R********n
发帖数: 519 | 1 考虑一个d-dimensional的黎曼manifold M嵌入在一个D-dimensional的欧式空间里面，
在给定的一点p，我想观察manifold的curvature。
我一个很初等的理解是，是不是可以在点p的tangent space里面取一组基，然后看
manifold在这组基中的每一个basis上弯曲的情况？这样我就能得到d个sclar
curvature。
这个和Ricci curvature有什么关系呢？
我理解的Ricci是，也是要取tangent space的一组基e_i，然后对任意的v,mapping v到
\sum_{i} R(e_i,v)e_i,其中R(e_i,v)是Riemannian curvature tensor
谢谢:-) |
l********e
发帖数: 3632 | 2 首先Riemannian Curvature是内蕴(intrinsic)的量，不需要通过嵌入高维的欧氏空间
来理解。如果你一定要好通过嵌入来理解，那么Riemannian Curvature tensor就是大
空间曲率和这个流形第二基本形式(second fundamental form)的差（其实这个有点投
机，应为第二基本形式就是这么定义的）。
如果取流形M tangent space里面的basis，那么曲率差不多可以理解为切向量沿M上闭
曲线平行移动的误差（参考和乐群hololomy group的定义）。
最后：一个d-dimensional manifold只有1个scalar curvature function。不是d个。
不过我想你帖子里可能所指的是principal curvature吧？
Ric其实就是sectional curvature的和，直观上理解控制了沿着某个方向的测地球面的
面积元。而scalar curvature就是控制了测地球的体积元。Ric控制面积，就是Gromov
的伟大发现了。
我觉得还是一句话，对于黎曼曲率最好用内蕴的方式理解，一直将流形 |
R********n
发帖数: 519 | 3 非常感谢～～！
你的解释读了很多遍，一直想着看懂了再来回帖:-)。虽然没完全理解，但对我认识
manifold curvature起了很大的帮助
Gromov
【在 l********e 的大作中提到】
: 首先Riemannian Curvature是内蕴(intrinsic)的量，不需要通过嵌入高维的欧氏空间
: 来理解。如果你一定要好通过嵌入来理解，那么Riemannian Curvature tensor就是大
: 空间曲率和这个流形第二基本形式(second fundamental form)的差（其实这个有点投
: 机，应为第二基本形式就是这么定义的）。
: 如果取流形M tangent space里面的basis，那么曲率差不多可以理解为切向量沿M上闭
: 曲线平行移动的误差（参考和乐群hololomy group的定义）。
: 最后：一个d-dimensional manifold只有1个scalar curvature function。不是d个。
: 不过我想你帖子里可能所指的是principal curvature吧？
: Ric其实就是sectional curvature的和，直观上理解控制了沿着某个方向的测地球面的
: 面积元。而scalar curvature就是控制了测地球的体积元。Ric控制面积，就是Gromov
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