T*******x
发帖数: 8565 | 1 4x4的实矩阵：
a, -b, -c, -d
b, a, d, -c
c, -d, a, b
d, c, -b, a
如果(a,b,c,d)不全为0，那么这个矩阵的determinant不为0吧？
有定理吗？ | l******t
发帖数: 108 | 2 用Mathematica之类的算一下就知道
【在 T*******x 的大作中提到】
: 4x4的实矩阵：
: a, -b, -c, -d
: b, a, d, -c
: c, -d, a, b
: d, c, -b, a
: 如果(a,b,c,d)不全为0，那么这个矩阵的determinant不为0吧？
: 有定理吗？
| T*******x
发帖数: 8565 | 3
我不会用mathematica，我没有给具体数字怎么算啊？
【在 l******t 的大作中提到】
: 用Mathematica之类的算一下就知道
| c******m
发帖数: 599 | 4 手算也算出来了呀
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 我不会用mathematica，我没有给具体数字怎么算啊？
| l*****e
发帖数: 65 | 5
我想该行列式非退化。不过我可不想算，就用了一个偷换概念的方法。
设列向量v=(a,b,c,d)^T=a+bi+cj+dk !=0, a,b,c,d 是实数，1,i,j,k为Hamilton 四元数
的基（作为实数域上向量空间），那么矩阵的第二三四列恰好为 iv,jv,kv, 记得ij=k,
jk=i,ki=j, i^2=j^2=k^2=-1欧。
v, iv,jv,kv理所当然线性无关,i.e.，张成整个四元数体（我猜的），证毕。
【在 c******m 的大作中提到】
: 手算也算出来了呀
| T*******x
发帖数: 8565 | 6
行啊你！你知道吗？我这个问题正是从hamilton四元数抽象出来的，
你又给我还原回去了:)
我本来是想要验证：是否每个非0的四元数都有唯一的乘法逆元。
四元数定义为：a+bi+cj+dk，ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j,ii=jj=kk=-1.
四元数的集合构成ring。(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)=aa+bb+cc+dd
所以每个四元数存在逆元，我就想验证是否有唯一逆元。
如果能证明这个ring没有zero divisor，就能证明唯一逆元。
然后我就想证明(a+bi+cj+dk)(w+xi+yj+zk)=0 ==> a,b,c,d,w,x,y,z=0
展开之后得到一个方程组，然后就有了那个矩阵。不过我还没证出来。
你这个证明倒挺巧妙的。不过v,iv,jv,kv线性无关还需要证明一下。
【在 l*****e 的大作中提到】
:
: 我想该行列式非退化。不过我可不想算，就用了一个偷换概念的方法。
: 设列向量v=(a,b,c,d)^T=a+bi+cj+dk !=0, a,b,c,d 是实数，1,i,j,k为Hamilton 四元数
: 的基（作为实数域上向量空间），那么矩阵的第二三四列恰好为 iv,jv,kv, 记得ij=k,
: jk=i,ki=j, i^2=j^2=k^2=-1欧。
: v, iv,jv,kv理所当然线性无关,i.e.，张成整个四元数体（我猜的），证毕。
| T*******x
发帖数: 8565 | 7
手算得有具体的数才能算出来吧，可我这个是符号运算啊。
【在 c******m 的大作中提到】
: 手算也算出来了呀
| l******t
发帖数: 108 | 8 都是一堆偶数次方的项
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 手算得有具体的数才能算出来吧，可我这个是符号运算啊。
| x******g
发帖数: 318 | 9 带入有限个数算一下就行了
反正是个多项式
当然直接展开也不是太麻烦不是吗？……
【在 T*******x 的大作中提到】
: 4x4的实矩阵：
: a, -b, -c, -d
: b, a, d, -c
: c, -d, a, b
: d, c, -b, a
: 如果(a,b,c,d)不全为0，那么这个矩阵的determinant不为0吧？
: 有定理吗？
| l*****e
发帖数: 65 | 10
数
记得ij=k,
"如果能证明这个ring没有zero divisor，就能证明唯一逆元"
你都证明有逆元了， 又怎么会有zero divisor呢？？？？？？？
我只想偷懒，没想到英雄所见。。。
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 手算得有具体的数才能算出来吧，可我这个是符号运算啊。
| | | x******n
发帖数: 1328 | 11 这个矩阵乘以它自己的转置，得到主对角线上都是
a^2+b^2+c^2+d^2而非对角元为零的矩阵，显然其行列式大于零，当abcd
不全位零的时候，因此原矩阵行列式非零。
觉得这题有点脑筋急转弯。学数学的想太多了，就想不到，而我们这些
学工科的土人运气好就撞上了。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 4x4的实矩阵：
: a, -b, -c, -d
: b, a, d, -c
: c, -d, a, b
: d, c, -b, a
: 如果(a,b,c,d)不全为0，那么这个矩阵的determinant不为0吧？
: 有定理吗？
| x******g
发帖数: 318 | 12 .........
仅仅解决问题是不够的……
如果能引出更有趣更深刻的问题才算本是……
hoho
【在 x******n 的大作中提到】
: 这个矩阵乘以它自己的转置，得到主对角线上都是
: a^2+b^2+c^2+d^2而非对角元为零的矩阵，显然其行列式大于零，当abcd
: 不全位零的时候，因此原矩阵行列式非零。
: 觉得这题有点脑筋急转弯。学数学的想太多了，就想不到，而我们这些
: 学工科的土人运气好就撞上了。
| y**********a
发帖数: 16 | 13
????? f(a, b) = a^2 - b^2
【在 x******g 的大作中提到】
: 带入有限个数算一下就行了
: 反正是个多项式
: 当然直接展开也不是太麻烦不是吗？……
| x******g
发帖数: 318 | 14 ……那就修正一下呗
可是怎么修正呢?thinking……
【在 y**********a 的大作中提到】
:
: ????? f(a, b) = a^2 - b^2
| T*******x
发帖数: 8565 | 15
漂亮！
你谦虚了:)
【在 x******n 的大作中提到】
: 这个矩阵乘以它自己的转置，得到主对角线上都是
: a^2+b^2+c^2+d^2而非对角元为零的矩阵，显然其行列式大于零，当abcd
: 不全位零的时候，因此原矩阵行列式非零。
: 觉得这题有点脑筋急转弯。学数学的想太多了，就想不到，而我们这些
: 学工科的土人运气好就撞上了。
| x******g
发帖数: 318 | 16 其实有一个很自然的修正：利用线性方程组的行列式不为0
则解唯一
现在就有派生出一个有趣的问题：怎么快速的选择出一组使得行列式不为0的(x1,x2..xn)
呢?
【在 y**********a 的大作中提到】
:
: ????? f(a, b) = a^2 - b^2
| a****h
发帖数: 19 | 17 把每一行看成一个向量，他们相互正交，若不全部为零，
行列式不畏0
【在 T*******x 的大作中提到】
: 4x4的实矩阵：
: a, -b, -c, -d
: b, a, d, -c
: c, -d, a, b
: d, c, -b, a
: 如果(a,b,c,d)不全为0，那么这个矩阵的determinant不为0吧？
: 有定理吗？
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