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Mathematics版 - 请问:不可数无穷多个开集的并还是开集吗?
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我曾经坐在一个美国不错大学的EE研究生课中请问[0,1]内的有理数是开集还是闭集?
Re: 极限和连续的几个问题请教一个实分析问题
同学问的经济系qualify的一道题zz:希尔伯特23个数学问题及其解决情况
也来说说哥德而 (转载)一个实分析的问题(L^p space)
怎么样证明一个SET可数 那么他的平方跟组成的数列也可数呢[转载] 问几本Real Analysis的书
俺有一个问题一直想不通help: Rudin's Functional Analysis book Ch7 #11
关于反证法的思路这里有人做Rudin's functional analysis的习题吗?
测度问题recommendation for functional analysis BOOKS?
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话题: 开集话题: 无穷话题: 不可数话题: 康托话题: 多个
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J*******4
发帖数: 110
1
如题,无论是与不是,能否给点提示如何证明/证伪。多谢!
h******d
发帖数: 81
2
Yes.

【在 J*******4 的大作中提到】
: 如题,无论是与不是,能否给点提示如何证明/证伪。多谢!
L******k
发帖数: 33825
3
(a) Prove or disprove: an intersection of countably many closed sets is
closed.
(b) Prove or disprove: A union of countably many closed sets is closed.

【在 J*******4 的大作中提到】
: 如题,无论是与不是,能否给点提示如何证明/证伪。多谢!
J*******4
发帖数: 110
4
多谢楼上二位给的回复!我也认为应该是开的,但一时不知道该如何证明。楼上说的这
个方法不知是否可以再具体一点?我先前想到一个例子,不过不知道是不是正确。我想
到的例子是Cantor集。Cantor集是闭集,Cantor集在区间[0,1]上的补集包括不可数无
穷多个开集。因为Cantor集是闭集,其补集必然为开。不过好像有人认为Cantor集的补
集仅包括可数无穷多个开集。对于楼上给的提示,不知道是否可以这样理解:不可数无
穷多个开集的补集仅包含至多可数无穷多个闭集?

【在 L******k 的大作中提到】
: (a) Prove or disprove: an intersection of countably many closed sets is
: closed.
: (b) Prove or disprove: A union of countably many closed sets is closed.

J*******4
发帖数: 110
5
呵呵,是呀,我也只顾着赶快回复了。可数无穷多个闭集的并可以不是闭集哈。比如:
{I_n | I_n = [1/n,1], n为自然数。}。这个集族的并是:(0,1]。
J*******4
发帖数: 110
6
大家给点提示吧,是否有什么书讨论不可数无穷并或交的?多谢!
d******e
发帖数: 7844
7
这个用定义就能证明啊。

【在 J*******4 的大作中提到】
: 如题,无论是与不是,能否给点提示如何证明/证伪。多谢!
J*******4
发帖数: 110
8
我想到证明了,其实,正如楼上所说,很简单,直接用定义就可以证明了。因为开集的
每一个点都是集合的内点。开集的任意并内的点也都是内点,所以,开集的任意并都是
开集,无论有穷并,可数无穷并还是不可数无穷并,都是开集。
A****s
发帖数: 129
9
任意多个开集的并还是开集..这是定义啊,不用证明
你学的拓扑是怎么定义的?

【在 J*******4 的大作中提到】
: 如题,无论是与不是,能否给点提示如何证明/证伪。多谢!
A****s
发帖数: 129
10
(a)是对的
你看得啥书告诉你两个都是错的。。
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俺有一个问题一直想不通请问[0,1]内的有理数是开集还是闭集?
关于反证法的思路请教一个实分析问题
测度问题zz:希尔伯特23个数学问题及其解决情况
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d******e
发帖数: 7844
11
haha

【在 A****s 的大作中提到】
: (a)是对的
: 你看得啥书告诉你两个都是错的。。

p********e
发帖数: 16048
12
看错了,不好意思,已删

(a)是对的
你看得啥书告诉你两个都是错的。。

【在 A****s 的大作中提到】
: (a)是对的
: 你看得啥书告诉你两个都是错的。。

s*******n
发帖数: 740
13
这就是开集的定义啊
为什么要证
J*******4
发帖数: 110
14
这个问题现在我已经搞清楚了。其实,原问题是讨论康托集的性质。我在跟一个同学讨
论的时候,简单叙述了我证明康托集是闭集的思想。我认为由于康托集在[0,1]区间上
的补集是无穷开集的并。由于无穷开集的并仍然是开集,所以,康托集是闭的。不过,
在阐述证明的过程中,因为容易证明康托集是不可数集,所以,当时我认为康托集的补
集由不可数无穷多个开集组成。我那个同学反驳说,第一,康托集的补集仅包含可数无
穷多个开集;第二,仅至多可数无穷多个开集的并仍是开集。现在我已经明白,我那同
学的第一点看法是对的,因为康托集不仅仅包含了被移除的开区间的端点,还包括更多
的点,正是因为这些不是端点的点导致了康托集不可数的性质。我同学的第二点看法是
错的,这一点正如楼上各位所说,我翻了一下Rudin的书,书中对于开集的并仍是开集
的定理叙述,并未限制仅至多可数个开集的并仍是开集。谢谢大家的讨论!
s*********h
发帖数: 6288
15
显然LZ的开集是数学分析中的简单定义。

【在 s*******n 的大作中提到】
: 这就是开集的定义啊
: 为什么要证

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recommendation for functional analysis BOOKS?怎么样证明一个SET可数 那么他的平方跟组成的数列也可数呢
A ceiling function problem俺有一个问题一直想不通
请推荐一本Functional analysis的书关于反证法的思路
请推荐一本经典的讲实分析的书测度问题
我曾经坐在一个美国不错大学的EE研究生课中请问[0,1]内的有理数是开集还是闭集?
Re: 极限和连续的几个问题请教一个实分析问题
同学问的经济系qualify的一道题zz:希尔伯特23个数学问题及其解决情况
也来说说哥德而 (转载)一个实分析的问题(L^p space)
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