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发帖数: 22064 | 1 http://blog.sina.com.cn/s/blog_62a6ff6f0101iasf.html
2014-01-19 08:48:20
昨晚看有朋友谈起《最强大脑》的开14次方计算，看了看相关的视频。感觉虽然这位兄
台具体用什么方法计算的，不得而知，但对于普通人而言，用对数来计算其实也没太大
难度：
X^14=Y，要求X，先对两边取对数得：14logX＝logY，求出logY，除以14，再求个幂就
能得到X
当然，需要背一些基础的对数表：
梁冬给的数字虽然长，可以简化为1.391*10^15，求对数＝log1.391＋15
嫌麻烦可以把尾数省略掉＝log1.4+15=log2+log0.7+15
log2的值，我当年在初中查得多了，至今都记得是等于0.3010
log0.7虽然我记不住，但如果要训练的话，记住它应该算是基础要求，＝-0.1549
三者相加等于15.1461，然后除以14约等于1.08
再求10^1.08，可转化为＝10*10^0.08
需要找到一个数使其对数值等于0.08的
log1=0，log2=0.3010，所以这个数肯定在1和2之间
也可以把这个计算转化一下：log(M*N)=logM+logN，已知log2=0.3010，再找个对数值
等于-0.22的就可以凑出0.08，而log0.6比较合适，＝-0.2218。即：log2+log0.6=log1
.2＝0.08
所以10^1.08＝10*1.2=12，这就是那位兄台给出的近似值。
虽然不知道他用的什么方法，但一般人如果有背过log2、log0.6、log0.7这三个值，就
算心算速度一般，两分钟之内得出12的近似值也相当容易。开14次方看着很可怕，但其
实很多尾数都可以省略掉，反而降低难度节省了计算量。
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另附以前看的《别闹了，费曼先生》中的一段，费曼谈他跟别人比计算的趣闻，挺有意
思的：
（转自http://book.meiriyiwen.com/book/chapter/?bid=19&cid=222）
运气，其实不简单
在普林斯顿时，有一天我坐在休息室里，听到一些数学家在谈论e的级数。把e展开时，
你会得到1＋x＋(x2/2!)＋(x3/3!)十……。式中每一项，来自将前一项乘以x，再除以
下一个数字。例如，要得到(x4/4!)的下一项，你可把它乘以x和除以5。这是很简单的。
很小的时候，我就很喜欢研究级数。我用这个级数方程式计算出e值， 亲眼看到每一个
新出现的项，如何很快地变得很小。
当时我喃喃自语，用这方程式来计算e的任何次方（或称“幂次”）是多么容易的事。
“咦，是吗？”他们说：“那么，e的3.3次方等于多少？”有个小鬼说——我想那是塔
奇说的。
我说，“那很容易。答案是27．11。”
塔奇明白我不大可能单靠心算得到这答案的：“嘿！你是怎么算的？”
另一个家伙说：“你们都晓得费曼，他只不过在唬人罢了，这答案一定不对。”
他们跑去找e 值表，趁此空档我又多算了几个小数位：“27．1126，”我说。
他们在表中找到结果了：“他居然答对了！你是怎么算出来的？”
“我把级数一项一项计算，然后再加起来。”
“没有人能算得那样快的。你一定是刚巧知道那个答案。e的3次方又等于多少？”
“嘿，”我说：“这是辛苦工呢！一天只能算一题！”
“哈！证明他是骗人的！”他们乐不可支。
“好吧，”我说，“答案是20．085。”
他们连忙查表，我同时又多加了几个小数位。他们全部紧张起来了，因为我又答对了一
题！
于是，眼前这些数学界的精英分子，全都想不通我是如何计算出e的某次方！有人说：
“他不可能真的代入数字，一项一项地加起来的——这太困难了。其中一定有什么诀窍
。你不可能随便就算出像e的1．4次方之类的数值。”
我说：“这确是很困难，但好吧，看在你的份上，答案是4．05。”
当他们在查e值表时，我又多给他们几个小数位，说：“这是今天的最后一题啦！”便
走出去了。
遇到个中高手
事情的真相是这样的：我碰巧知道三个数字的值——以e为底的10的对数Loge10（用以
将数字从10为底换到以e为底），这等于2．3026；又从辐射研究（放射性物质的半衰期
等），我知道以e为底的2的对数（Loge2）等于0．69315。因此，我也知道e的0．7次方
差不多等于2。当然，我也知道e的一次方的值，那就是2.71828。
他们要考我的第一个数字是e的3.3次方，那等于e的2．3次方——即等于10——乘以e，
即27．18。而当他们忙着找出我所用方法的同时，我在修正我的答案，计算出额外的0
．0026，因为我原来的计算是用了较高的值，即2.3026。
我明白这种事情可一不可再，因为刚刚不过全凭运气而已。但这时他又说e的3次方，那
就是e的2．3次方乘以e的0．7次方，我知道那等于20再多一点点。而当他们在忙着担心
我到底是怎样计算时，我又替那0．693作修正。
做了这两题后，我确实觉得没法再多算一题了，因为第2题也全靠运气才算出来的，但
他们再提出来的数是e的1．4次方，即e的0．7次方自乘一次，那就是4再多一点点而已！
他们一直搞不懂我是怎样算出来的。
到了罗沙拉摩斯，我发现贝特才是这类计算的个中高手。例如，有一次我们正把数字代
入方程式里，需要计算48的平方。正当我伸手要摇玛灿特计算机时，他说：“那是2300
。”我开始操作计算机，他说：“如果你必须要很精确，答案是2304。”
计算机也是2304，“哗！真厉害！”我说。
“你不知道怎样计算接近50的数字的平方吗？”他说：“你先算50的平方，即2500，再
减去你要计算的数及50之间的数差（在这例子中是2）乘以一百，于是得到2300。如果
你要更精确，取数差的平方再加上去，那就是2304了。”
几分钟之后，我们要取2．5的立方根。那时候，用计算机算任何数字的立方根之前，我
们先要从一个表里找出第一个近似值。我打开抽屉去拿表——这次时间较多——他说：
“大约1．35。”
我在计算机上试算，错不了！“你是怎样把它算出来的？”我问：“你是否有什么取立
方根的秘诀？”
“噢，”他说：“2．5的对数是……。对数的三分之一是1.3的对数，即……，以及1．
4的对数，即多少多少之间，我就用内插法把它求出来。”
于是我发现：第一，他能背对数表；第二，如果我像他那样用内插法的话，所花的时间
绝对要比伸手拿表和按计算机的时间长得多。我佩服得五体投地。
从此以后，我也试着这样做。我背熟了几个数字的对数值，也开始注意很多事情。比方
有人说，“28的平方是多少？”那么注意2的平方根是1．4，而28是1．4的20倍，因此
28的平方一定接近400的两倍，即800上下。
如果有人要知道1．73除1是多少，你可以立刻告诉他答案是0．577，因为1．73差不多
等于3的平方根，故此1/1.73就差不多等于3的平方根再除以3，而如果要计算1/1.75呢
，它刚好是4/7，你知道1/7那有名的循环小数，于是得到0．571428……
跟贝特一起应用各种诀窍做快速心算，真是好玩极了。通常我想到的，他都想到，我很
少能算得比他快。而如果我算出一题的话，他就开怀大笑起来。无论什么题目，他总是
能算出来，误差差不多都在1%以内。对他而言，这简直是轻而易举——任何数字总是接
近一些他早已熟悉的数字。
口出狂言
有一天我心情特别好，那时刚巧是午饭时间，我也不晓得是怎么搞的，心血来潮地宣布
：“任何人如果能在10秒钟内把他的题目说完，我就能在60秒之内说出答案，误差不超
过10％！”
大家便开始把他们认为很困难的问题丢给我，例如计算1/（1+x4）的积分等。但是事实
上，在他们给我的x 范围内，答案的变化并不太大。他们提出最困难的一题，是找出（
1＋x）20中x10的二项式系数，我刚好在时间快到时答出。
他们全都在问我问题，我得意极了，这时奥伦刚巧从餐厅外的走廊经过。其实，来罗沙
拉摩斯之前，我们早在普林斯顿共事过，他总是比我聪明。例如，有一天，我心不在焉
地在玩一把测量用的钢卷尺——当你按上面的一个钮时，它会自动卷回来的那种；但卷
尺的尾巴也往往会往上反弹，打到我的手。“哇！”我叫起来，“我真呆，这东西每次
都打着我，我却还在玩这东西。”
他说：“你的握法不对，”把卷尺拿过去，尺拉出来，按钮，卷回来，他不痛。
“哇！你怎么弄的？”我大叫。
“自己想想吧！”
接下来的两星期，我无论走到哪里，都在按这卷尺，手背都被打得皮破血流了。终于我
受不了。“奥伦！我投降了！你究竟用什么鬼方法来握，都不会痛？”
“谁说不痛？我也痛啊！”
我觉得自己真的有够笨，竟让他骗我拿着尺打自己打了两个札拜！
而现在奥伦刚巧经过餐厅，这些人都兴奋极了，“嘿，奥伦！”他们喊：“费曼真行啊
！我们10秒钟内说得完的题目他就能在1分钟内给出答案，误差10%。你也来出个题目吧
！”
他差不多脚步也没停下来，说：“10的一百次方的正切函数值。”
我被难倒了：我得用π去除一个有一百位的数字。我没办法了！
接受挑战
有一次我夸口：“其他人必须用围道积分法来计算的积分，我保证能用不同方法找出答
案。”
于是奥伦便提出一个精彩绝伦、该死的积分给我。他从一个他知道答案的复变函数开始
，把实部拿掉，只留下虚部，结果成为一道非用围道积分法不可的题目！他总是让我泄
气得很，是个很聪明的人。
刚到巴西时，有一次我在某家餐厅里吃午餐。我不知道那时是几点钟了，但那里只有我
一个顾客——我老是在奇怪的时间跑去餐厅。我吃的是我很喜爱的牛排配饭，４个服务
生在旁边闲站。
一个日本人走进来。以前我就见过他在附近流浪，以卖算盘为生。他跟服务生谈话，并
提出挑战：他的加法可以比任何人都快。
服务生怕丢面子，因此他们说：“是吗？你为什么不去跟那边那位先生挑战？”
日本人向我走过来，我抗议：“我不大会讲葡萄牙语！”
服务生全在笑：“葡萄牙文的数字很容易！”
他们替我找来纸笔。
那人请一个服务生出一些数字让我们加。他赢太多了，因为当我还在把数目字写下来时
，他已经边听边加。
我提议服务生写下两列相同的数字，同时交给我们。这并没有太大分别，他还是比我快
很多。
他有点得意忘形，想更进一步证实他的能力。“Multiplicao！”他说，他要比乘法。
有人写了个题目，他又赢了，但赢不多，因为我的乘法是相当好的。
然后他犯了个错误：他建议我们继续比除法。他没意识到，题目愈难，我赢的机会就愈
大。
我们同时做了一题很长的除法题。这次我们平手。
这使得那日本人很懊恼，因为看来他曾经受过很好的算盘训练，但现在他居然差一点就
败给餐厅里的一个顾客。
“Raios cubicos！”他说，声音充满复仇气息。立方根！他想用算术方法求立方根值
！在基础算术题目中，大概再找不出比这更难的题目了。而在他的算盘世界中，立方根
也一定是他的拿手项目。
他在纸上写了个数字——随便写的——我还记得那数字是1729.03。他立刻展开计算，
口中念念有词，动作不断！他已开始计算立方根了。
而我则只坐在那儿。
一个服务生说：“你在干嘛？”
我指指头，“我在想！”我说，在纸上写下12。过了一会我已得出12．002。
日本人把额上的汗擦掉，“12！”他说。“哦，不！”我说。“再多一些数字！再多一
些数字！”我充分理解，用一般算术方法求立方根时，找后面的数字比前面的要难多了
，这是苦工呢。
他重新埋头苦干，口中“啊咕噜么么”的不停，其间我又多写了两个数字。最后他抬起
头来说：“12．0！”
那些服务生兴奋极了，他们跟日本人说：“瞧，他光想想就行了，你却要用算盘！而且
他多算出些数字！”
他溃不成军，垂头丧气地走了，服务生则大肆庆祝。
这个顾客是如何打赢算盘的？题目是1729．03。我刚巧知道一立方英尺有1728立方英寸
，因此答案必定是12多一点点。多出来的1．03呢，大约是二千分之一，而我在微积分
课里学过，就小分数而言，立方根超出的部分是数字超出部分的三分之一，因此我只需
要算1/1728是多少，再乘以4（即除3再乘12）。这是为什么我一下就能算出那么多小数
位。
有头脑才有运气
几星期后，那个日本人跑到我下榻的旅馆会客厅里。他认得我，跑过来说：“告诉我，
你怎么能那么快就把立方根算出来？”
我告诉他这是个求近似值的方法，跟误差有关，“比方你说28。那么，27的立方根是3
……”
他拿起算盘：哒哒哒哒——“噢！是的。”他说。
我发现：他根本不懂得怎样处理数字。有了算盘，你不必记诵一大堆的算术组合；你只
需要知道怎样把小珠子推上拨下。你根本不必知道9加7等于16，而只需要记住加9时，
要推一颗十位数的珠子上去，拨一颗个位数的下来便好了。也许我们算得较慢，但我们
才真正懂得数字的奥妙。
此外，他根本无法理解求近似值方法所包含的道理，他不明白在很多情况下，任何方法
都求不出完整的立方根，但可以求近似值。因此我永远无法教会他我求立方根的方法，
甚至让他明白那天我有多幸运，因为他刚好挑了个像1729．03这样的数字！ | b***y
发帖数: 14281 | 2 以前没有计算机，算个初等函数都要查表，或者用手摇计算机，不仅慢而且常常工具不
在手边，所以心算能力很有用。现在已经没什么人玩这个了。TG还是不要搞这种夕阳产
业了。
话说费曼速算牛B的故事是真实的还是演义？就他的成就来说，看不出算功很牛的样子
啊。 |
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