a*****g
发帖数: 19398 | 1 一道围棋数学题（图）
6个围棋棋子放在棋罐盖子上，刚好形成如下形状（参看后面附图）。
假设盖子、棋子都简化成平面的圆，并且盖子半径是1。
求棋子直径。（注意条件有的是直径，有的是半径。）
【题目还能变形：一个圆形贝壳可以切割出6个蛤碁石棋子。
贝壳半径是1，那么棋子直径多少？】
背景知识：
围棋起源于中国，是修身养性的良品。棋子亮泽圆润，是指尖的精灵。但世界上最好的
围棋棋子，却产自日本，白子由天然贝壳打磨而成，做工细腻，称为蛤碁石，蛤意为“
贝”；碁意为“棋”，蛤碁石就是贝壳棋子的意思。蛤碁石严格来讲不包括黑子，仅指
白子，围棋的品级也是按照白子来区分。
在满足对弈的主要使用功能时，蛤碁石还给棋手带来视角上、手感上、对弈上、音色上
的综合美感，使其享受最大乐趣，在日本围棋界被誉称为“梦幻之魂”。
日向市在明治四十一年发现了精美的蛤贝，并开始利用它制作蛤碁石，至今日向市成为
蛤碁石围棋的唯一产地。但在三十年前由于日向市的蛤贝资源已日渐枯竭，现转为使用
墨西哥蛤贝石资源制作蛤碁石。 |
c******n
发帖数: 16403 | 2 http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c2a39510100hd7n.html
这个博客内容不错
【在 a*****g 的大作中提到】
: 一道围棋数学题（图）
: 6个围棋棋子放在棋罐盖子上，刚好形成如下形状（参看后面附图）。
: 假设盖子、棋子都简化成平面的圆，并且盖子半径是1。
: 求棋子直径。（注意条件有的是直径，有的是半径。）
: 【题目还能变形：一个圆形贝壳可以切割出6个蛤碁石棋子。
: 贝壳半径是1，那么棋子直径多少？】
: 背景知识：
: 围棋起源于中国，是修身养性的良品。棋子亮泽圆润，是指尖的精灵。但世界上最好的
: 围棋棋子，却产自日本，白子由天然贝壳打磨而成，做工细腻，称为蛤碁石，蛤意为“
: 贝”；碁意为“棋”，蛤碁石就是贝壳棋子的意思。蛤碁石严格来讲不包括黑子，仅指
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a*****g
发帖数: 19398 | |
a*****g
发帖数: 19398 | 4 我特意去看了看我的盖子
内圈放6个棋子还真差不多的
【在 a*****g 的大作中提到】
: 一道围棋数学题（图）
: 6个围棋棋子放在棋罐盖子上，刚好形成如下形状（参看后面附图）。
: 假设盖子、棋子都简化成平面的圆，并且盖子半径是1。
: 求棋子直径。（注意条件有的是直径，有的是半径。）
: 【题目还能变形：一个圆形贝壳可以切割出6个蛤碁石棋子。
: 贝壳半径是1，那么棋子直径多少？】
: 背景知识：
: 围棋起源于中国，是修身养性的良品。棋子亮泽圆润，是指尖的精灵。但世界上最好的
: 围棋棋子，却产自日本，白子由天然贝壳打磨而成，做工细腻，称为蛤碁石，蛤意为“
: 贝”；碁意为“棋”，蛤碁石就是贝壳棋子的意思。蛤碁石严格来讲不包括黑子，仅指
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c******n
发帖数: 16403 | 5 这个博主倒是很哈日， 其它博文对日军赞美有加， tnnd
【在 a*****g 的大作中提到】
: 多谢。我从前看过，非常棒。
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f*****s
发帖数: 95 | 6 来个更难的, 这么大的贝壳最多可以刻几个棋子. :) |
r****y
发帖数: 26819 | 7 没懂。。。如果按照这六个棋子的图来看，最多刻7个。
【在 f*****s 的大作中提到】
: 来个更难的, 这么大的贝壳最多可以刻几个棋子. :)
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m*****e
发帖数: 126 | 8 Maybe 8 is possible?
【在 r****y 的大作中提到】
: 没懂。。。如果按照这六个棋子的图来看，最多刻7个。
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m*****e
发帖数: 126 | 9 Cannot sleep well. Spent time to work out the solution:
假设棋子半径为r，直径为d=2r，棋罐盖子半径为R
* 连接棋罐圆心和上排中间棋子的圆心，这个距离是r
* 连接上排中间棋子和上排右边棋子的圆心，这个距离是2r
* 连接棋罐圆心和上排右边棋子的圆心，这个距离是(R-r)
* r^2 + (2r)^2 = (R-r)^2
* if R=1, 4r^2+2r-1=0, r=0.25*(sqrt(5)-1)
* d/R = 0.5*(sqrt(5)-1)=0.618033989 这是所谓的"黄金分割"-最能引起人的美感的比例
一个贝壳能切出多少个棋子呢？
* 从上排右边棋子的圆心向下话一条垂直的辅助线，长度为r
* 棋罐圆心和上排右边棋子的圆心的距离是(R-r)
* 由此可以计算出上排右边棋子占据大圆的角度：2*arcsin(r/(R-r))，大约为53.13度
* 360/53.13 = 6.77 所以一圈最多能排下6个棋子，一共能切出7个棋子 |
r****y
发帖数: 26819 | 10 差一点。
如果放八个，必然是七个围一圈，中间加一个。但是sin(2*pi/7) = 0.78，而这样大小
的棋子占的圆弧是arcsin(0.8)。所以没法做到七个一圈。
【在 m*****e 的大作中提到】
: Maybe 8 is possible?
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f*****s
发帖数: 95 | |
a*****g
发帖数: 19398 | 12 今天美国的一所 college 的数学老师来信，要用我的这道题做为竞赛题。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 一道围棋数学题（图）
: 6个围棋棋子放在棋罐盖子上，刚好形成如下形状（参看后面附图）。
: 假设盖子、棋子都简化成平面的圆，并且盖子半径是1。
: 求棋子直径。（注意条件有的是直径，有的是半径。）
: 【题目还能变形：一个圆形贝壳可以切割出6个蛤碁石棋子。
: 贝壳半径是1，那么棋子直径多少？】
: 背景知识：
: 围棋起源于中国，是修身养性的良品。棋子亮泽圆润，是指尖的精灵。但世界上最好的
: 围棋棋子，却产自日本，白子由天然贝壳打磨而成，做工细腻，称为蛤碁石，蛤意为“
: 贝”；碁意为“棋”，蛤碁石就是贝壳棋子的意思。蛤碁石严格来讲不包括黑子，仅指
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g*****w
发帖数: 1824 | 13 这是国内初三中考填空题水平的题目吧，能拿去做竞赛题？ |
o*******u
发帖数: 242 | 14 抬个杠，呵呵
第三点
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连接棋罐圆心和上排右边棋子的圆心，这个距离是(R-r)
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是怎么出来的？我还是花了10分钟才证出来，您是不是一眼就看出来了。
的比例
【在 m*****e 的大作中提到】
: Cannot sleep well. Spent time to work out the solution:
: 假设棋子半径为r，直径为d=2r，棋罐盖子半径为R
: * 连接棋罐圆心和上排中间棋子的圆心，这个距离是r
: * 连接上排中间棋子和上排右边棋子的圆心，这个距离是2r
: * 连接棋罐圆心和上排右边棋子的圆心，这个距离是(R-r)
: * r^2 + (2r)^2 = (R-r)^2
: * if R=1, 4r^2+2r-1=0, r=0.25*(sqrt(5)-1)
: * d/R = 0.5*(sqrt(5)-1)=0.618033989 这是所谓的"黄金分割"-最能引起人的美感的比例
: 一个贝壳能切出多少个棋子呢？
: * 从上排右边棋子的圆心向下话一条垂直的辅助线，长度为r
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f*****s
发帖数: 95 | 15 试证一下切不出八个棋子吧。也许可以做下次竞赛题。
设棋子的半径为1. 则贝壳的半径为 sqrt(5)+1. 考虑棋子的圆心，等价的命题是，一
个半径为 sqrt(5)的圆里不能找到八个点，两两之间距离至少为2.
（反证法）假设可以。以圆心画一半径为1的圆，该圆内最多有一个点。所以外圈至少
有七个点，必有两点夹角小于 2\pi/7. 考虑夹角为 2\pi/7， 夹于半径 1 和 sqrt(5)
之间的扇形，任何在这扇形中的两点距离均小于2. (考虑扇形的四个角，最大距离只
能发生在两个角之间， 这是因为对扇形里的任意一点，最远点一定是四个角之一。计
算得知小于1.95.）推出矛盾。
一般的，如果我们计 S(k) 为能挖出 k个棋子的最小贝壳半径，人们只知道 up to k=
13 的值， 参见
http://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_in_a_circle |
