b***y
发帖数: 14281 | 1 本来我以为这种基本常识很多人只是平常不太注意，只要一点就透。没想到我是大大高
估了这个网上很多人的智商和悟性，很多人混乱争论了一通，最后可能更是一头雾水。
好吧，既然我开了这个头，还是应该终人之事，把科普进行到底。首先声明我所说的
log都是e based，e是自然常数，e=2.7183，这是约等，不知道e是何物的自己查吧。另
外expf.jpg和logf.jpg只是随手取的文件名，不要做过多联想。
还是以下面两个函数为例，先看上图，如果只看上图，仍何“头脑正常”的人都会说，
这个很明显吗，蓝线，也就是上面这条，比下面的红线增长的快得多。这难道不是很清
楚很明白，不用解释了吗？这就是文科生的软肋了。因为其实下面这条看着非常不起眼
的函数增长率却是上面这条的两倍！如果再看第二张对数图，这个错觉就消失了。至
于什么是对数图我就懒得具体介绍了。
对于上图，质疑的主要有两方面，一方面有人说你这个图里面完全没有单位所以屁问题
也说明不了。这就是我高估读者智商的地方之一。本图的目的是演示两个指数增长函数
的变化趋势，这里横纵坐标的具体单位是没有什么用处的，可以根据具体情况随便添加
，详见下文。另一方面有人怀疑说你这个图把初始时候中国的GDP变成几乎等于零了是
不是不太实际啊？你这个图是不是故意扭曲的结果啊？是不是根本不现实啊？我就来就
这两个问题详细的分析一下这两个函数。
其实用这个图模拟中美GDP过去50年的比较还是很接近的。当然这里假设两者都是以固
定的增长率增长且不考虑通涨汇率变化等复杂因素，所以是个理想模型。
好吧，正式的分析开始了。两个函数具体来说如下
1）y=4 exp(x+3)
2) y= exp (2x)
我解释过这两个函数的关系大致可以理解为函数2）的增长率是1)的两倍，但是1)的基
础值是2)的4倍且起步早了3个时间单位。
这里就有了时间单位的问题了。如上所诉，其实这个单位可以是任意的，视具体问题而
定。既然我们要跟GDP挂钩，OK，具体一点吧，不妨假设说x=0为40年前，就是1970年吧
，设x=2的时候为2010年，那么1个时间单位大概就对应20年时间。这就是说在1910年(x
=-3)的时候美国的GDP是中国1970年（x=0）的时候4倍。这个数据当然是我编的，但也
不是什么很离谱的假设。即使这个假设完全错误也不重要，因为从x=-3到x=0这一段我
根本就没画，真正重要的是当x=0的时候，函数1）大约是2) 的80倍，也就是说假设
1970时美国GDP为中国的80倍，这一点都不离谱吧。有人说了，那你y轴的单位呢？这里
我们关心的时两个函数大小的比较，所以y-轴的单位更无关紧要了。图上看大概从0到
600的变化，如果你愿意说600代表$600也可以，说时$600亿也可以，非要较真的自己去
查一查真实数据然后自己按比例计算一下好了。
现在关键的数学来了，1)和2）到底对应什么增长率啊？本来这个问题根本不值得详解
，可惜数学白痴竟然多到让我吃惊的地步我也只好勉为其难的手把手的教教某些人把。
指数增长的特点就是翻倍涨，就是固定时间段里面增长的倍数时固定的。比如当x从1变
到2的时候，函数1）的值从4 e^3变成了4 e^4，翻了多少倍呢？翻了e=2.71倍，就是说
增长了1.71倍。这个增长率当然是很厉害的。不过刚才说了，x的一个单位大概应该等
于20年，所以年增长率是多少呢？是不是2.14/20呢？错！因为指数增长就是固定时间
里面增长的倍率是固定的，20年里面y值增加了1.71倍，要计算每一年的平均增长率就
要开方，即每一年的增长率为
r=exp(1/20)-1=0.051
所以函数1)对应的年增长率大概是5%左右，模拟美国GDP过去年的平均增长率不算离谱
吧？
再来看函数2)，同样的，从x=1到x=2，函数2）变化了e^2=7.39倍，对应的年怎增长率为
r=exp(2/20)-1=0.105
也就是大约10.5%，和中国的GDP增长率比怎么样呢？是不是很接近？
以绝对值的比较来说，这个模型假设1970年美国GDP是中国80多倍，到2010年变成10多
倍，未必真实但也类似。比较年增长率的话，5%和10.5%的年增长率也基本靠谱，％10.5
对应5%，说函数2)的增长率是函数1）的两倍，文科生们，你服气了没有？
做这个图的目的在于演示一下在比较两个指数函数时，线性图上看很容易给人错误的直
观感受，而这种错觉在对数图上就完全消失了。
那么为什么会出现这种错觉呢？用这种错觉去套中美GDP的现状会不会有太多人为的因
素呢？比如有人说了，你为什么只画到x=2，而不是x=6呢？如果你画到x=6，那么函数2
)就高高的了，谁快谁慢不就一目了然了么？这么说当然不错，但问题是x=6，也就是
2090年，不是还没有到么？现有的数据就只到x=2这，所以如果有人上google查个数据
画个图就会得到这种错觉。
这种错觉是不是人为的巧合，或者说我因为要骗文科生故意设计这么两个奇怪的函数来
忽悠你呢？
不是的。出现这种现象并不是巧合而已指数函数本身的特点，可以说是一种必然。如果
你去做一个y=exp(x) 的图，你就会发现，当x<2的时候，函数似乎上升的非常慢，但当
x>2的时候函数就突然暴涨了，这就是肉眼对指数函数的感受，但其实y的增长率是固定
的，可是人眼来看，在x=e的附近函数的性质似乎发生了突变，所以很多时候把x=e的附
近称做为指数函数的临界点。
当比较两个指数函数的时候，什么时候会出现如本为所讨论的这种错觉呢？就是当x的
最大值刚好处于两个函数此消彼涨胜败交替的临界点的时候，也就是当函数2)刚开始要
超越1)但还有一定差距的时候。就是在这个微妙的时刻，指数函数在线性图上给人的错
觉是最显著的。而中美两国实力对比当今不就是恰恰处在这个微妙的临界点上吗？就是
在中国似乎眼看要赶超美国，但论绝对值却还差了很多倍的时候。恰恰就是这个时候，
如果把中美两国的GDP拿来做线性图必然就会得到如下的结果，这就是为什么如果现在
去看真实的数据，会发现对应的曲线和我这个模型所体现的特征非常的相似，这一点都
不是巧合！ |
d****o
发帖数: 32610 | |
i****k
发帖数: 4085 | 3 你可以发篇论文了.
【在 b***y 的大作中提到】
: 本来我以为这种基本常识很多人只是平常不太注意，只要一点就透。没想到我是大大高
: 估了这个网上很多人的智商和悟性，很多人混乱争论了一通，最后可能更是一头雾水。
: 好吧，既然我开了这个头，还是应该终人之事，把科普进行到底。首先声明我所说的
: log都是e based，e是自然常数，e=2.7183，这是约等，不知道e是何物的自己查吧。另
: 外expf.jpg和logf.jpg只是随手取的文件名，不要做过多联想。
: 还是以下面两个函数为例，先看上图，如果只看上图，仍何“头脑正常”的人都会说，
: 这个很明显吗，蓝线，也就是上面这条，比下面的红线增长的快得多。这难道不是很清
: 楚很明白，不用解释了吗？这就是文科生的软肋了。因为其实下面这条看着非常不起眼
: 的函数增长率却是上面这条的两倍！如果再看第二张对数图，这个错觉就消失了。至
: 于什么是对数图我就懒得具体介绍了。
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b*******8
发帖数: 37364 | 4 理科生都没兴趣行行看完，你还把这个推荐给文科生？ |
w*********m
发帖数: 4740 | 5 文科生能看懂这个？
【在 b***y 的大作中提到】
: 本来我以为这种基本常识很多人只是平常不太注意，只要一点就透。没想到我是大大高
: 估了这个网上很多人的智商和悟性，很多人混乱争论了一通，最后可能更是一头雾水。
: 好吧，既然我开了这个头，还是应该终人之事，把科普进行到底。首先声明我所说的
: log都是e based，e是自然常数，e=2.7183，这是约等，不知道e是何物的自己查吧。另
: 外expf.jpg和logf.jpg只是随手取的文件名，不要做过多联想。
: 还是以下面两个函数为例，先看上图，如果只看上图，仍何“头脑正常”的人都会说，
: 这个很明显吗，蓝线，也就是上面这条，比下面的红线增长的快得多。这难道不是很清
: 楚很明白，不用解释了吗？这就是文科生的软肋了。因为其实下面这条看着非常不起眼
: 的函数增长率却是上面这条的两倍！如果再看第二张对数图，这个错觉就消失了。至
: 于什么是对数图我就懒得具体介绍了。
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b***y
发帖数: 14281 | 6 理科生应该不用看这个都懂的吧，虽然好象我有点过分乐观了。文科生如果虚心就教慢
慢看应该还是可以理解个大概。
【在 b*******8 的大作中提到】
: 理科生都没兴趣行行看完，你还把这个推荐给文科生？
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