h***b
发帖数: 43 | 1 如果f is piecewise continuous on [a,b],如何证明f is integrable on [a,b]?
我想分两部分：
后一部分，choose一个partition of [a,b] 使得其在每一个subinterval integrable,
然后可以证出在整个[a,b]integrable.问题一，我可以直接选这样一个partition吗？
前一部分，需要证明f is bounded.怎末从piecewise continuous证出bounded呢？这是
我最大的问题。
谢谢~ | r*******y
发帖数: 1081 | 2 要不去找找 piecewise continuous的定义?
integrable,
【在 h***b 的大作中提到】
: 如果f is piecewise continuous on [a,b],如何证明f is integrable on [a,b]?
: 我想分两部分：
: 后一部分，choose一个partition of [a,b] 使得其在每一个subinterval integrable,
: 然后可以证出在整个[a,b]integrable.问题一，我可以直接选这样一个partition吗？
: 前一部分，需要证明f is bounded.怎末从piecewise continuous证出bounded呢？这是
: 我最大的问题。
: 谢谢~
| F*********w
发帖数: 778 | 3 piecewise continuous就可以找有限个点成为[a, b]的一个partition，在每个小区间
上f都是连续的（除了端点），所以可以可积，加起来还是可积的。
integrable,
【在 h***b 的大作中提到】
: 如果f is piecewise continuous on [a,b],如何证明f is integrable on [a,b]?
: 我想分两部分：
: 后一部分，choose一个partition of [a,b] 使得其在每一个subinterval integrable,
: 然后可以证出在整个[a,b]integrable.问题一，我可以直接选这样一个partition吗？
: 前一部分，需要证明f is bounded.怎末从piecewise continuous证出bounded呢？这是
: 我最大的问题。
: 谢谢~
| h***b
发帖数: 43 | 4 你说得很对，谢谢。
那末在每个小区间上，端点怎魔办呢？因为如果要证明在每个小区间上可积，条件除了
连续，还需要bounded <----这个如何解决？
我研究了piecewise continuous的定义，第二条是lim F(x) 从左/右趋近x i both
exists and are finite for each x i,那末可否由此直接推出bounded？
【在 F*********w 的大作中提到】
: piecewise continuous就可以找有限个点成为[a, b]的一个partition，在每个小区间
: 上f都是连续的（除了端点），所以可以可积，加起来还是可积的。
:
: integrable,
| F*********w
发帖数: 778 | 5 端点不重要，可积不可积不差一个零测集。
所以在每个区间上，f等于一个连续函数a.e.，闭区间上的连续函数都是有界的。
【在 h***b 的大作中提到】
: 你说得很对，谢谢。
: 那末在每个小区间上，端点怎魔办呢？因为如果要证明在每个小区间上可积，条件除了
: 连续，还需要bounded <----这个如何解决？
: 我研究了piecewise continuous的定义，第二条是lim F(x) 从左/右趋近x i both
: exists and are finite for each x i,那末可否由此直接推出bounded？
| h***b
发帖数: 43 | 6 可是从连续推可积的时候，需要的一个条件就是在闭区间。
对于piecewise continuous，f是在[a,b]，但是对于每一段来说就不一定是闭区间了，
这个没关系吗？
【在 F*********w 的大作中提到】
: 端点不重要，可积不可积不差一个零测集。
: 所以在每个区间上，f等于一个连续函数a.e.，闭区间上的连续函数都是有界的。
| F*********w
发帖数: 778 | 7 呃。。我二了，你这个东东需要函数没有第二类间断点才行。。。
比如1/x从[-1, 1]就不是可积的，my bad..
【在 h***b 的大作中提到】
: 可是从连续推可积的时候，需要的一个条件就是在闭区间。
: 对于piecewise continuous，f是在[a,b]，但是对于每一段来说就不一定是闭区间了，
: 这个没关系吗？
| e**g
发帖数: 5 | | s*x
发帖数: 3328 | 9 1/x在0点不连续吧,左边趋于-inf,右边趋于+inf,应该是|1/x|才对
【在 F*********w 的大作中提到】
: 呃。。我二了，你这个东东需要函数没有第二类间断点才行。。。
: 比如1/x从[-1, 1]就不是可积的，my bad..
| l******n
发帖数: 9344 | 10 piecewise cont就没有第二类间断点了
只可能有第一类间断点，这个不影响可积性
【在 F*********w 的大作中提到】
: 呃。。我二了，你这个东东需要函数没有第二类间断点才行。。。
: 比如1/x从[-1, 1]就不是可积的，my bad..
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