b***k
发帖数: 2673 | 1 If D is a diagonal square matrix with real values as diagonal elements.
U*D=D*U,
what kind of property can be inferred for the square matrix U? | c*******t
发帖数: 123 | 2 short answer: U is a symmetric matrix. | c*******t
发帖数: 123 | 3 full answer:
UD=u_{ij}\delta_{jk}\lambda_k=u_{ik}\lambda_k
DU=\lambda_i\delta_{ij} u_{jk}=\lambda_i u_{ik} ->interchange index i and k,
get \lambda_k u_{ki}
so we get u_{ik}=u_{ki}, where \lambda_k is the Kth diagonal element in
matrix D | R********n
发帖数: 519 | 4 symmetric U is not help in this case, probably u have some typos in the
process
【在 c*******t 的大作中提到】
: full answer:
: UD=u_{ij}\delta_{jk}\lambda_k=u_{ik}\lambda_k
: DU=\lambda_i\delta_{ij} u_{jk}=\lambda_i u_{ik} ->interchange index i and k,
: get \lambda_k u_{ki}
: so we get u_{ik}=u_{ki}, where \lambda_k is the Kth diagonal element in
: matrix D
| R********n
发帖数: 519 | 5 basically, you want find a matrix U, and U is commute with a diagonal matrix
D
(1) if D is proportional to identity matrix, then U can be any one
(2) if not, then not sure, guess U should be diagonal ? (seems so)
----
in general, U should have the same eigen-space with D
(1) if D \prop I, D's eigen-space contains all orthogonal matrices, so U can
be any one
(2) if not, D's eigen-space is I, so U is diagonal
【在 b***k 的大作中提到】
: If D is a diagonal square matrix with real values as diagonal elements.
: U*D=D*U,
: what kind of property can be inferred for the square matrix U?
| b***k
发帖数: 2673 | 6 U*D*U^-1=D
the column vectors of U are in the subspace with basis vectors as
the eigenvectors of D.
but so what?
【在 b***k 的大作中提到】
: If D is a diagonal square matrix with real values as diagonal elements.
: U*D=D*U,
: what kind of property can be inferred for the square matrix U?
| R********n
发帖数: 519 | 7 just updated my post
【在 b***k 的大作中提到】
: U*D*U^-1=D
: the column vectors of U are in the subspace with basis vectors as
: the eigenvectors of D.
: but so what?
| b***k
发帖数: 2673 | 8 it appears your conclusion may be correct (U is a diagonal matrix)
but could you provide a more rigorous and elegant proof of it?
matrix
can
【在 R********n 的大作中提到】
: basically, you want find a matrix U, and U is commute with a diagonal matrix
: D
: (1) if D is proportional to identity matrix, then U can be any one
: (2) if not, then not sure, guess U should be diagonal ? (seems so)
: ----
: in general, U should have the same eigen-space with D
: (1) if D \prop I, D's eigen-space contains all orthogonal matrices, so U can
: be any one
: (2) if not, D's eigen-space is I, so U is diagonal
| y******6
发帖数: 61 | 9 楼主呀，这个不是一看就是 blockwise diagonal么 ？怎么老是把这么简单问题看复杂
。。。
Riemann 是错的， 当 I 的元素都一样， U 当然可以是任意的。 当 I 元素都不一样
的时候， U 才可以是 diag。
一般来说 如果 I = (a_1,..a_1, a_2,...a_2,... a_k,..a_k) a_i 有 n_i 个， 那
么 U 是 blockwise diag, 其中有 k 个 blocks,
有个block 有 n_i 个元素。 自己举个例子把 I = diag(1,1,2) 然后你可以完全解出
U 看看。
【在 b***k 的大作中提到】
: If D is a diagonal square matrix with real values as diagonal elements.
: U*D=D*U,
: what kind of property can be inferred for the square matrix U?
| y******6
发帖数: 61 | 10 你也说过 U 根 D 只是 eigen space 一样， 可是 这只说明 U的 eigen space 根 I
一样。。。
所以 U is block diag for general case. 比如 D=(1,1,2) , 这个时候， U 只要
满足 [u(1,1),u(1,2), u(2,1), u(2,2)]
是可逆的， u(3,3) 非0 ，然后其他元素都是0 就 ok. 这样 对应于 1的eigen space
是 2-dim 的子空间， 你的错误在于选定了一个特殊的基，其实任何基都ok。本质上只
要能代表这个 subspace 的 grassman manifold 就ok。
matrix
can
【在 R********n 的大作中提到】
: basically, you want find a matrix U, and U is commute with a diagonal matrix
: D
: (1) if D is proportional to identity matrix, then U can be any one
: (2) if not, then not sure, guess U should be diagonal ? (seems so)
: ----
: in general, U should have the same eigen-space with D
: (1) if D \prop I, D's eigen-space contains all orthogonal matrices, so U can
: be any one
: (2) if not, D's eigen-space is I, so U is diagonal
| b***k
发帖数: 2673 | 11 我也觉得这本来就是应该一个比较简单的问题。
为什么我一“眼”看不出blockwise diagonal呢？这眼跟眼还真不一样。
但我觉得似乎还有其他属性没有看出来，
借您贵眼再帮着看看，还有啥东西不，这里面？
出
【在 y******6 的大作中提到】
: 楼主呀，这个不是一看就是 blockwise diagonal么 ？怎么老是把这么简单问题看复杂
: 。。。
: Riemann 是错的， 当 I 的元素都一样， U 当然可以是任意的。 当 I 元素都不一样
: 的时候， U 才可以是 diag。
: 一般来说 如果 I = (a_1,..a_1, a_2,...a_2,... a_k,..a_k) a_i 有 n_i 个， 那
: 么 U 是 blockwise diag, 其中有 k 个 blocks,
: 有个block 有 n_i 个元素。 自己举个例子把 I = diag(1,1,2) 然后你可以完全解出
: U 看看。
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