t*****r
发帖数: 42 | 1 给定三阶矩阵
M = [a*x, 0, c;
a, b*x, 0;
0, b, c*x]
其中a>0, b>0, c>0, x=(1/a+1/b+1/c)-1.
证明M有一个大于1的实特征值.
请版上高手相助，多谢！ | F****z
发帖数: 12 | 2 In fact, M may always have a real eigenvalue which is >=3. However I don't
know how to prove it. | t*****r
发帖数: 42 | 3 谢谢，原问题有个小错误，事实上
x=(1/a+1/b+1/c)/3-1,而非(1/a+1/b+1/c)-1.
当然如果x=(1/a+1/b+1/c)/3-1，的确有“M has a real eigenvalue which is >=3.”
【在 F****z 的大作中提到】
: In fact, M may always have a real eigenvalue which is >=3. However I don't
: know how to prove it.
| a******1
发帖数: 201 | 4 The below may be helpful.
Tr(M) = (a+b+c)x and |M| = abc(1+x^3)
and Tr equals to sum of eigenvalues, and || equals to product of eigenvalues
【在 t*****r 的大作中提到】
: 谢谢，原问题有个小错误，事实上
: x=(1/a+1/b+1/c)/3-1,而非(1/a+1/b+1/c)-1.
: 当然如果x=(1/a+1/b+1/c)/3-1，的确有“M has a real eigenvalue which is >=3.”
| f***r
发帖数: 1126 | 5 只要证明 f(1)<=0即可，这里f是特征函数。
f(1)=(1-ax)(1-bx)(1-cx)-abc=abc[(1/a-x)(1/b-x)(1/c-x)-1]<=abc[(1/a-x+1/b-x+1
/c-x)^3/27-1]=0
【在 t*****r 的大作中提到】
: 给定三阶矩阵
: M = [a*x, 0, c;
: a, b*x, 0;
: 0, b, c*x]
: 其中a>0, b>0, c>0, x=(1/a+1/b+1/c)-1.
: 证明M有一个大于1的实特征值.
: 请版上高手相助，多谢！
| t*****r
发帖数: 42 | 6 好主意，但是原问题并不保证x<=1/a,1/b,1/c同时成立。
例如，a=10, b=1/2, c=1/2，然后x=1/3+1/30>1/a=1/10.
谢谢。
+1
【在 f***r 的大作中提到】
: 只要证明 f(1)<=0即可，这里f是特征函数。
: f(1)=(1-ax)(1-bx)(1-cx)-abc=abc[(1/a-x)(1/b-x)(1/c-x)-1]<=abc[(1/a-x+1/b-x+1
: /c-x)^3/27-1]=0
| t*****r
发帖数: 42 | 7 谢谢，事实上假设y=(1/a+1/b+1/c)/3，则x=y-1.
det(M)=abc(1+x^3)=abc(1+(y-1)^3)=abcy(y^2-3y+3)>0.
然后呢？
eigenvalues
【在 a******1 的大作中提到】
: The below may be helpful.
: Tr(M) = (a+b+c)x and |M| = abc(1+x^3)
: and Tr equals to sum of eigenvalues, and || equals to product of eigenvalues
| f***r
发帖数: 1126 | 8 是的，但是当x>1/a时问题是trivial的：f(ax)=-abc<0。所以你一开始就可以假设x<=1
/a,1/b,1/c。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 好主意，但是原问题并不保证x<=1/a,1/b,1/c同时成立。
: 例如，a=10, b=1/2, c=1/2，然后x=1/3+1/30>1/a=1/10.
: 谢谢。
:
: +1
| F****z
发帖数: 12 | 9 fleer's proof seems to be correct | t*****r
发帖数: 42 | 10 对！非常感谢各位的帮助。
【在 F****z 的大作中提到】
: fleer's proof seems to be correct
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