g******s
发帖数: 410 | 1 令矩阵A=x*x^H，其中x为列向量，那么A^H=A。反过来，任一semipositive definite的
Hermitian矩阵，能分解为某一列向量的外积吗？是否有什么附加条件要满足？给定了A
，如何构造向量x呢？谢谢 |
H****h
发帖数: 1037 | 2 rank(A)=1 or 0.
了A
【在 g******s 的大作中提到】
: 令矩阵A=x*x^H，其中x为列向量，那么A^H=A。反过来，任一semipositive definite的
: Hermitian矩阵，能分解为某一列向量的外积吗？是否有什么附加条件要满足？给定了A
: ，如何构造向量x呢？谢谢
|
g******s
发帖数: 410 | 3 rank(A)=0?那不就是零矩阵了？
如果rank(A)=1呢？怎么求向量x？请详细说说，谢谢！
【在 H****h 的大作中提到】
: rank(A)=1 or 0.
:
: 了A
|
D*******a
发帖数: 3688 | 4 SVD
【在 g******s 的大作中提到】
: rank(A)=0?那不就是零矩阵了？
: 如果rank(A)=1呢？怎么求向量x？请详细说说，谢谢！
|
d******e
发帖数: 7844 | 5 你说的是Spectral Decompositiona吧
A通过SVD分解，得到U,Simga,V，那么A=sum(lambda(i)*u(:,i)*v(:,i)');
Hermitian是SVD的特殊情况，U=V';
你如果一个矩阵可以分解为一个向量的外积,那矩阵的Rank也就1或者0，因为向量的
rank是1或者0。
了A
【在 g******s 的大作中提到】
: 令矩阵A=x*x^H，其中x为列向量，那么A^H=A。反过来，任一semipositive definite的
: Hermitian矩阵，能分解为某一列向量的外积吗？是否有什么附加条件要满足？给定了A
: ，如何构造向量x呢？谢谢
|
g******s
发帖数: 410 | 6 我知道SVD或者特征分解，在SVD分解中，我们可以将矩阵A表示成一组正交向量外积的加
权和，权重就是特征值或者奇异值。我想要证明的是半正定的Hermitian矩阵A（抑或再
加上Toeplitz特性）如何分解成某“一个”向量的外积。我想这里A肯定要满足一些条件
才行，那么是什么条件呢？
【在 d******e 的大作中提到】
: 你说的是Spectral Decompositiona吧
: A通过SVD分解，得到U,Simga,V，那么A=sum(lambda(i)*u(:,i)*v(:,i)');
: Hermitian是SVD的特殊情况，U=V';
: 你如果一个矩阵可以分解为一个向量的外积,那矩阵的Rank也就1或者0，因为向量的
: rank是1或者0。
:
: 了A
|
D*******a
发帖数: 3688 | 7 条件就是rank(A)=1 (or 0, trivially)
的加
条件
【在 g******s 的大作中提到】
: 我知道SVD或者特征分解，在SVD分解中，我们可以将矩阵A表示成一组正交向量外积的加
: 权和，权重就是特征值或者奇异值。我想要证明的是半正定的Hermitian矩阵A（抑或再
: 加上Toeplitz特性）如何分解成某“一个”向量的外积。我想这里A肯定要满足一些条件
: 才行，那么是什么条件呢？
|
g******s
发帖数: 410 | 8 再请教大牛，如果rank(A)=1满足了，向量x如何构造呢？在下愚钝请赐教！
【在 D*******a 的大作中提到】
: 条件就是rank(A)=1 (or 0, trivially)
:
: 的加
: 条件
|
g******s
发帖数: 410 | 9 如果A=E{x*x^H},E{.}表示数学期望，还要求rank(A)=1或0吗？
【在 D*******a 的大作中提到】
: 条件就是rank(A)=1 (or 0, trivially)
:
: 的加
: 条件
|
d******e
发帖数: 7844 | 10 特征值分解就可以了.
【在 g******s 的大作中提到】
: 再请教大牛，如果rank(A)=1满足了，向量x如何构造呢？在下愚钝请赐教！
|
|
|
d******e
发帖数: 7844 | 11 那你的x需要是随机变量。
对于一个列向量，trace(xx')=x'x
【在 g******s 的大作中提到】
: 如果A=E{x*x^H},E{.}表示数学期望，还要求rank(A)=1或0吗？
|
g******s
发帖数: 410 | 12 数学比较烂，看不出原来的问题跟trace有什么关系，请大牛指教！
【在 d******e 的大作中提到】
: 那你的x需要是随机变量。
: 对于一个列向量，trace(xx')=x'x
|
H****h
发帖数: 1037 | 13 你到底在考虑什么问题？
【在 g******s 的大作中提到】
: 如果A=E{x*x^H},E{.}表示数学期望，还要求rank(A)=1或0吗？
|
g******s
发帖数: 410 | 14 很抱歉我把问题说得太模糊了，我本来是想把一个工程上的问题抽象出来讨论的，可惜
没有做好。其实问题是这样的：
我们知道自相关矩阵是半正定的Hermitian和Toeplitz矩阵，那么我的问题是是否一个矩
阵满足半正定、Hermitian、Toeplitz就能看成或者表示成自相关矩阵。
1.对于确定性向量，自相关矩阵A定义为A=x*x^H,x为列向量。刚才的给为给出的答案是
rank(A)=1,出去全零矩阵的特殊情况。
2.对于随机向量，自相关矩阵定义为A=E{x*x^H},E{.}表示数学期望。我现在的问题是对
随机向量的情况，如果一个矩阵A满足半正定、Hermitian、Toeplitz，它是否可以分解
成E{x*x^H}。我知道在随机情况下构造x可能很困难或者不可能，那么这种分解的表示是
否一定成立？或者矩阵A满足怎么样的条件才能分解成上述形式？
希望我这次把问题说清楚了：）谢谢指教！
【在 H****h 的大作中提到】
: 你到底在考虑什么问题？
|
H****h
发帖数: 1037 | 15 随机变量的情况需要各个分量独立吗？
个矩
是对
示是
【在 g******s 的大作中提到】
: 很抱歉我把问题说得太模糊了，我本来是想把一个工程上的问题抽象出来讨论的，可惜
: 没有做好。其实问题是这样的：
: 我们知道自相关矩阵是半正定的Hermitian和Toeplitz矩阵，那么我的问题是是否一个矩
: 阵满足半正定、Hermitian、Toeplitz就能看成或者表示成自相关矩阵。
: 1.对于确定性向量，自相关矩阵A定义为A=x*x^H,x为列向量。刚才的给为给出的答案是
: rank(A)=1,出去全零矩阵的特殊情况。
: 2.对于随机向量，自相关矩阵定义为A=E{x*x^H},E{.}表示数学期望。我现在的问题是对
: 随机向量的情况，如果一个矩阵A满足半正定、Hermitian、Toeplitz，它是否可以分解
: 成E{x*x^H}。我知道在随机情况下构造x可能很困难或者不可能，那么这种分解的表示是
: 否一定成立？或者矩阵A满足怎么样的条件才能分解成上述形式？
|
g******s
发帖数: 410 | 16 从我的角度，一般情况向量x的各分量是不独立的。如果独立再加上零均值的条件，A就
是一个对角阵了。
【在 H****h 的大作中提到】
: 随机变量的情况需要各个分量独立吗？
:
: 个矩
: 是对
: 示是
|
H****h
发帖数: 1037 | 17 你总可以把半正定矩阵写成若干rank为1的半正定矩阵之和。
所以任何半正定矩阵都可以符合你的要求。
【在 g******s 的大作中提到】
: 从我的角度，一般情况向量x的各分量是不独立的。如果独立再加上零均值的条件，A就
: 是一个对角阵了。
|
g******s
发帖数: 410 | 18 那不就回到特征值分解了吗？这个半正定矩阵表示为一组（可能是N个）特征向量外积的
加权和，而不是某一个（随机）向量的外积。不知道我的理解有没有不对？我原来的问
题是想把A分解成一个列向量的外积的期望。
【在 H****h 的大作中提到】
: 你总可以把半正定矩阵写成若干rank为1的半正定矩阵之和。
: 所以任何半正定矩阵都可以符合你的要求。
|
