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Mathematics版 - 请问对称矩阵的特征值特征向量是连续的吗?
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话题: 特征向量话题: 重根话题: 特征值话题: 连续话题: 定理
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G********n
发帖数: 615
1
如果有一族光滑的对称矩阵,
它们的特征值和特征向量是连续的吗?
是可微的吗?
多谢~~
N**D
发帖数: 10322
2
depend on definition of matrix smooth,
my wildest guess.

【在 G********n 的大作中提到】
: 如果有一族光滑的对称矩阵,
: 它们的特征值和特征向量是连续的吗?
: 是可微的吗?
: 多谢~~

G********n
发帖数: 615
3
By smooth I mean
A(x_1, ... ,x_n) = ( a_{ij}(x_1, ..., x_n) )
where a_{ij}(x_1, ..., x_n) are smooth functions on x_1, ..., x_n.

【在 N**D 的大作中提到】
: depend on definition of matrix smooth,
: my wildest guess.

G********n
发帖数: 615
4
If the matrix is analytic, it is known that eigenvalues and eigenvectors are
analytic too.

【在 N**D 的大作中提到】
: depend on definition of matrix smooth,
: my wildest guess.

B****n
发帖数: 11290
5
大部分情況下肯定是平滑的 比方說特徵值是多項式的解 係數是矩陣元素的平滑函數
根據隱函數定理 大致上可知在非singular的情況下 解是平滑的

【在 G********n 的大作中提到】
: 如果有一族光滑的对称矩阵,
: 它们的特征值和特征向量是连续的吗?
: 是可微的吗?
: 多谢~~

H*********r
发帖数: 659
6
where to learn this concept? I only learned numerical linear algebra

are

【在 G********n 的大作中提到】
: If the matrix is analytic, it is known that eigenvalues and eigenvectors are
: analytic too.

G********n
发帖数: 615
7
Thank you.
But I need a result for ALL symmetric matrices...

根據隱函數定理 大致上可知在非singular的情況下 解是平滑的

【在 B****n 的大作中提到】
: 大部分情況下肯定是平滑的 比方說特徵值是多項式的解 係數是矩陣元素的平滑函數
: 根據隱函數定理 大致上可知在非singular的情況下 解是平滑的

g****t
发帖数: 31659
8
就是隐含数定理啊,找本matrxi analysis书就可以看到了.

Thank you.
But I need a result for ALL symmetric matrices...
根據隱函數定理 大致上可知在非singular的情況下 解是平滑的

【在 G********n 的大作中提到】
: Thank you.
: But I need a result for ALL symmetric matrices...
:
: 根據隱函數定理 大致上可知在非singular的情況下 解是平滑的

G********n
发帖数: 615
9
隐函数定理只对siple eigenvalue有用
如果有重数就不行了

【在 g****t 的大作中提到】
: 就是隐含数定理啊,找本matrxi analysis书就可以看到了.
:
: Thank you.
: But I need a result for ALL symmetric matrices...
: 根據隱函數定理 大致上可知在非singular的情況下 解是平滑的

c*******h
发帖数: 1096
10
特征值是特征多项式的根,多项式的跟对多项式的系数来说是连续的,所以特征值
是连续的。
求特征向量本质上就是对矩阵 A-aI 做两次高斯消元,剩下对角线和最右边一列。
其过程基本是就是加减乘除,所以能够看出来应该是连续的。当然特征向量有符号和
子空间的问题,尤其是特征值如果是重根的时候,所以得对“特征向量”的概念做点
约束。

【在 G********n 的大作中提到】
: 如果有一族光滑的对称矩阵,
: 它们的特征值和特征向量是连续的吗?
: 是可微的吗?
: 多谢~~

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z***c
发帖数: 102
11
连续性没问题,不过光滑性就不一定了。比方说考虑x^2=a这个方程,当a从正数变为负
数的时候根从实
轴跑到虚轴拐了一个直角的弯。我觉得没重根的时候是光滑的,有重根就不光滑了。

【在 c*******h 的大作中提到】
: 特征值是特征多项式的根,多项式的跟对多项式的系数来说是连续的,所以特征值
: 是连续的。
: 求特征向量本质上就是对矩阵 A-aI 做两次高斯消元,剩下对角线和最右边一列。
: 其过程基本是就是加减乘除,所以能够看出来应该是连续的。当然特征向量有符号和
: 子空间的问题,尤其是特征值如果是重根的时候,所以得对“特征向量”的概念做点
: 约束。

l********e
发帖数: 3632
12
不一定differentible
但是连续性正如你自己所说:simple root自然连续。多重的话,都重复了,当然还是
连续啦。

【在 G********n 的大作中提到】
: 隐函数定理只对siple eigenvalue有用
: 如果有重数就不行了

G********n
发帖数: 615
13
考虑一个2*2矩阵
a_{11} = -a_{22} = exp(-1/t^2)cos(2/t).
a_{12} = a_{21} = exp(-1/t^2)sin(2/t).
A(t)关于t是光滑的,但是在t=0时特征向量不连续...

【在 c*******h 的大作中提到】
: 特征值是特征多项式的根,多项式的跟对多项式的系数来说是连续的,所以特征值
: 是连续的。
: 求特征向量本质上就是对矩阵 A-aI 做两次高斯消元,剩下对角线和最右边一列。
: 其过程基本是就是加减乘除,所以能够看出来应该是连续的。当然特征向量有符号和
: 子空间的问题,尤其是特征值如果是重根的时候,所以得对“特征向量”的概念做点
: 约束。

c*******h
发帖数: 1096
14
重根嘛。重根是会出问题的。特征子空间维度大于一,随便一组正交基旋转一下还是正
交基

【在 G********n 的大作中提到】
: 考虑一个2*2矩阵
: a_{11} = -a_{22} = exp(-1/t^2)cos(2/t).
: a_{12} = a_{21} = exp(-1/t^2)sin(2/t).
: A(t)关于t是光滑的,但是在t=0时特征向量不连续...

z***c
发帖数: 102
15
你这个例子detA趋向于0,所以我想找一个非奇异的例子。然后搜索了一下,发现
Terence Tao谈过这
个问题。。。见
http://terrytao.wordpress.com/2008/10/28/when-are-eigenvalues-stable/
大概看了一下,注意公式(6),分母里有lambda_k-lambda_j,可以预见当有重根时,
lambda是不
光滑的。

【在 G********n 的大作中提到】
: 考虑一个2*2矩阵
: a_{11} = -a_{22} = exp(-1/t^2)cos(2/t).
: a_{12} = a_{21} = exp(-1/t^2)sin(2/t).
: A(t)关于t是光滑的,但是在t=0时特征向量不连续...

a****t
发帖数: 720
16
有重根的对称方程codimension 2, measure 0,可以assume 无重根。
g****t
发帖数: 31659
17
隐函数定理本来就是个判断local连续或者可微的定理.
如果要找global性质.当然不行了.
如果要看多项式防城对系数的全局性变化,我记得是很难的事情.
如果系数是单参数决定的.可以画根轨迹.
多参数的,那就没办法了.

隐函数定理只对simple eigenvalue有用
对多重特征值就不行了

【在 G********n 的大作中提到】
: 考虑一个2*2矩阵
: a_{11} = -a_{22} = exp(-1/t^2)cos(2/t).
: a_{12} = a_{21} = exp(-1/t^2)sin(2/t).
: A(t)关于t是光滑的,但是在t=0时特征向量不连续...

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