T*******x
发帖数: 8565 | 1 这是Rudin书上的一个习题，我们这学期作业也出了这个题。
这个问题我想了超过一学期了，也没想出来。问过老师，他也没给出证明。
(X,\mu) is a positive measure space. f is a measurable function on X.
Let E={p: f \in L^p(X,\mu)}.
Question: Can E consist of single point?
这个问题的答案是No.
可以证明E一定是连通的，所以只能是interval，
E=(a,b)很容易找到。
E=[a,b)就不容易找到例子。这个例子老师给出来了。是1/(x (logx)(logx))。
E=(a,b]的例子应该没有。E=[a,a]的例子也没有。
我是这样猜想的，但是证明不出来。
谁给解解惑吧，困惑了一学期了。 | a*******a
发帖数: 33 | 2 E=(a,b] should be possible.
For example,
Consider measure m defined on N,
m({n})=1/ (n\log n)^2
Let f(n)=n,
then 1 is in E and 1+e for (e>0) is not in E
Consequently, for some measure and f, E can consist of single point
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这是Rudin书上的一个习题，我们这学期作业也出了这个题。
: 这个问题我想了超过一学期了，也没想出来。问过老师，他也没给出证明。
: (X,\mu) is a positive measure space. f is a measurable function on X.
: Let E={p: f \in L^p(X,\mu)}.
: Question: Can E consist of single point?
: 这个问题的答案是No.
: 可以证明E一定是连通的，所以只能是interval，
: E=(a,b)很容易找到。
: E=[a,b)就不容易找到例子。这个例子老师给出来了。是1/(x (logx)(logx))。
: E=(a,b]的例子应该没有。E=[a,a]的例子也没有。
| x******g
发帖数: 318 | 3 你这个问题是不是等价于问：找到一个正项级数an
问使得级数an^a收敛的所有a可能是什么样子的
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这是Rudin书上的一个习题，我们这学期作业也出了这个题。
: 这个问题我想了超过一学期了，也没想出来。问过老师，他也没给出证明。
: (X,\mu) is a positive measure space. f is a measurable function on X.
: Let E={p: f \in L^p(X,\mu)}.
: Question: Can E consist of single point?
: 这个问题的答案是No.
: 可以证明E一定是连通的，所以只能是interval，
: E=(a,b)很容易找到。
: E=[a,b)就不容易找到例子。这个例子老师给出来了。是1/(x (logx)(logx))。
: E=(a,b]的例子应该没有。E=[a,a]的例子也没有。
| T*******x
发帖数: 8565 | 4
漂亮！这个构造我深感佩服。还有上次那个f \notin L^p的构造我也深感佩服。
我一直没想到离散的measure。
下面还有。
不过E=[a,b)和E=(a,b]是在不同的measure上取得的，
E=[a,b)是X=(2,\infty)，Lebesgue measure，f=1/(x logx logx)
这两个measure space和函数怎么能组合到一起我想不出来。
你想到例子了吗？
【在 a*******a 的大作中提到】
: E=(a,b] should be possible.
: For example,
: Consider measure m defined on N,
: m({n})=1/ (n\log n)^2
: Let f(n)=n,
: then 1 is in E and 1+e for (e>0) is not in E
: Consequently, for some measure and f, E can consist of single point
| x******g
发帖数: 318 | 5 平移然后加一块或许是乘?,虽然我不清楚你的问题，不过我想我的思路
应该是正确的
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 漂亮！这个构造我深感佩服。还有上次那个f \notin L^p的构造我也深感佩服。
: 我一直没想到离散的measure。
: 下面还有。
: 不过E=[a,b)和E=(a,b]是在不同的measure上取得的，
: E=[a,b)是X=(2,\infty)，Lebesgue measure，f=1/(x logx logx)
: 这两个measure space和函数怎么能组合到一起我想不出来。
: 你想到例子了吗？
| T*******x
发帖数: 8565 | 6
你抽象出的这个问题应该是原问题的一部分。
你这个问题相当于积分空间为自然数集合，测度为计数测度。
不过如果就是你这个问题的话，你认为a可能是什么样子呢？
你这么想是很有启发的。我学实分析满脑子想的都是连续的测度，
总是想不到自然数集合上的counting measure，少了很多巧妙的构造。
【在 x******g 的大作中提到】
: 你这个问题是不是等价于问：找到一个正项级数an
: 问使得级数an^a收敛的所有a可能是什么样子的
| x******g
发帖数: 318 | 7 你可以证明a集合是连通的?
能否说一下你的证明
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 你抽象出的这个问题应该是原问题的一部分。
: 你这个问题相当于积分空间为自然数集合，测度为计数测度。
: 不过如果就是你这个问题的话，你认为a可能是什么样子呢？
: 你这么想是很有启发的。我学实分析满脑子想的都是连续的测度，
: 总是想不到自然数集合上的counting measure，少了很多巧妙的构造。
| T*******x
发帖数: 8565 | 8
Suppose r,s are in E, and 0
For any t \in (r,s), we want to show f \in L^t.
Let F0={x: |f(x)|<1}, F1={x: |f(x)|>=1},
then \int_X |f|^t = (\int_{F0} + \int_{F1}) |f|^t
\int_{F0} |f|^t <= \int_{F0} |f|^r dx < \infty,
\int_{F1} |f|^t <= \int_{F1} |f|^s dx < \infty,
so \int_X |f|^t dx < \infty, so f \in L^t.
这个连通性是Rudin习题上要证明的，不然也不容易往这方面想。
【在 x******g 的大作中提到】
: 你可以证明a集合是连通的?
: 能否说一下你的证明
| x******g
发帖数: 318 | 9 r
对，这个命题我竟然没有想到证明
还！
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: Suppose r,s are in E, and 0: For any t \in (r,s), we want to show f \in L^t.
: Let F0={x: |f(x)|<1}, F1={x: |f(x)|>=1},
: then \int_X |f|^t = (\int_{F0} + \int_{F1}) |f|^t
: \int_{F0} |f|^t <= \int_{F0} |f|^r dx < \infty,
: \int_{F1} |f|^t <= \int_{F1} |f|^s dx < \infty,
: so \int_X |f|^t dx < \infty, so f \in L^t.
: 这个连通性是Rudin习题上要证明的，不然也不容易往这方面想。
| x******g
发帖数: 318 | 10 这种情况下
a集合只能是a>l,或者a>=l这种形状了
因为an充分大的时候必然要小于1的
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: Suppose r,s are in E, and 0: For any t \in (r,s), we want to show f \in L^t.
: Let F0={x: |f(x)|<1}, F1={x: |f(x)|>=1},
: then \int_X |f|^t = (\int_{F0} + \int_{F1}) |f|^t
: \int_{F0} |f|^t <= \int_{F0} |f|^r dx < \infty,
: \int_{F1} |f|^t <= \int_{F1} |f|^s dx < \infty,
: so \int_X |f|^t dx < \infty, so f \in L^t.
: 这个连通性是Rudin习题上要证明的，不然也不容易往这方面想。
| | | B****n
发帖数: 11290 | 11
TheMatrix 你不是說不可能有E是單點嗎
如果你把 f=(1/(xlogxlogx)) 倒過來
不就是(-a,-b] 的例子
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: Suppose r,s are in E, and 0: For any t \in (r,s), we want to show f \in L^t.
: Let F0={x: |f(x)|<1}, F1={x: |f(x)|>=1},
: then \int_X |f|^t = (\int_{F0} + \int_{F1}) |f|^t
: \int_{F0} |f|^t <= \int_{F0} |f|^r dx < \infty,
: \int_{F1} |f|^t <= \int_{F1} |f|^s dx < \infty,
: so \int_X |f|^t dx < \infty, so f \in L^t.
: 这个连通性是Rudin习题上要证明的，不然也不容易往这方面想。
| T*******x
发帖数: 8565 | 12
“不可能有单点集”，我是这么想得啊，而且我们老师也是这么说的。
但是他也有可能记错啊。看了andromida的(a,b]形式的漂亮的构造，我也有点动摇。
不过我80%认为应该没有单点集，(a,b]和[a,b)两个形式组合不到一起去。
你说把f=(1/(xlogxlogx))倒过来，怎么倒过来啊？
我也想过倒过来，但是没倒过来。
【在 B****n 的大作中提到】
:
: TheMatrix 你不是說不可能有E是單點嗎
: 如果你把 f=(1/(xlogxlogx)) 倒過來
: 不就是(-a,-b] 的例子
| T*******x
发帖数: 8565 | 13
能有a>=l这种形状吗？
【在 x******g 的大作中提到】
: 这种情况下
: a集合只能是a>l,或者a>=l这种形状了
: 因为an充分大的时候必然要小于1的
| a*******a
发帖数: 33 | 14
把两个measure加在一起应该可以吧？
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 能有a>=l这种形状吗？
| B****n
发帖数: 11290 | 15
put all the things together
X=[2,infinity)
f1=1/(xlogxlogx) if x>=2 and not integer
=0 otherwise
f2(x)=x if x>=2 and integer
=0 otherwise
m=m1+m2
m1 lebesgue measure m2 counting measure m({n})=1/ (n\log n)^2
f=f1+f2
f^c=f1^c+f2^c
you can get the result you want
【在 a*******a 的大作中提到】
:
: 把两个measure加在一起应该可以吧？
| T*******x
发帖数: 8565 | 16
漂亮！
这种构造的measure我还是第一次见到。看来我还需要拓展视野。
谢谢两位的讨论，本人受益非浅。
【在 B****n 的大作中提到】
:
: put all the things together
: X=[2,infinity)
: f1=1/(xlogxlogx) if x>=2 and not integer
: =0 otherwise
: f2(x)=x if x>=2 and integer
: =0 otherwise
: m=m1+m2
: m1 lebesgue measure m2 counting measure m({n})=1/ (n\log n)^2
: f=f1+f2
| B****n
发帖数: 11290 | 17 我仔細想了一下 發現不需要利用counting measure
其實你老師給的例子很好
f(x)=1/(xlogxlogx)
int(1/(xlogxlogx))=-(logx)^(-1)
為什麼一取小於一的次方就不可積了呢
原因是這個logx 相對於x very small
如果你想要弄一個大於一的次方在[0,1]不可積的函數
那你應該取一個積分後為類似1/(log(1/x))的函數 ，log(1/x)相對於 1/x very small
f=d/dx（1/log(1/x)）
f=(log(1/x))^(-2)/x
可知f取一個大於一的次方在[0,1]就不可以積了
這樣你把兩個函數加起來 就只需要lesbegue measure
ｆ＝ｆ1*i[0,1]+f2*i[2,infinity)
f1==(log(1/x))^(-2)/x
f2=1/(xlogxlogx)
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 漂亮！
: 这种构造的measure我还是第一次见到。看来我还需要拓展视野。
: 谢谢两位的讨论，本人受益非浅。
| x******g
发帖数: 318 | 18 an=1/(n*(lgn)^2)
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 漂亮！
: 这种构造的measure我还是第一次见到。看来我还需要拓展视野。
: 谢谢两位的讨论，本人受益非浅。
| x******g
发帖数: 318 | 19 我没看懂你的推理
请问为什么1属于E,而大于1的任意数不属于E
【在 a*******a 的大作中提到】
: E=(a,b] should be possible.
: For example,
: Consider measure m defined on N,
: m({n})=1/ (n\log n)^2
: Let f(n)=n,
: then 1 is in E and 1+e for (e>0) is not in E
: Consequently, for some measure and f, E can consist of single point
| T*******x
发帖数: 8565 | 20
这个不行吧？这两个函数f1,f2完全一样啊。log(1/x)=-logx
你这个f1在[0,1]区间不可积吧？积出来\int f1 = 1/log(1/x)=-1/logx
。
【在 B****n 的大作中提到】
: 我仔細想了一下 發現不需要利用counting measure
: 其實你老師給的例子很好
: f(x)=1/(xlogxlogx)
: int(1/(xlogxlogx))=-(logx)^(-1)
: 為什麼一取小於一的次方就不可積了呢
: 原因是這個logx 相對於x very small
: 如果你想要弄一個大於一的次方在[0,1]不可積的函數
: 那你應該取一個積分後為類似1/(log(1/x))的函數 ，log(1/x)相對於 1/x very small
: f=d/dx（1/log(1/x)）
: f=(log(1/x))^(-2)/x
| | | x******g
发帖数: 318 | 21 lgx在[0,1]广义可积的
你求一下原函数然后求极限就可以看出来了
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 这个不行吧？这两个函数f1,f2完全一样啊。log(1/x)=-logx
: 你这个f1在[0,1]区间不可积吧？积出来\int f1 = 1/log(1/x)=-1/logx
: 。
| T*******x
发帖数: 8565 | 22
我原函数已经求出来了啊。\int f1 = 1/log(1/x)=-1/logx
在[0,1]区间广义也不可积啊。
small
【在 x******g 的大作中提到】
: lgx在[0,1]广义可积的
: 你求一下原函数然后求极限就可以看出来了
| x******g
发帖数: 318 | 23 你是说lgx在[0,1]不广义可积?
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 我原函数已经求出来了啊。\int f1 = 1/log(1/x)=-1/logx
: 在[0,1]区间广义也不可积啊。
: small
| T*******x
发帖数: 8565 | 24
我说的是f1的原函数是-1/logx，f1在[0,1]区间积分
就应该等于-1/logx在0,1两点的函数差，但是-1/logx在1点是无穷大啊。
所以广义也不可积啊。对不对？
【在 x******g 的大作中提到】
: 你是说lgx在[0,1]不广义可积?
| x******g
发帖数: 318 | 25 对
刚才我说的和你说的不是一个f...
呵呵
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 我说的是f1的原函数是-1/logx，f1在[0,1]区间积分
: 就应该等于-1/logx在0,1两点的函数差，但是-1/logx在1点是无穷大啊。
: 所以广义也不可积啊。对不对？
| B****n
发帖数: 11290 | 26
對 我沒注意到 但是你換成[0,1/2]呢
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 我说的是f1的原函数是-1/logx，f1在[0,1]区间积分
: 就应该等于-1/logx在0,1两点的函数差，但是-1/logx在1点是无穷大啊。
: 所以广义也不可积啊。对不对？
| T*******x
发帖数: 8565 | 27
太对了！
行了，这个问题解决得很好。
没想到啊没想到！
原来老师已经给答案，就是这个函数，要在两个区间上积分。
【在 B****n 的大作中提到】
:
: 對 我沒注意到 但是你換成[0,1/2]呢
| x******g
发帖数: 318 | 28 我的解答呢(7387)?
是不是更好?
呵呵
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 太对了！
: 行了，这个问题解决得很好。
: 没想到啊没想到！
: 原来老师已经给答案，就是这个函数，要在两个区间上积分。
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