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f***y
发帖数: 4447 | 1 https://m.toutiao.com/i6499743832802853390/
1973年，匈牙利数学家 László Fejes Tóth 在 Exploring a Planet 一文中提出了
球带猜想（Zone Conjecture）[1]。该猜想描述了如果一个单位球面被几个球带完全覆
盖，它们的宽度总和至少为 π。44年过去了，以色列理工学院（Technion）的中国数
学家姜子麟和莫斯科物理技术学院（MIPT）的 Alexandr Polyanskii 终于证明了
Fejes Tóth 的猜想，其结果发表于GAFA数学杂志 [2]。他们的证明对于离散几何非常
重要。
○ László Fejes Tóth 猜想。半径为1的单位球体被等宽的区域覆盖。所有区域的
宽度总和的最小值是π。每个区域用不同颜色标记。| 图片来源：MIPT
离散几何学（Discrete Geometry）研究的是点、线、圆、多边形和其他几何对象的组
合性质。例如它会考虑如下问题：在一个球的周围，最多能摆放多少个相同尺寸的球在
它周围？或者，在平面上，如何以最密集的方式排放相同大小的圆？又或者在空间中，
如何放置最多数量的球？这类问题都需通过离散几何来解答。
事实上，此类问题的解决方案具有很大的实际应用价值。比如最密堆积问题有助于优化
编码并纠正数据传输中的错误。又如著名的四色定理，它描述的是用四种颜色就足以绘
制球面上的地图，使得图中任何相邻的两个区域都具有不同的颜色。它促使数学家引进
了图论（Graph Theory）的重要概念，这对于许多近期在化学、生物和计算机科学以及
逻辑系统上的发展都至关重要。
○ 四色定理的一个例子。| 图片来源：ACM.ORG
László Fejes Tóth 的区域猜想与离散几何中的一些其他问题也密切相关，这些问
题已在20世纪就被解决，涉及到用条带覆盖表面。其中第一个就是所谓的木板问题（
Plank Problem），涉及到用平行线组成的条带覆盖住圆盘。Alfred Tarski 和 Henryk
Moese 用一个简洁的方式证明了用来覆盖圆面的条带（或木板）的宽度和至少等于圆
的直径。也就是说，没有比用一个宽度与圆的直径相等的木板更好的方法用来覆盖圆盘
。接着，Thøger Bang 解决了用长条覆盖任意凸体的问题。也就是说，他证明了
覆盖凸体的条带的总宽度至少是凸体本身的宽度，即单个能覆盖凸体的单个条带的最小
宽度。
○ Tarski证明了，一个半径为1的单位圆不能被宽度和小于2（即圆的直径）的条带完
全覆盖。图中每个条带都有自己的宽度和颜色。| 图片来源：MIPT
姜子麟和 Alexandr Polyanskii 处理的问题有些不同，它涉及到用某类球带来覆盖一
个单位球面。具体而言，每个球带都是球面与一个特定的三维板条的交集，其中板条是
关于球心对称的夹在两个平行平面之间的空间区域。或者可以不用板条，而在球面测地
线的度量空间里定义球带：一个在单位球表面的宽度为 ω 的球带，是距离大圆（球面
上半径等于球体半径的圆弧）不超过 ±ω/2 的点的集合，测量点与点间距离的是连接
它们的最短弧。数学家必须找到能覆盖单位球面的球带上的最小宽度和。因此，宽度测
量方法不同于之前被解决的问题：它被定义为弧的长度，而不是平行线或面之间的欧几
里德距离。
○ 在球体上一个宽度为ω的区域（黄）。| 图片来源：MIPT
姜子麟和 Polyanskii 所作出的证明是受到了 Bang 的启发，Bang 通过构造一个有限
点集解决了用条带覆盖凸体的问题，该有限点集必有一个点不被任何条带覆盖。从某种
意义上来说，无论是 Bang 还是姜子麟和 Polyanskii 都是通过反证法来证明的。在
Fejes Tóth 猜想的情况下，数学家假设完全覆盖球体的球带的宽度和小于 π，并试
图得到矛盾点——即找到一个位于球体上的点，但又不在任何这些球带里。
○ 完全覆盖球体的球带。五个区域中的每个区域都有其自己的宽度和颜色。| 图片来
源：MIPT
姜子麟和 Polyanskii 在三维空间中构造了一组特别的点集，使得至少一个点不在木板
覆盖的区域内。如果这整个点集都位于球内部，那么在球面上找另一个没被木板覆盖、
也就是没被球带覆盖的点是相对容易的事。如果集合中的任何点碰巧位于球体之外，则
可以用一个较大的球带代替几个较小的球带，其宽度和与较大球带的宽度相等。因此，
我们可以做到在不影响宽度和的前提下，减少初始问题中球带的数量。最终，球体上的
某个点会被确定为不在这些球带内。这与球带总宽度小于 π 的假设背道而驰，因此证
明了 Fejes Tóth 的猜想。
这个问题在高维空间中的推广也得到了解决，但姜子麟和 Polyanskii 表示，这与三维
空间的情况并没有什么不同。
Polyanskii 说：“FejesTóth 的问题已经吸引了离散几何学领域的数学家们40多年的
注意力。最终，这个问题能得到一个优美简洁的解决方案，是我们的幸运。Fejes Tó
th 的问题促使我们去思考另一个关于球面覆盖的更基本的猜想，在这个猜想中，覆盖
球面的球带无需中央对称。”
论文第作者简介：
姜子麟，现为以色列理工学院数的博士后。姜博士生于上海，本科毕业于北京大学，后
于美国卡内基梅隆大学完成博士学位。姜博士的研究领域包括离散几何与极图理论，是
位热爱滑雪运动的年轻数学家。更多姜博士的相关信息可参考：http://math.cmu.edu/~zilinj
译：佐佑
原文链接：
https://mipt.ru/english/news/mathematicians_crack_44_year_old_problem
参考文献：
[1] L. Fejes Tóth. Research Problems: Exploring a Planet. Amer. Math.
Monthly, 80(9):1043– 1044, 1973.
[2] https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-017-0427-6
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发帖数: 3662 | 2 看起来像是中学几何题。可以发给奥数选手做做。
【在 f***y 的大作中提到】
: https://m.toutiao.com/i6499743832802853390/
: 1973年，匈牙利数学家 László Fejes Tóth 在 Exploring a Planet 一文中提出了
: 球带猜想（Zone Conjecture）[1]。该猜想描述了如果一个单位球面被几个球带完全覆
: 盖，它们的宽度总和至少为 π。44年过去了，以色列理工学院（Technion）的中国数
: 学家姜子麟和莫斯科物理技术学院（MIPT）的 Alexandr Polyanskii 终于证明了
: Fejes Tóth 的猜想，其结果发表于GAFA数学杂志 [2]。他们的证明对于离散几何非常
: 重要。
: ○ László Fejes Tóth 猜想。半径为1的单位球体被等宽的区域覆盖。所有区域的
: 宽度总和的最小值是π。每个区域用不同颜色标记。| 图片来源：MIPT
: 离散几何学（Discrete Geometry）研究的是点、线、圆、多边形和其他几何对象的组
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