灌输错误概念，你是不是有点抓狂？
: 这就是我现在的感受。： ）
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