m*******s
发帖数: 3142 | 1 Let I be a nonempty set and {x_l}l∈I an indexed collection of nonegative
real numbers, that is, x_l≥0 for each l∈I ,Define
\sum_{l\in I}x_l=sup \left \{\sum_{l\in F}x_l: F finite, F\subset I \right
\}
where each sum in the set on the right is the ordinary sum of a finite
collection of real numbers
Show that if \sum_{l\in I}x_l<\infty, then {l∈I:x_l>0} is countable.
这题看起来好像很显然，但是我说不清理由，请大家说说证明关键的地方。 | R*********r
发帖数: 1855 | 2 记E_n={l∈I:x_l>1/n}，每个E_n都必须是有限的，否则\sum_{i\in E_n}x_i>|E_n|/n=
\infty，于是{l∈I:x_l>0}=UE_n是可数的。 | m*******s
发帖数: 3142 | 3 谢谢！
又是这种集合分解的技巧，我一直对实变函数比较头痛的就是这个。 | D**u
发帖数: 204 | 4 横着切.
n=
【在 R*********r 的大作中提到】
: 记E_n={l∈I:x_l>1/n}，每个E_n都必须是有限的，否则\sum_{i\in E_n}x_i>|E_n|/n=
: \infty，于是{l∈I:x_l>0}=UE_n是可数的。
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