f********0
发帖数: 73 | 1 assume both BA and AB are conformable. | H****h
发帖数: 1037 | 2 det(tI+AB)=det(A(tA^{-1}+B))=det((tA^{-1}+B)A)=det(tI+BA)
【在 f********0 的大作中提到】
: assume both BA and AB are conformable.
| H****h
发帖数: 1037 | | x*****d
发帖数: 427 | 4 if ABx = tx, then BABx = tBx, i.e. Bx is an eigenvector of BA
belonging to t. Similar argument for the converse.
【在 f********0 的大作中提到】
: assume both BA and AB are conformable.
| H****h
发帖数: 1037 | 5
unless Bx=0.
【在 x*****d 的大作中提到】
: if ABx = tx, then BABx = tBx, i.e. Bx is an eigenvector of BA
: belonging to t. Similar argument for the converse.
| n*******l
发帖数: 2911 | 6 Two cases.
1. If t=0 is an eignevalue of AB, then AB is singular and BA is singular too.
Hence t=0 is an eigenvalue of BA.
2. If t is a nonzero eigenvalue of AB, then there is a nonzero eigenvector x
such that ABx=tx and Bx can not be zero (if Bx=0, then ABx=0, but tx is not
zero, contradiction). Thus Bx is a nonzero eigenvector for BA with
eigenvalue t.
【在 H****h 的大作中提到】
:
: unless Bx=0.
| H****h
发帖数: 1037 | 7 还可以证明特种根的重数也是相同的。
too.
x
not
【在 n*******l 的大作中提到】
: Two cases.
: 1. If t=0 is an eignevalue of AB, then AB is singular and BA is singular too.
: Hence t=0 is an eigenvalue of BA.
: 2. If t is a nonzero eigenvalue of AB, then there is a nonzero eigenvector x
: such that ABx=tx and Bx can not be zero (if Bx=0, then ABx=0, but tx is not
: zero, contradiction). Thus Bx is a nonzero eigenvector for BA with
: eigenvalue t.
| x*****d
发帖数: 427 | 8 本来我以为对非方阵也对，结果找到反例 (1,0), (1,0)^T,
所以还是你的方法比较先进
【在 H****h 的大作中提到】
: 还可以证明特种根的重数也是相同的。
:
: too.
: x
: not
| g******a
发帖数: 69 | 9 [I B][0 0 ][I -B] = [BA 0]
[0 I][A AB][0 I ] [A 0]
【在 x*****d 的大作中提到】
: 本来我以为对非方阵也对，结果找到反例 (1,0), (1,0)^T,
: 所以还是你的方法比较先进
| H****h
发帖数: 1037 | 10 非方阵的情况可以通过补零形成方阵。所以AB和BA中阶数较高的方阵
多出来的特征值都是零。
如果A或者B任意一个是可逆的，那么AB和BA是相似的，于是有相同的若当标准型。
在一般情况下，AB和BA未必相似，比如二阶方阵A=e_{11}, B=e_{12}。
但可以证明AB和BA的非零特征值对应的若当块组合是完全一样的。
现在的一个问题是，如果AB和BA都只有零特征值，AB和BA的若当型有没有
任何联系，或者任何一对零特征值若当型都可以分别属于AB和BA？
【在 x*****d 的大作中提到】
: 本来我以为对非方阵也对，结果找到反例 (1,0), (1,0)^T,
: 所以还是你的方法比较先进
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