j*********e 发帖数: 167 | 1 附件中n是大于2的整数,\delta_i都是实数。 | s**e 发帖数: 1834 | 2 I don't think it is correct.
counterexample: n=4, \delta = (2,3,2).
Then left side is 36, right side is 34.
【在 j*********e 的大作中提到】 : 附件中n是大于2的整数,\delta_i都是实数。
| l*****e 发帖数: 65 | 3 我试着看什么条件下你的不等式大致成立。
首先把 (n-1)改成 n, 即
n* \sum_{j=2}^n \delta_j*\delta_{j-1} <= (n-1) * \sum_{j=1}^n \delta_j^2. 两
边处以n, 得到
\sum_{j=2}^n \delta_j*\delta_{j-1} <= (n-1)/n * \sum_{j=1}^n \delta_j^2
这个操作完全只是为了看起来方便。
考虑两个向量
( (\delta_1 + \delta_n)/2, \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n ) 和
( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n, (\delta_1 + \delta_n)/2 ), 它们有相
同的模长。让它们做内积, 用经典的Cauchy-Schwarz不等式, 得到
\sum_{j=2}^n \delta_j*\delta_{j-1} + (\delta_1 + \delta_n)^2 /2 <=
\sum_{j=1}^n \delta_j^2 + [(\delta_1 + \delta_n) /2]^2, 或者化简为
\sum_{j=2}^n \delta_j*\delta_{j-1} + (\delta_1 + \delta_n)^2 /4 <=
\sum_{j=1}^n \delta_j^2. 所以, 只要
(\delta_1 + \delta_n)^2 /4 >= 1/n*\sum_{j=1}^n \delta_j^2, 就有你要的结果。
soze反例都构造了, 所以无约束的不等式就不要指望成立了。 |
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