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c***c
发帖数: 21374 | 1 这是一个著名的悖论。笼统地说就是时间的连续性与非连续性的悖论。
哪位将军大学学过方励之的《力学概论》？上来就提到这个悖论，用简单的数学说明在
一个体系内无限的时间在另外一个体系内是有限的，给我留下深刻的印象。 | l*******t
发帖数: 1430 | 2 草，这不是极限收敛的例子？在哪个体系时间是无限的？ | s*****r
发帖数: 11545 | | c***c
发帖数: 21374 | 4 在那个时间是非连续的体系里，按照老方的原话，“芝诺钟”
【在 l*******t 的大作中提到】
: 草，这不是极限收敛的例子？在哪个体系时间是无限的？
| c***c
发帖数: 21374 | 5 方励之选集》连载（33）
由芝诺佯谬所想起的
今年初，我到南方的一所大学去讲物理。偶然的机会看到该校哲学系学生办的墙报，上
面有一则短文，讨论哲学和自然科学的相互关系。其中有一个论点，即认为有的问题用
目前的自然科学也说明不了，而依靠哲学却能加以解释。文中还举例说，古希腊哲学家
芝诺的“阿基利斯追不上龟”的论证,至今自然科学仍不能说明，只有用时间的“连续
性和分立性的矛盾统一”才能加以理解。
这则短文使我感到有必要讲几句当今的自然科学和哲学之间的关系。上面引述的论
点是否确切姑且不谈，但是芝诺佯谬对于这种论点来说恰恰是一个很好的反例，即只有
援用自然科学的成果才能真正深入理解芝诺佯谬这类哲学论辩的含意。
芝诺佯谬是这样论证的：“在赛跑的时候，跑得最快的永远追不上跑得最慢的，因为追
者首先必须达到被追者的出发点，这样，那个跑得慢的必定总是领先一段路。”（引自
亚里士多德《物理学》）
芝诺佯谬的关键是用了两种不同的时间测量。从原则上说，任何一种测量时间的“钟”
，都是依靠一种具有重复性的过程。例如，太阳的升没、人体的脉搏、吊灯的摆动、分
子的振动等等，都是具有重复性的过程，都可以作为测量时间的钟。用循环的次数或重
复的次数作为时间的标值t。
芝诺问题中除了普通的钟，还有另一种很特别的“钟”。后者是用阿基利斯（希腊神话
中的飞毛腿）每一次都要到达上一次龟所到达的位置作为一个循环。用这种重复性过程
测得的时间称为芝诺时t′。例如，当阿基利斯在第n次达到了龟在第n次的起始点时，
芝诺时t′ ＝n。这样，在任何t′ 为有限的时刻，阿基利斯总是落在龟的后面，永远
追不上龟。只有当时间t′达到无限，阿基利斯才有可能追上龟。
现在稍为作些定量的分析。如果阿基利斯和龟的奔跑速度分别是v1和v2，并且，在开始
时，二者相距为L。容易推知，当芝诺时t′ ＝n时，日常钟t 所测得的时间应当是：
上式也可以写成：
这个公式告诉我们芝诺“钟”t′ 和日常钟二者之间的变换关系，可以称芝诺变换。
芝诺变换的特点是有奇性，即当t =L/(v1-v2 ),t′ 达到无限。因此，当t′ 从零增加
到无限（相当于过完全部t′时间），它只复盖了t上的一个有限范围，即从零到L/(v1-
v2)。
由此看到，芝诺佯谬之“佯”，是在于芝诺时t′ 不可能度量阿基利斯追上龟之后的现
象。在芝诺时t′ 到达无限之后，还是有时间的，但是用芝诺“钟”t′ 已经无法度量
它们了。简言之，芝诺选择的测量时间的方法不好。实际上，可以找到许多种类似于芝
诺的变换，造成芝诺式的佯谬。即有的时间测量只能用来描述一定的局限范围中的运动
，而不能描述其外的现象。
这个结论启发我们提出更深的问题：我们选择测量时间的日常钟是否也有上述的局限性
？亦即，当日常钟t 达到无限之后，是否也还有时间？是否也还有t 也无法度量的t 之
后的现象？答案是肯定的。黑洞理论告诉我们，芝诺时t′ 所具有的局限性，在日常时
t 中也是有的，即不能用t来度量落入黑洞之后的过程，落入黑洞之后的现象涉及一无
限之后的时间。为了描述落入黑洞之后的过程，要用其他的时间度量，要遇到新的有奇
性的时间变换，它的性质和芝诺变换十分相似。
总之，芝诺佯谬给我们的启示是，时间与时间的度量不同，一种时间度量达到无限之后
还可以是有时间的。“时间之后的时间”、“无穷之后的存在”，就是蕴含在芝诺佯谬
中的哲理。
至此，似乎已经可以看清，在芝诺佯谬中自然科学和哲学的关系到底是怎样了。现在的
理科学生，常常不满意或不甚满意我们的哲学或自然辩证法的课程，原因也许是多方面
的。但是我想，在一些自然科学早有深入研究的论题上，我们的教学却还停留在“连续
性和分立性的矛盾统一”这类即使不算肤浅至少也是过分古典的水平上，这可能是令人
不满意的一个重要原因。
（原载《自然辩证法报》1983年第8期） |
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