J*******4 发帖数: 110 | 1 如题,无论是与不是,能否给点提示如何证明/证伪。多谢! |
h******d 发帖数: 81 | 2 Yes.
【在 J*******4 的大作中提到】 : 如题,无论是与不是,能否给点提示如何证明/证伪。多谢!
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L******k 发帖数: 33825 | 3 (a) Prove or disprove: an intersection of countably many closed sets is
closed.
(b) Prove or disprove: A union of countably many closed sets is closed.
【在 J*******4 的大作中提到】 : 如题,无论是与不是,能否给点提示如何证明/证伪。多谢!
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J*******4 发帖数: 110 | 4 多谢楼上二位给的回复!我也认为应该是开的,但一时不知道该如何证明。楼上说的这
个方法不知是否可以再具体一点?我先前想到一个例子,不过不知道是不是正确。我想
到的例子是Cantor集。Cantor集是闭集,Cantor集在区间[0,1]上的补集包括不可数无
穷多个开集。因为Cantor集是闭集,其补集必然为开。不过好像有人认为Cantor集的补
集仅包括可数无穷多个开集。对于楼上给的提示,不知道是否可以这样理解:不可数无
穷多个开集的补集仅包含至多可数无穷多个闭集?
【在 L******k 的大作中提到】 : (a) Prove or disprove: an intersection of countably many closed sets is : closed. : (b) Prove or disprove: A union of countably many closed sets is closed.
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J*******4 发帖数: 110 | 5 呵呵,是呀,我也只顾着赶快回复了。可数无穷多个闭集的并可以不是闭集哈。比如:
{I_n | I_n = [1/n,1], n为自然数。}。这个集族的并是:(0,1]。 |
J*******4 发帖数: 110 | 6 大家给点提示吧,是否有什么书讨论不可数无穷并或交的?多谢! |
d******e 发帖数: 7844 | 7 这个用定义就能证明啊。
【在 J*******4 的大作中提到】 : 如题,无论是与不是,能否给点提示如何证明/证伪。多谢!
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J*******4 发帖数: 110 | 8 我想到证明了,其实,正如楼上所说,很简单,直接用定义就可以证明了。因为开集的
每一个点都是集合的内点。开集的任意并内的点也都是内点,所以,开集的任意并都是
开集,无论有穷并,可数无穷并还是不可数无穷并,都是开集。 |
A****s 发帖数: 129 | 9 任意多个开集的并还是开集..这是定义啊,不用证明
你学的拓扑是怎么定义的?
【在 J*******4 的大作中提到】 : 如题,无论是与不是,能否给点提示如何证明/证伪。多谢!
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A****s 发帖数: 129 | 10 (a)是对的
你看得啥书告诉你两个都是错的。。 |
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d******e 发帖数: 7844 | 11 haha
【在 A****s 的大作中提到】 : (a)是对的 : 你看得啥书告诉你两个都是错的。。
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p********e 发帖数: 16048 | 12 看错了,不好意思,已删
(a)是对的
你看得啥书告诉你两个都是错的。。
【在 A****s 的大作中提到】 : (a)是对的 : 你看得啥书告诉你两个都是错的。。
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s*******n 发帖数: 740 | |
J*******4 发帖数: 110 | 14 这个问题现在我已经搞清楚了。其实,原问题是讨论康托集的性质。我在跟一个同学讨
论的时候,简单叙述了我证明康托集是闭集的思想。我认为由于康托集在[0,1]区间上
的补集是无穷开集的并。由于无穷开集的并仍然是开集,所以,康托集是闭的。不过,
在阐述证明的过程中,因为容易证明康托集是不可数集,所以,当时我认为康托集的补
集由不可数无穷多个开集组成。我那个同学反驳说,第一,康托集的补集仅包含可数无
穷多个开集;第二,仅至多可数无穷多个开集的并仍是开集。现在我已经明白,我那同
学的第一点看法是对的,因为康托集不仅仅包含了被移除的开区间的端点,还包括更多
的点,正是因为这些不是端点的点导致了康托集不可数的性质。我同学的第二点看法是
错的,这一点正如楼上各位所说,我翻了一下Rudin的书,书中对于开集的并仍是开集
的定理叙述,并未限制仅至多可数个开集的并仍是开集。谢谢大家的讨论! |
s*********h 发帖数: 6288 | 15 显然LZ的开集是数学分析中的简单定义。
【在 s*******n 的大作中提到】 : 这就是开集的定义啊 : 为什么要证
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