C**o
发帖数: 10373 | 1 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: OverCloud (天马行空), 信区: Military
标 题: Re: 一个直线上是不是除了有理数无理数就没别的了？
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Dec 6 21:53:34 2012, 美东)
实数连续性的奥秘
整数由小到大的变化是跳跃式的．从1跳到2，跨过了许多分数．有理数从1变到2，中间
似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白．其实有理数从
l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，例如．
有理数再添上无理数，凑成全体实数．我们说，实数是可以连续变化的．说变量x
从O变到1，是说x要取遍0到1之间的一切实数．
在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴．数轴上的每个
点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数可以连续变化，就是说
点可以在数轴上连续地运动．
如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？
设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截．这一刀一定会砍在某个点上，即
砍中了一个实数．如果能够砍在一个缝... 阅读全帖 |
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O*******d
发帖数: 20343 | 2 实数连续性的奥秘
整数由小到大的变化是跳跃式的．从1跳到2，跨过了许多分数．有理数从1变到2，中间
似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白．其实有理数从
l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，例如．
有理数再添上无理数，凑成全体实数．我们说，实数是可以连续变化的．说变量x
从O变到1，是说x要取遍0到1之间的一切实数．
在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴．数轴上的每个
点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数可以连续变化，就是说
点可以在数轴上连续地运动．
如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？
设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截．这一刀一定会砍在某个点上，即
砍中了一个实数．如果能够砍在一个缝隙上，数轴就不算连续的了．
设数轴是从点A处被砍断的．这个点A在哪半截数轴上呢？答案是不在左半截上，就
在右半截上．这是因为点不可分割，又不会消失，所以不会两边都有，也不会两边都没
有．
从以上的假想中领会到所谓数轴的连续性，就是不管把它从什么地方分成两半截，
总... 阅读全帖 |
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a******g
发帖数: 13519 | 4 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: alexsung (Keep your feet on the ground.), 信区: Military
标 题: 题目越短越难！谁能证明Tangent 1°是有理数吗？
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Feb 13 17:03:07 2018, 美东)
tan1°是有理数吗？
10个字，引出了日本高考史上最短的问题
据传，当年学生们有如下答案：
×无理数に决まってんじゃん（30％） 显然是无理数嘛。（30%的学生如此回答）
×なんとなく无理数じゃん？ ほら、何というか・・・（20％）
我觉得是无理数吧？你看，怎么说呢……（20%）
×sin1°が无理数で、cos1°も无理数だから、tan1°= sin1°/ cos1°も无理数。(
20％)
因为sin1°和cos1°都是无理数所以tan1°也是无理数。（20%）
×で、sin1ﾟ, cos1ﾟはなぜ无理数かというと、πが无理数なのは自明
だから、sin1ﾟ, cos1ʎ... 阅读全帖 |
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a******g
发帖数: 13519 | 5 tan1°是有理数吗？
10个字，引出了日本高考史上最短的问题
据传，当年学生们有如下答案：
×无理数に决まってんじゃん（30％） 显然是无理数嘛。（30%的学生如此回答）
×なんとなく无理数じゃん？ ほら、何というか・・・（20％）
我觉得是无理数吧？你看，怎么说呢……（20%）
×sin1°が无理数で、cos1°も无理数だから、tan1°= sin1°/ cos1°も无理数。(
20％)
因为sin1°和cos1°都是无理数所以tan1°也是无理数。（20%）
×で、sin1ﾟ, cos1ﾟはなぜ无理数かというと、πが无理数なのは自明
だから、sin1ﾟ, cos1ﾟも无理数。（うち15％） 要说为什么sin1&#
65439;和cos1ﾟ是无理数，因为π显然是无理数，所以这俩都是无理数。（上述
其中的15%）
×こんなの无理っ数（1％） 无理无理，这没法做的（1%）
×8000桁まで示す（0.01％） さすがは京大受験生。そのスペックを充分に発挥して
その场计算で800... 阅读全帖 |
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s******y
发帖数: 28562 | 6 哎，我觉得你们几个吧，太拘泥于一些抽象的概念了，而根本没有理解胡总的题目是什
么意思。你这都说的什么呀？
胡总说的这个问题，在物理意义上其实就是这样的：
有一个数轴杆，上面刻了0，1，2，3，等等数字，同时也刻了无理数的点比方说Pi，e,
和根号2。姑且先把这个称为旧体系。由于你我都知道的原因，在这个体系里，无理数
的那些刻度是不能用上面的有理数来标定的。然后胡总的问题就是，如果选用其中一个
无理数（比方说Pi)来作为刻度，那么是否可以在这个度量的新体系里让另外一个旧体
系里的无理数的刻度变成有理数？我本来以为是有可能的，但是后来另外一个网友提醒
了一下之后我醒悟过来，觉得是凡是能够通过改换度量来转换成有理数的，都不是真正
的无理数（这个也是我支持的观点）。而在旧体系里面的自然数刻度，在新体系里突然
就变成无理数了。
至于你一直说的这个一个完整的数字体系不能没有1什么的，其实你是把旧体系里的有
理数和新体系里的有理数搞混淆了，你白白说了半天，其实都是针对一个错的靶在开枪
。我说的那个“原有的有理数会变成无理数”，其实是指在那个用原来的1做度量的体
系里的有理数，在用以前的那个Pi做度量... 阅读全帖 |
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s********i
发帖数: 891 | 7 他没做错。他是说，假设tan1是有理数，根据公式，那tan2也一定是有理数，tan3也是
。根据公式，tan任何整数度数都是有理数，同已知tan30不是有理数相矛盾。其实这里
最好在加上一个条件，tan1
那只有前提是错的，tan1不能是有理数
这个证明应该没有任何错误。不过我也不是专家。
擦， |
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x******g
发帖数: 318 | 8 这个问题问的太草率了!
实际上，只需要f(1),f(2)为有理数就可保证所有的f(n)都是有理数了!
不过下面的问题或许是非平凡的：最多能找到多少个互质的n,使得f(n)都是有理数，但
并不对于所有的n,f(n)为有理数?
我知道：可以构造两个实数x,y使得f(1)为无理数，f(2),f(3)为有理数 |
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O*******d
发帖数: 20343 | 9 好像记得以前学过，有理数不是连续的，因为中间有无理数，无理数也不是连续的，因
为中间有有理数，但实数是连续的，就是说有理数和无理数一起就是连续的，也就是说
一条直线上，只有有理数和无理数。 |
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H******7
发帖数: 34403 | 10 Pi如果是有理数，那1，2，3，4就是无理数，2Pi, 3Pi就是无理数X有理数当然就是无
理数，怎么可能？
换言之，如果Pi是有理数，那么 世界上可能就只有一个有理数，其他都是无理数 |
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l*****8
发帖数: 16949 | 11 刚刚从厕所里醒来，挑个刺啊：
数轴无限可分（或者叫数的稠密性）只能推出有理数，推不出无理数的。因为有理数就
是稠密的了。
但是如果要求每个柯西序列都有极限，就能推出有理数不够了。
用康拓定理可以证明实数是不可数的。但有理数是可数的，所以肯定有更多的无理数。
实际上用对角线方法也能证明代数数也是可数的，所以超越数也是不可数的。
更进一步，pi,e这类数都可以被归类为“可计算实数”，也就是有算法可以计算到任何
精确度。但可计算实数也是可数的，所以还有更多的不可计算实数。
和 |
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x******g
发帖数: 318 | 12 x,y为两实数,设x^n+y^n=f(n)
容易证明即使f(n),n=1,2...都是有理数，x,y也未必都是有理数.
不过是否存在正整数集的一个真子集P,使得对于n属于P,都有f(n)为有理数,那么就对
于所有的正整数n,都有f(n)为有理数?甚至，P可以是一个有限集? |
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x******g
发帖数: 318 | 13 x,y为两实数,设x^n+y^n=f(n)
容易证明即使f(n),n=1,2...都是有理数，x,y也未必是有理数.
下面的问题或许是非平凡的：最多能找到多少个互质的n,使得f(n)都是有理数，但
并不对于所有的n,f(n)为有理数? |
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T******e
发帖数: 18290 | 14 OK，以下面还用通常数学的记号，pi=3.14.......
“有理数”是一个对加减乘除封闭的域，其中必须有一个零元，通常是0，还有一个幺
元，通常是1。零元的意思是任何数加上零元等于本身。幺元的意思是任何数乘上它等
于本身。
现在问题转化为，能不能构造一个新的域，是实数的子域（是子集并保持加减乘除运算
结果不变），包含pi，但不包含1。答案是不行，因为你没有幺元了，直观的，pi/pi就
没有结果了。
如果你说，我强行把pi当作幺元来用，也就是说，任何数乘上pi都等于本身，那你就是
把1重新起了个名字叫做pi，之前我说的，语言游戏。
如果这个域包含1并作为幺元，则a + b * pi，其中a和b是有理数，的确构成一个域，
但是这比通常的有理数域要大。 |
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w**d
发帖数: 2334 | 15 不是指人所共知的有理数。我的意思是如果要强行定义pi是有理数的话，这个有理数的
定义是怎么回事？具体的就是：是什么一个集合，有什么运算。
二} |
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j****c
发帖数: 19908 | 16 1、函数f(x)，当x为有理数时，f(x)=1；当x为无理数时，f(x)=0.
对f(x)在[0,1]上积分，等于多少？
2、函数f(x)，当x为有理数时，f(x)=0；当x为无理数时，f(x)=1.
对f(x)在[0,1]上积分，等于多少？ |
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d*********g
发帖数: 1213 | 17 直线上不是有理数的数叫无理数。Pi的e次方有可能是有理数。 |
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s******g
发帖数: 321 | 18 把你的题目明确化一点， 彼得大帝鼻尖到手指的距离用米做单位 是无理数还有有理数
。
roughly speaking “随机”取一段距离，是有理数的概率是 0 对吧。 |
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b***y
发帖数: 14281 | 19 你可以这样定义，但是如果将来光速的测量精度提高了，你有两种选择，一种就是维持
1m的长度不变，修正m的定义，那么问题就是修正后的光速值和299792458的比值到底是
有理数还是无理数。或者你可以保持m的定义不变，那么问题就变成修正后的1m和现在
定义的1m的长度之比是有理数还是无理数，总之，问题本身是存在的，不会因为你定义
了就消失了。 |
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b***y
发帖数: 14281 | 20 这是谬论。随即取一段距离，如果对观测者A来说是无理数，对观测者B来说，只需要相
对速度合适，同样的距离就可以是有理数，根据相对性原理，无论对A还是对B，两者应
该得到相同的结论，所以无理数和有理数出现的概率必然相等。 |
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l*********g
发帖数: 1729 | 21 显然不存在阿。x+y, x-y都是有理数，那么x,y必定都是有理数。 |
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l******e
发帖数: 172 | 22 0.9循环是一个无限循环小数，因此它是一个有理数。
数学家已严格证明任何一个有理数都可以写成一个既约分数m/n (m n互质)的形式
0.9循环写成既约分数就是1/1, 没有别的形式了。 |
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b****d
发帖数: 1311 | 23 显然是无理数啊。如果是有理数，那么 tan 2°,tan 3°,...,tan 30°=1/\sqrt(3)
都是有理数,矛盾。 |
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j****c
发帖数: 19908 | 24 用反证法
假如tan 1°是有理数，那么用倍角公式tan 2°也是有理数，然后一直加到
tan 30°也是，但tan 30°显然是无理数 |
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D******g
发帖数: 2717 | 25
有理数是不是定义为可以写为整数的商啊？不是直接定义pi是不是有理数吧
所以如果pi进制,pi成为整数了。。。还有什么是整数？ |
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l*******e
发帖数: 4009 | 26 有理数的定义还是没变，就是可以表示为两整数之商的数
不过改变了进制就会颠覆很多概念，比如整数的概念，这时候123都不是整数了，也不
是两整数之商，它们都是新进制下的“无理数”，而这时候π是个整数，当然是有理数
不过我觉得其他无理数还是依然无理 |
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s******y
发帖数: 28562 | 27 在历史发展观上当然是正向做不到的，但是在概念上是可以反向做到的。比方说虚数的
确不是一开始就有的概念。但是在有了这个概念之后定义出来一个用虚数运算的体系却
是没有问题的，而且也并不会立刻导致你说的那个数学体系的整体彻底崩溃和不成立。
而且我觉得你想多了，其实没有你说的那么玄。把一个数轴用Pi来进行标记没有什么不
行的。因为Pi那个点在数轴上是客观上存在的，只不过不能用我们现在的“有理数”的
意义来进行准确定位而已。而如果用Pi作为数轴刻度的话，并不会使得自然数立刻就不
存在了，只不过不能在那个数轴上用Pi刻度来进行准确定位而已，但是自然数还是在数
轴上客观存在的。
换句话来说，运行规则对有理数和无理数的处理毫无差别。这两者的差别只不过是一个
不能用另外一个来进行标定而已。所以如何定义一个并不会影响另外一个的运算规则。 |
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v*****s
发帖数: 20290 | 28 上面人都说了，pi^2也是有理数，不会比现在的有理数少的，还是阿列夫0，和二进制
可以一一对应。
当然说的最对的还是tbt，现代数学无论是形式主义，逻辑主义，直觉主义基本都是要
从集合论和自然数出发开始定义一系列概念和公理的。没有自然数，你的pi根本就没有
定义了。 |
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w**d
发帖数: 2334 | 29 压根就没有给什么是有理数的定义就把pi认为是有理数。不给定义怎么来判断别的数是
有理还是无理数？那可不要瞎扯皮 |
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T******e
发帖数: 18290 | 30 我早写了1永远是有理数，你看到了么？
我早写了，“如果包含1，并且作为幺元，那么得出的域比有理数域大”你看了吗？
你应该是看到了，结果你来一个： “令 pi/pi = a，并且定义a是无理数”，我马上觉
得你喝多了，或者你是大美女，觉得自己想令什么就令什么。 |
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s******y
发帖数: 28562 | 31 晕，"如果包含1，并且作为幺元，那么得出的域比有理数域大"，这个谁看得动啊？你
直接回答当时的问题说：“没有人知道”不就完了？还和我们掉半天书袋子然后又怪我
们没有数学学历不知道你说的是什么。
我上面已经解释过了，我说的是那个1是那个旧物理系统里的度量1（比方说坐标上一个
具体的长度），而不是具体的数字概念上的“1”，为了防止混淆我还说要么用a来标记
那个新的数字概念1？当然，我应该是不小心写错了，那个新系统里的a当然在运算上仍
然相当于数字意义上的有理数1，只不过这个新的a就不是原来的旧数轴系统里面的那个
作为度量衡的1的那个“长度”了。我都说了我不是搞数学的，在那里只讲物理意义，
不讲你的那个数字上的抽象意义。 |
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l*****8
发帖数: 16949 | 32 不对，和维数无关。有理数的问题不是不稠密，而是不完备。我提到柯西序列只是为了
说话严密一点。其实柯西序列就是收敛数列，比如1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,...这个序列
每一个数都是有理数，但它的极限是黄金分割比,是个无理数。所以必须拓展到无理数。
无理数理论上可以再拓展而仍然自洽，所谓非标准分析就是干这个的。但这个拓展类似
于非欧几何，不是必须的了。
transformation |
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发帖数: 1 | 33 tan(x+y) = (tanx + tany)/(1-tanx tany)
用归纳法，如果tan1deg是有理数，那么tan2deg, tan3deg...tan30deg都是有理数
但是tan 30deg = 1/sqrt(3) |
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C****n
发帖数: 2324 | 34 这个嘛, 你说的恐怕太大意了.
把连续的定义贴出来. 说不定有理数无理数都是连续的. |
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b***y
发帖数: 14281 | 35 这个问题很高深，连爱因斯坦也证明不出来。谁搞懂这个问题，谁就是比牛顿还要牛B
的人。
很多人说光速是30万公里每秒，这不是不对，但只是个近似的说法，好比说pi=3.1416
一样。实际上光速如果精确到个位数，是299792458m/s，即便如此，这依旧只是个近似
值。真正的光速到底是有理数还是无理数，应该如何证明，这个问题版上自以为懂点物
理数学知识的琐男们根本连想都不敢去想。 |
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s****1
发帖数: 170 | 36 单位是什么？如果1扯蛋等于88分之一光秒，1扯鸡巴蛋等于根号8光秒，那光速以扯蛋
每秒算就是有理数,以扯鸡巴蛋每秒为单位就是无理数。
B
1416 |
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j****i
发帖数: 68152 | 37 鸡巴吗。物理量要有单位才能变成数。以光的速度为单位，光速等于1. 当然他娘的是
有理数
B
1416 |
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s******s
发帖数: 13035 | 38 自然量其实多是distribution, 你说一个distribution是无理数还是有理数？
B
1416 |
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S*****n
发帖数: 4185 | 39 一说起无理数就是一堆奇葩的数学，其实不过是定义不同。
假如采用13进制，那1/13就是有理数，1/10反倒是无理数了。
无理数就是一个人为定义的结果，有什么好一惊一乍的？
数学果然很无聊。 |
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发帖数: 1 | 40 hahaha
any p / q is 有理数 |
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l*3
发帖数: 2279 | 42 突然发现一个很神奇的事情:
1^e是不是等于1?
在复平面上看来, f(z)=1^z是一个多值函数, 1^e的值是一个数集.
但倘若我们就死死认定 (或者强行定义) 1^e=1, 那么会发生什么呢?
根据我的坑 http://www.mitbbs.com/article_t/WaterWorld/2033845.html,
若我们真的这么死死认定 (或者强行定义) 1^e=1, 在更广泛的体系 (即复数域) 下,
我们会导出 e只能是整数.
神奇的地方在于: 我们先不要去过多关注e本身是个什么东西 (就是说不要去想e=2.
718281828...这类事情), 把e看做一个普通的符号, 为了体现我的观点, 不妨就先把e
换成a好了, a就是一个普通的符号a, 我们不关心a的性质,
那么我们得到了这么一句话:
(在我们承认复数域存在前提下) 对于符号a来说, 如果强行要求 1^a=1, 那么a只能是
整数!
a甚至不能是任意一个实数.
这个非常有意思, 我尚且不知道这句话说明了什么... 这句话似乎暗示着 "如果我们讨
论的空间变大, 那么原本无矛盾的 "定义", 甚至有可能变错"
... 阅读全帖 |
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t******n
发帖数: 2939 | 43 ☆─────────────────────────────────────☆
btphy (btphy) 于 (Sat May 25 03:19:10 2013, 美东) 提到:
版上弱智真多，这么简单的问题都搞不清楚。证明如下。
exp(2i pi e)=(exp(2i pi) )^e=1^e=1
==> 2i pi e=ln(1)=0
==> pi e=0
证毕。
★ 发自iPhone App: ChineseWeb 7.7
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feverpitch (狂热) 于 (Sat May 25 05:42:46 2013, 美东) 提到:
这个问题很难啊
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heathen (The real folk blues) 于 (Sat May 25 05:57:11 2013, 美东) 提到:
不难。刚才搞错了，LZ的公式“正确”。不过还可以更简单。
exp(2*i*pi)=1 ==> 2*i*pi=ln(1... 阅读全帖 |
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A**H
发帖数: 4797 | 44 无理数本质上和有理数没有什么区别吧
我的半文科理解是一个无限不循环小数恰好找到了一个用来表达它的值的形式，比如1.
41421356...自乘起来恰好是2，所以就把这个数叫做根号2 |
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n******r
发帖数: 718 | 46 用π做进制，2π，3π还是无理数，但是π平方就是有理数了 |
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n******r
发帖数: 718 | 47 用π做进制，2π，3π还是无理数，但是π平方就是有理数了 |
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n******r
发帖数: 718 | 48 用π做进制，2π，3π还是无理数，但是π平方就是有理数了 |
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T******e
发帖数: 18290 | 49 数学不能这样拍脑袋。如果真要认真讨论，应该先搞清楚什么是pi。比如用圆周直径的
比例来定义，你首先要定义长度，然后定义除法，否则你不知道你在说什么。或者用无
穷级数来定义，那你必须先要有实数的概念，否则绝大多数级数都不能表达结果。
正常情况，你首先有集合论，然后用归纳公理定义自然数，然后定义加减法，然后拓展
到整数，然后定义乘除，然后拓展到有理数。然后构造一个公理化的几何学，然后定义
直线长度，然后定义曲线长度，然后才能定义pi。此过程中实数早就被构造出来了。“
把pi作为进制的基础”这就是胡话。 |
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T******e
发帖数: 18290 | 50 我已经跟你说了，用纯几何学定义pi是行不通的，因为你没办法定义长度，也无法定义
比例。要用比例就必须用到“数”，而一切数的基础都是自然数。没有自然数就没有加
减乘除、有理数、实数、虚数、矩阵等等等等。
没有自然数就没有数学，这不仅是数学的历史，也是数学的本质。
比如不经过自然数而凭空定义实数，就像没有一楼就开始修二楼，是做不到的，不信你
试试。 |
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