p**********m
发帖数: 143 | 1 最近几天，置顶的几个帖子在讨论关于复数的计算，某人发现一个"矛盾"，基本上可以
表达为
1.png;
(图片在帖子尾端）
解答者一般喜欢强调开更号不能开成负数，或者强调 （a^b）^c=/= a^(bc)。在提问者
看来，这两种解释都有强行定义规则的嫌疑，相当于在说“就是不能是负的，少问那么
多”。这种解释，估计只能让学会计专业的人满意。会计专业最遵守规则，不习惯也不
喜欢问为什么:)
我在美国读高一时就遇到过这个问题。当时有道题目说 sqrt(x)=-1 是无解的。我很不
服气，觉得既然你可以给 x^2=-1定义一个解，凭什么不能给其他无解的方程也定义一
个解? 后来发现，其实不需要定义解，i^4 就是一个解，根据上面第一个式子可以算出
-1，不过很快我就发现同样的解竟然可以算出等于1。当时我就震惊了！
那时候连三角函数都没学过，哪懂得那么多。去问老师，老师要么说不知道，要么干脆
懒得回答。上网问，中英文网站都尝试过，解答的人要么不知道，要么说就是那样，或
者干脆答得让我看不懂。
后来没办法，就把这问题放下来了。申请大学的时候，把这段经历写进了essay，说周
围缺乏学术环境，恳求到贵校来学习，以解决自己多年的疑惑。后来被录了，说明这招
忽悠还蛮管用。
只是让我没想到的是，要完全彻底理解这个问题，要学完complex analysis才行。而这
门课的所需要的基础课竟然是本科数学中最多的，要学完3门微积分+线代+离散数学+实
分析。最后拖了2年才找到答案。不过实际解释起来需要的知识并不多：
下面正式开始解释:
复数a+bi,分为实虚两个部分，因此可以理解为平面上的一个矢量。用极坐标，可以写
为 (r,phi)。其中phi的大小是从正实数轴开始算起，这很关键。
2.png;
简单的计算可以证明，让两个复数相乘，等同于让它们长度的绝对值相乘，同时把角度
相加，即
(r,phi)*(r',phi')=(|r|*|r'|, phi+phi')
例如 2i*2i=-4。2i 的角度是90度，两个加起来等于180度。同时他们的长度是两个2，
相乘等于4。在复数平面上，长度为4，角度为180度的数字正好是-4。
这个规则相当elegant，但是也有问题。当两个复数的角度相加大于360度的时候，这个
复数实际上在平面上转了一圈又回来了。这就会导致一些问题.你可能会觉得0度，360
度和720度对于加减乘除来说没什么区别，其实还是有区别的：
利用泰特多项式，可以轻易推导出
4.png;
问题来了，如果对角度的选择不加以限制的话，phi大小就没有限制，但是却明显的会
影响函数的大小，最终导致ln(z)变成一个多值方程，其图像如下：
3.png;
因此，对于任意复数，如果不明确其角度的大小，ln(z)的值就无法确认，随之会带来
一系列麻烦。因此，大家一致决定，在处理函数的时候，只取一圈复数，即角度大小相
差不超过360度的复数。一般情况下，复数的角度被定义在0到360度之间。角度每超过
360度，就被清零一次。每一个的特定的清零角度被称为一个branch cut。
这时就可以解释开始的的那个矛盾了。4个i，每个长度都是1，因此不管怎乘长度都是1
，我们只用关心其角度。每个i角度为90度，因此4个相乘后角度达到了360度。假如上
述的清零规则不存在，在开更号的时候，只需要把角度减少一半(因为更号的逆运算---
平方相当于把角度翻一倍)，最后回到180度。之前说过，不管怎么乘长度都是1，而角
度为180，此复数是-1。问题是根据上述规则，角度为360度的复数必须把角度清零，因
此实际角度为0，减少一半后还是0。而角度为0，长度为1的复数等于1。
同样的逻辑可以解释为什么（a^b）^c=/= a^(bc) .。假如b,c都是正实数的话，a^(bc)
相当于把a的角度扩大 b*c倍。而a^b相当于把a的角度扩大b倍。此时有可能a^b的角度
已经超过了360度，需要清零。此时再让c继续扩大角度，就不是在原来的基础上直接扩
大到b*c倍那么简单了，而是需要清零后再扩大。
当然有人会问你凭什么就把复数的角度锁死在0到360度之间？ 我把它定义在1到361之
间有问题吗?这当然没问题，如果branch cut是这样定义的话，1^(1/2) 还真就等于 -1
了。 问题是除了用来计算某些积分意外，这样搞了并不太方便。有兴趣的可以去看看
维基百科的介绍:
http://en.wikipedia.org/wiki/Branch_point#Branch_cuts | t********y
发帖数: 166 | | p**********m
发帖数: 143 | 3 好吧可能是我真的没看出来。
我觉得开更号为只能为正数还是有必要解释下，这个规则归根到底是因为通常branch
cut被定义在[0,360),这个定义无论怎么方便，从本质上是arbitrary的。有必须说明这
种选择并无关大雅，否则就不容易区分下面两个式子的区别
[1]: x^2=-1
[2]: x^(1/2)=-1
两者都是无解。但前者的无解是因为我们还没有发现虚数。给[1]强行定义一个解之后
导致了整个复分析的诞生。我学过复分析之后被其各种完美的定理给深深震惊，与之相
比实分析规则极复杂又难懂，一种强烈的感觉就是实数本身残破不全，只有加了虚数才
完整。
说这些废话是想强调，给[1] 定义一个解，是因为它能够引自然的引申出一系列有价值
的发现。而[2]的无解，则纯粹是我们认为的选择造成的，并无任何特殊含义。
当年我可是被这问题困惑了半天。最后学数学专业就是为了把它弄懂。现在写出来也算
是给自己一个交代吧。
【在 t********y 的大作中提到】
: 那帖摆明是坑
: 楼主有心了
| L********g
发帖数: 329 | 4
复分析，可以描述生命轮回。
一个轮回，一个面。
【在 p**********m 的大作中提到】
: 好吧可能是我真的没看出来。
: 我觉得开更号为只能为正数还是有必要解释下，这个规则归根到底是因为通常branch
: cut被定义在[0,360),这个定义无论怎么方便，从本质上是arbitrary的。有必须说明这
: 种选择并无关大雅，否则就不容易区分下面两个式子的区别
: [1]: x^2=-1
: [2]: x^(1/2)=-1
: 两者都是无解。但前者的无解是因为我们还没有发现虚数。给[1]强行定义一个解之后
: 导致了整个复分析的诞生。我学过复分析之后被其各种完美的定理给深深震惊，与之相
: 比实分析规则极复杂又难懂，一种强烈的感觉就是实数本身残破不全，只有加了虚数才
: 完整。
| s*******7
发帖数: 743 | 5 感谢指教。
360
是1
【在 p**********m 的大作中提到】
: 最近几天，置顶的几个帖子在讨论关于复数的计算，某人发现一个"矛盾"，基本上可以
: 表达为
: 1.png;
: (图片在帖子尾端）
: 解答者一般喜欢强调开更号不能开成负数，或者强调 （a^b）^c=/= a^(bc)。在提问者
: 看来，这两种解释都有强行定义规则的嫌疑，相当于在说“就是不能是负的，少问那么
: 多”。这种解释，估计只能让学会计专业的人满意。会计专业最遵守规则，不习惯也不
: 喜欢问为什么:)
: 我在美国读高一时就遇到过这个问题。当时有道题目说 sqrt(x)=-1 是无解的。我很不
: 服气，觉得既然你可以给 x^2=-1定义一个解，凭什么不能给其他无解的方程也定义一
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