c****8
发帖数: 626 | 1 非常着急的需要答案，希望各位大侠指点。
方程组如下，x,y,z是关于t的变量，需要求出。w0，w1是常数。非常感谢帮忙，或者给
各思路。
dx/dt = w0*y + w1*sin(w0*t)*z
dy/dt = -w0*x + w1*cos(w0*t)*z
dz/dt = -w1*sin(w0*t)*x - w1*cos(w0*t)*y |
d****n
发帖数: 397 | 2 让c ＝ x ＋ i＊y
先把三个方程转化为两个（有C， Z， t）
然后让Q＝C＊exp（－i＊w0*t）
最后转化为
dq／dt ＝ －i＊w1*z
dz/dt ＝i/2 *w1*( q- q_bar) : q_bar 是q的共轭
然后dq_bar/dt = i*w1*z
d(q+q_bar)/dt = 0
所以
q＋q_bar = const
让q ＝ a＋i＊b
db/dt = 1/2i * d(q-q_bar) /dt = - w1*z
dz/dt = - w1*b
然后就很简单了
【在 c****8 的大作中提到】
: 非常着急的需要答案，希望各位大侠指点。
: 方程组如下，x,y,z是关于t的变量，需要求出。w0，w1是常数。非常感谢帮忙，或者给
: 各思路。
: dx/dt = w0*y + w1*sin(w0*t)*z
: dy/dt = -w0*x + w1*cos(w0*t)*z
: dz/dt = -w1*sin(w0*t)*x - w1*cos(w0*t)*y
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c****8
发帖数: 626 | 3 非常感谢！
在让c=x+i*y 后，如何化为关于c,z,t的两个方程？我目前得到一个方程：
dc/dt = i*w0*c + i*w1*exp(-i*w0*t)*z,
但无法得到第二个。
【在 d****n 的大作中提到】
: 让c ＝ x ＋ i＊y
: 先把三个方程转化为两个（有C， Z， t）
: 然后让Q＝C＊exp（－i＊w0*t）
: 最后转化为
: dq／dt ＝ －i＊w1*z
: dz/dt ＝i/2 *w1*( q- q_bar) : q_bar 是q的共轭
: 然后dq_bar/dt = i*w1*z
: d(q+q_bar)/dt = 0
: 所以
: q＋q_bar = const
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d****n
发帖数: 397 | 4 第二个就是 dz／dt ＝ 。。。
你这个方程符号错了。应该是dc／dt ＝ －i＊w0*c - i * w1 * exp(-i *w0*t)*z
【在 c****8 的大作中提到】
: 非常感谢！
: 在让c=x+i*y 后，如何化为关于c,z,t的两个方程？我目前得到一个方程：
: dc/dt = i*w0*c + i*w1*exp(-i*w0*t)*z,
: 但无法得到第二个。
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d****n
发帖数: 397 | 5 dz/dt = - w1* (exp(+)-exp(-))/(2i)* x - w1 * (exp(+) + exp(-))/2 * y
= - 1/(2i) * w1*[exp(+) * (x + i*y) -exp(-) * (x - i*y)]
= - 1/ (2i) *w1*( exp(+)*c - exp(-) * c_bar)
= - 1/(2i) * w1* (q -q_bar)
【在 c****8 的大作中提到】
: 非常着急的需要答案，希望各位大侠指点。
: 方程组如下，x,y,z是关于t的变量，需要求出。w0，w1是常数。非常感谢帮忙，或者给
: 各思路。
: dx/dt = w0*y + w1*sin(w0*t)*z
: dy/dt = -w0*x + w1*cos(w0*t)*z
: dz/dt = -w1*sin(w0*t)*x - w1*cos(w0*t)*y
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c****8
发帖数: 626 | 6 谢谢！
但我觉得第一个方程应该是这样的（即第二项是正的），是吗？
dc／dt ＝ －i＊w0*c + i * w1 * exp(-i *w0*t)*z
【在 d****n 的大作中提到】
: 第二个就是 dz／dt ＝ 。。。
: 你这个方程符号错了。应该是dc／dt ＝ －i＊w0*c - i * w1 * exp(-i *w0*t)*z
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d****n
发帖数: 397 | 7 对，我搞错了。但是解法还是那样。
你这个方程是研究什么时候出现的？NMR？
感觉是
dvectorR／dt ＝ vectorR X vectorw。
这个运动就是进动＋以圆周上的点为圆心的转动。
【在 c****8 的大作中提到】
: 谢谢！
: 但我觉得第一个方程应该是这样的（即第二项是正的），是吗？
: dc／dt ＝ －i＊w0*c + i * w1 * exp(-i *w0*t)*z
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c****8
发帖数: 626 | 8 果然厉害，是有关NMR 中的bloch 方程的情况。
我正在按你的推导，有问题再问你。
【在 d****n 的大作中提到】
: 对，我搞错了。但是解法还是那样。
: 你这个方程是研究什么时候出现的？NMR？
: 感觉是
: dvectorR／dt ＝ vectorR X vectorw。
: 这个运动就是进动＋以圆周上的点为圆心的转动。
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c****8
发帖数: 626 | 9 请问如何得到
dq／dt ＝ －i＊w1*z
另外，感觉q=c*exp(i*w0*t)?
谢谢
【在 d****n 的大作中提到】
: 让c ＝ x ＋ i＊y
: 先把三个方程转化为两个（有C， Z， t）
: 然后让Q＝C＊exp（－i＊w0*t）
: 最后转化为
: dq／dt ＝ －i＊w1*z
: dz/dt ＝i/2 *w1*( q- q_bar) : q_bar 是q的共轭
: 然后dq_bar/dt = i*w1*z
: d(q+q_bar)/dt = 0
: 所以
: q＋q_bar = const
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d****n
发帖数: 397 | 10 ………….
对就是q＝c＊exp（i＊w0*t），然后c＝q＊exp（－i＊w0*t），带入
dc／dt ＝。。。，就可以得到dq／dt ＝。。。
这个你要再不明白，我也帮不了你了。
【在 c****8 的大作中提到】
: 请问如何得到
: dq／dt ＝ －i＊w1*z
: 另外，感觉q=c*exp(i*w0*t)?
: 谢谢
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c****8
发帖数: 626 | 11 谢谢指点，都怪偶笨笨，好像是这样的：
dc/dt = dq/dt * exp(-i*w0*t) - q*i*w0*exp(-i*w0*t)
=>. dq/dt = dc/dt * exp(i*w0*t) + q*i*w0，而
dc／dt ＝ －i＊w0*c + i * w1 * exp(-i *w0*t)*z，代入得
dq/dt=-i*w0*q + i*w1*z+q*i*w0
=i*w1*z
【在 d****n 的大作中提到】
: ………….
: 对就是q＝c＊exp（i＊w0*t），然后c＝q＊exp（－i＊w0*t），带入
: dc／dt ＝。。。，就可以得到dq／dt ＝。。。
: 这个你要再不明白，我也帮不了你了。
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c****8
发帖数: 626 | 12 再次谢谢！按照你的方法求的了结果！
但是很好奇，有没有笨办法直接求解？你的方法技巧性很强，不是普通人能想到的:-)
【在 d****n 的大作中提到】
: ………….
: 对就是q＝c＊exp（i＊w0*t），然后c＝q＊exp（－i＊w0*t），带入
: dc／dt ＝。。。，就可以得到dq／dt ＝。。。
: 这个你要再不明白，我也帮不了你了。
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d****n
发帖数: 397 | 13 …..不知道其他巧妙的方法。这个方法挺常规的，凡是有sin，cos大概都要转化为exp，
凡是有exp，大概都要做q＝c＊exp，变量代换，等等。这个大概是物理、数学系大一
的水准。其他系的训练好像不够。多练练就出来了。
【在 c****8 的大作中提到】
: 再次谢谢！按照你的方法求的了结果！
: 但是很好奇，有没有笨办法直接求解？你的方法技巧性很强，不是普通人能想到的:-)
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c****8
发帖数: 626 | 14 hi dragon,
再次谢谢你的帮忙！
我现在考虑一种特殊的情况，微分方程为：
dx/dt = delta_w * y;
dy/dt = w1*z - delta_w * x;
dz/dt = - w1*y;
它应该描述关于过原点的一直线（轴）的旋转运动。当delta_w=0时，该轴与x轴重合。
我现在得到的解为（初始条件为仔z轴上的点,即x(0)=y(0)=0, z(0)=z0）：
z = z0*cos(wx*t);
其中wx=sqrt(w1^2+delta_w^2)。
但我感觉去我求得的z好像不对，因为它似乎是旋转轴与x轴重合时的情况。
你和你一起探讨这个问题吗，我可以提供详细的情况如果你需要。
exp，
【在 d****n 的大作中提到】
: …..不知道其他巧妙的方法。这个方法挺常规的，凡是有sin，cos大概都要转化为exp，
: 凡是有exp，大概都要做q＝c＊exp，变量代换，等等。这个大概是物理、数学系大一
: 的水准。其他系的训练好像不够。多练练就出来了。
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d****n
发帖数: 397 | 15 不用谢，举手之劳。
你这个特殊情况是什么意思？上面的是一般情况？ 你的delta_w是常数吗？是的话用
Laplace变换把微分方程，转化为代数方程，然后用线性方程组的方法求解，再反变换
回去。这个就是你说的“笨”方法，因为实在比较常规。Laplace变换不会算不要紧，
查表就行了。
解的物理意义，你应该比较清楚吧。
还有，你是做什么研究的？我比较好奇。NMR？好像化学NMR也不教这些。
还有，mitbbs上发图片怎么发？如果我知道，我可以把解画个图，发上去你就能直接看
了。
【在 c****8 的大作中提到】
: hi dragon,
: 再次谢谢你的帮忙！
: 我现在考虑一种特殊的情况，微分方程为：
: dx/dt = delta_w * y;
: dy/dt = w1*z - delta_w * x;
: dz/dt = - w1*y;
: 它应该描述关于过原点的一直线（轴）的旋转运动。当delta_w=0时，该轴与x轴重合。
: 我现在得到的解为（初始条件为仔z轴上的点,即x(0)=y(0)=0, z(0)=z0）：
: z = z0*cos(wx*t);
: 其中wx=sqrt(w1^2+delta_w^2)。
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c****8
发帖数: 626 | 16 谢谢！
我是做MRI成像的，这些方程都是在某些情况下的 Bloch equation。对于我给出的一下
情况，delta_w, w1均为常数。
物理意义是使点（x,y,z）绕一个过原点的直线（轴）的旋转运动。该轴方向是由delta
_w,w1决定的。这个物理意义是我预先知道的，我现在想对微分方程组求解，然后看看
结果是不是能反映这种运动过程，这就是我的思路。
我也不清楚这里如何发图片，好像不能发附件。你能否发到我的email: pingwangmri@
gmail.com
或者告诉我你的email，我会发给你更多解释。。。
【在 d****n 的大作中提到】
: 不用谢，举手之劳。
: 你这个特殊情况是什么意思？上面的是一般情况？ 你的delta_w是常数吗？是的话用
: Laplace变换把微分方程，转化为代数方程，然后用线性方程组的方法求解，再反变换
: 回去。这个就是你说的“笨”方法，因为实在比较常规。Laplace变换不会算不要紧，
: 查表就行了。
: 解的物理意义，你应该比较清楚吧。
: 还有，你是做什么研究的？我比较好奇。NMR？好像化学NMR也不教这些。
: 还有，mitbbs上发图片怎么发？如果我知道，我可以把解画个图，发上去你就能直接看
: 了。
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c****8
发帖数: 626 | 17 我刚写了我的推导，但最终解中有一个常数不知如何确定。
我把我的推导照在一个照片上，但这里似乎无法发附件。如果你能告诉我你的email，
我可以发给你看看。
谢谢帮助！
【在 d****n 的大作中提到】
: 不用谢，举手之劳。
: 你这个特殊情况是什么意思？上面的是一般情况？ 你的delta_w是常数吗？是的话用
: Laplace变换把微分方程，转化为代数方程，然后用线性方程组的方法求解，再反变换
: 回去。这个就是你说的“笨”方法，因为实在比较常规。Laplace变换不会算不要紧，
: 查表就行了。
: 解的物理意义，你应该比较清楚吧。
: 还有，你是做什么研究的？我比较好奇。NMR？好像化学NMR也不教这些。
: 还有，mitbbs上发图片怎么发？如果我知道，我可以把解画个图，发上去你就能直接看
: 了。
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d****n
发帖数: 397 | 18 可能你已经做出来了。
简便方法就是，dR／dt ＝ omega X R，
R＝（x,y,z). 你的方程物理意义都挺明显的，所以可以用物理常识进动来求解。
omega ＝ （w_1, 0, w_delta)
tan(alpha) = w_delta / w1
然后做一个坐标变换，（x,y,z) => (x', y', z').
x' = -z * cos(alpha) + x * sin(alpha)
y' = y
z' = z * sin(alpha) + x * cos(alpha)
在新坐标下, omega = (0,0,sqrt(w1^2 + w_delta^2))
z' = const_B
x' = A*sin(omega * t)
y' = A*cos(omega * t)
这个画个图，解A，B比较方便。
然后再算x,y,z
【在 c****8 的大作中提到】
: 我刚写了我的推导，但最终解中有一个常数不知如何确定。
: 我把我的推导照在一个照片上，但这里似乎无法发附件。如果你能告诉我你的email，
: 我可以发给你看看。
: 谢谢帮助！
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