s**********y
发帖数: 509 | 1 寒假在家， 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
但总的程度 《《 中国小学。
6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
度 》 中国初中一年级。
八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
求行列式， 高斯消元）， 三角函数 （和差化积， 积化和差， 半角公式， 倍角公式
）， 线性规划， 多项式。 程度 》》 中国初中。相当或略高于中国高中， 略低于
工科院校大一的水平 （微积分在外）。
中美的体系大不一样。 人家慢（小学）， 快（中学）， 自有道理。总的来说， 中式
在四则运算上占明显优势， 美式强调代数和近代数学的衔接。
5年级之前， 中式完胜。 九年级时 （15岁， 初三）， 美式看中式数学教育的深度，
总感觉很迷惑。 为什么还停留在1000年至2000年前 （平面几何， 初级代数）的水平
？ 这些技巧， 训练， 与现代数学几乎没有关系， 与应用也几乎没有关系 （不要告
诉我， 用勾股定理就能成为突击队长）。 美式已经进入18世纪的数学。
以上是一般学区， 正常学校， 正常班级 （当然， 比较serious）。
中式教学也在变革， 希望是越变越好。 |
l********a
发帖数: 1424 | |
s**********y
发帖数: 509 | |
a*w
发帖数: 4495 | 4
美国多数大学生毕业时，还达不到美国八年级的水平。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 寒假在家， 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
: 这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
: 有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
: 对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
: 小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
: 但总的程度 《《 中国小学。
: 6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
: 七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
: 度 》 中国初中一年级。
: 八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
|
n***p
发帖数: 7668 | 5 你别在这里扯什么八年级三角函数，就好像大部分美国孩子真的知道什么是
三角函数似的。当然，当你写到系列之四的时候，毫无疑问应该讲到9到12年级
的美国孩子已经学过微积分。我见过太多的大学新生自以为学过微积分，实际
上狗屁不懂。当然，他们其实连三角函数也是狗屁不懂。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 寒假在家， 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
: 这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
: 有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
: 对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
: 小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
: 但总的程度 《《 中国小学。
: 6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
: 七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
: 度 》 中国初中一年级。
: 八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
|
n***p
发帖数: 7668 | 6 嗯。大学生么，不需要去作“突击队长”，那是八年级毕业生的事。
【在 a*w 的大作中提到】
:
: 美国多数大学生毕业时，还达不到美国八年级的水平。
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a*****g
发帖数: 19398 | 7 你说的很夸张了，不过也差不多。
美国人（大面上）数学水平之烂，不是一般人能够想象的。
修完了微积分的人，还可能连分数相加都搞不清。
（只搞得清如何把公式输入计算器而已）
哪位家长放心把孩子交给这样的数学老师？
【在 a*w 的大作中提到】
:
: 美国多数大学生毕业时，还达不到美国八年级的水平。
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b*******r
发帖数: 6655 | 8 开玩笑吧？你说的进度比普通美国学校快了至少两年，
【在 s**********y 的大作中提到】
: 寒假在家， 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
: 这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
: 有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
: 对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
: 小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
: 但总的程度 《《 中国小学。
: 6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
: 七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
: 度 》 中国初中一年级。
: 八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
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a*****g
发帖数: 19398 | 9 我觉得这些观点里面的涉及面很广，但是问题也非常多
斗胆想问问你的专业背景
【在 s**********y 的大作中提到】
: 寒假在家， 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
: 这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
: 有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
: 对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
: 小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
: 但总的程度 《《 中国小学。
: 6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
: 七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
: 度 》 中国初中一年级。
: 八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
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s**********y
发帖数: 509 | 10 差不多。 只不过美式的特点是，教材写的好， 老师讲的少， 要求的更低而已。
【在 b*******r 的大作中提到】
: 开玩笑吧？你说的进度比普通美国学校快了至少两年，
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a*w
发帖数: 4495 | 11
中美比较文学
【在 a*****g 的大作中提到】
: 我觉得这些观点里面的涉及面很广，但是问题也非常多
: 斗胆想问问你的专业背景
|
l*****a
发帖数: 14598 | 12 请给出结论
比较出差别有什么意义？
【在 s**********y 的大作中提到】
: 寒假在家， 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
: 这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
: 有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
: 对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
: 小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
: 但总的程度 《《 中国小学。
: 6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
: 七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
: 度 》 中国初中一年级。
: 八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
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s**********y
发帖数: 509 | 13 这位兄台倒是顽皮的紧。不能歧视比较文学。
【在 a*w 的大作中提到】
:
: 中美比较文学
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s**********y
发帖数: 509 | 14 你也来说说嘛。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 我觉得这些观点里面的涉及面很广，但是问题也非常多
: 斗胆想问问你的专业背景
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a*****g
发帖数: 19398 | 15 要我说，
美国数学教育一塌糊涂，
缺乏统一规范(NCTM全美数学教师协会有一个，但是缺乏强制力）
各个地方各自为政，跨个学区东西就不一样了，没法形成规模效应。
最后搞下来的所谓的规范，基本上就是以 publisher 的书为主。
螺旋上升是 Everyday Mathematics的卖点而已，有利有弊。
美国数学的教材可不只它一家哦。
如果这个东西好得不得了，
那么最新的 common core 大纲就不会是采用年纪分层次的方式了。
我最喜欢骂的就是英语，对孩子的数感（最基本的数学能力）有非常不利影响。
孩子的数感搞坏了，后面有无穷的隐患，要花无穷的精力去修补。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 寒假在家， 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
: 这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
: 有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
: 对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
: 小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
: 但总的程度 《《 中国小学。
: 6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
: 七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
: 度 》 中国初中一年级。
: 八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
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n***p
发帖数: 7668 | 16 其实，你说“教材写的好， 老师讲的少， 要求的更低而已”，这是很肤浅的。
有些教材确实写得挺好，但是就我用过的大学微积分的教材来说，总体来说，就是
内容太多，太杂，什么东西都扯上一点，老师不可能全讲，学生更是不可能全学。
一本脱离教学要求的教材，不是好教材。这些教材之所以什么东西都有，那是因为
可以让教师自由选取其中一部分内容来教，这样可以让更多的学校选它作课本，
作者可以多挣点版税。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 差不多。 只不过美式的特点是，教材写的好， 老师讲的少， 要求的更低而已。
|
a*****g
发帖数: 19398 | 17 补充两句，common core 的数学大纲里面要写这样的条目
○ K的学生数数要能够数到20
○ 老师要給学生解释 Ten 就是 10 个1
○ 11,12,13...19 就是 10 和某个数 —（你看着废话，是因为你数学用的是中文。）
○ 20,30....90 就是 n 个 ten
○ 一年级小朋友要能数到 120
你就知道数学教育工作者在面临多么大的痛苦了(数感被英语毁了）
您没
入。
程
乘，
【在 a*****g 的大作中提到】
: 要我说，
: 美国数学教育一塌糊涂，
: 缺乏统一规范(NCTM全美数学教师协会有一个，但是缺乏强制力）
: 各个地方各自为政，跨个学区东西就不一样了，没法形成规模效应。
: 最后搞下来的所谓的规范，基本上就是以 publisher 的书为主。
: 螺旋上升是 Everyday Mathematics的卖点而已，有利有弊。
: 美国数学的教材可不只它一家哦。
: 如果这个东西好得不得了，
: 那么最新的 common core 大纲就不会是采用年纪分层次的方式了。
: 我最喜欢骂的就是英语，对孩子的数感（最基本的数学能力）有非常不利影响。
|
a*****g
发帖数: 19398 | 18 美国K-12的数学没个规范，本地换个学校就能要了命了。
deficency 也是不断累积，等一路混到了大学那更是参差不齐，应该说是千差万别了。
结果大学的书不得不东拉西扯，把好多从前差的东西都补上。
【在 n***p 的大作中提到】
: 其实，你说“教材写的好， 老师讲的少， 要求的更低而已”，这是很肤浅的。
: 有些教材确实写得挺好，但是就我用过的大学微积分的教材来说，总体来说，就是
: 内容太多，太杂，什么东西都扯上一点，老师不可能全讲，学生更是不可能全学。
: 一本脱离教学要求的教材，不是好教材。这些教材之所以什么东西都有，那是因为
: 可以让教师自由选取其中一部分内容来教，这样可以让更多的学校选它作课本，
: 作者可以多挣点版税。
|
s**********y
发帖数: 509 | 19 你的意思是放着好的教材你不用， 你只用差的？
【在 n***p 的大作中提到】
: 其实，你说“教材写的好， 老师讲的少， 要求的更低而已”，这是很肤浅的。
: 有些教材确实写得挺好，但是就我用过的大学微积分的教材来说，总体来说，就是
: 内容太多，太杂，什么东西都扯上一点，老师不可能全讲，学生更是不可能全学。
: 一本脱离教学要求的教材，不是好教材。这些教材之所以什么东西都有，那是因为
: 可以让教师自由选取其中一部分内容来教，这样可以让更多的学校选它作课本，
: 作者可以多挣点版税。
|
s**********y
发帖数: 509 | 20 数数很重要。
1 到100， 10， 10 以数， 5， 5， 一数
1 到 20
2， 2， 一数
3， 3， 一数
在反过来数。
加法， 减法， 乘法都没问题了。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 补充两句，common core 的数学大纲里面要写这样的条目
: ○ K的学生数数要能够数到20
: ○ 老师要給学生解释 Ten 就是 10 个1
: ○ 11,12,13...19 就是 10 和某个数 —（你看着废话，是因为你数学用的是中文。）
: ○ 20,30....90 就是 n 个 ten
: ○ 一年级小朋友要能数到 120
: 你就知道数学教育工作者在面临多么大的痛苦了(数感被英语毁了）
:
: 您没
: 入。
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s**********y
发帖数: 509 | 21 期待系列之四？
【在 l*****a 的大作中提到】
: 请给出结论
: 比较出差别有什么意义？
|
a*****g
发帖数: 19398 | 22 我可能没有说清楚——
我的意思不是数数不重要，而是英语把数学能力搞坏了，数数都怪怪的了。
你要做到 UN-LEARN math/number，才会更好地理解这些。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 数数很重要。
: 1 到100， 10， 10 以数， 5， 5， 一数
: 1 到 20
: 2， 2， 一数
: 3， 3， 一数
: 在反过来数。
: 加法， 减法， 乘法都没问题了。
|
p********5
发帖数: 7433 | 23 我非常喜欢美国对能力，想象力的培养。我娃就按照美国的进度来。 |
t*******r
发帖数: 22634 | 24 说句政治不正确的，我觉得是两个原因：
（1）小学老师要求的是全面的素质以及教育小孩的能力等等，所以相当部分
的小学教师对数学模型的概念并没有非常深入的理解。
（2）至少超过一半的娃对数学概念不太感兴趣。这也是现实，人各有长。社
会也不需要那么多算得快，特别是后 iphone 时代（iphone 上面弄个计
算器 app 算一个就完事了）。
其实靠大量练习帮助掌握数学概念，其有价值的地方是降低对教师的要求。
一对多的启发式教育对教师的要求不低的，教师至少在概念上要深入一个
数量级才有可能。否则娃随便一个问题，或者娃的个体思维差异，就能把
教师给搞晕了。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 我可能没有说清楚——
: 我的意思不是数数不重要，而是英语把数学能力搞坏了，数数都怪怪的了。
: 你要做到 UN-LEARN math/number，才会更好地理解这些。
|
a*****g
发帖数: 19398 | 25 嗯。这些方面是不错的。
【在 p********5 的大作中提到】
: 我非常喜欢美国对能力，想象力的培养。我娃就按照美国的进度来。
|
n***p
发帖数: 7668 | 26 呼唤我的表达能力啊。我说的是有些科目的教材有些好的，但是微积分的教材都
差不多，没有好的,差的也差不到哪里去。而且判断一个教材好不好，不同人有
不同标准。 像微积分这种东西，随便找本教材凑合着用都差不多,反正学生也
不读书。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 你的意思是放着好的教材你不用， 你只用差的？
|
a*****g
发帖数: 19398 | 27 最后一句太逗了
【在 n***p 的大作中提到】
: 呼唤我的表达能力啊。我说的是有些科目的教材有些好的，但是微积分的教材都
: 差不多，没有好的,差的也差不到哪里去。而且判断一个教材好不好，不同人有
: 不同标准。 像微积分这种东西，随便找本教材凑合着用都差不多,反正学生也
: 不读书。
|
s**********y
发帖数: 509 | 28 随手一搜， 你觉得以下书呢？
Calculus, 9th ed.
Saturnino L Salas, Einar Hille, Garret J Etgen
Introduction to Analysis
Arthur mattuck
【在 n***p 的大作中提到】
: 呼唤我的表达能力啊。我说的是有些科目的教材有些好的，但是微积分的教材都
: 差不多，没有好的,差的也差不到哪里去。而且判断一个教材好不好，不同人有
: 不同标准。 像微积分这种东西，随便找本教材凑合着用都差不多,反正学生也
: 不读书。
|
n***p
发帖数: 7668 | 29 我没仔细看过这两本书，不好评价。不过第一本的第九版Amazon上面27个评价，
平均3.5颗星，第十版10个评价，三颗星。好不好自己琢磨呗。
另外，Introduction to Analysis和Calculus是侧重点完全不同的，不能
混为一谈。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 随手一搜， 你觉得以下书呢？
: Calculus, 9th ed.
: Saturnino L Salas, Einar Hille, Garret J Etgen
: Introduction to Analysis
: Arthur mattuck
|
c**A
发帖数: 1474 | 30 美国的问题是课本内容和学生水平严重脱节。
我儿子从小就对数学有很高的悟性。一些很抽象的概念接受起来很快。
我原以为他一定会从美国的开放式教育中受益。
但实际上他的数学水平却被他的糟糕透顶的运算能力所拖累。
比如他可以很好的接受函数，极限等概念。但自己推导微分公式的时候连多项式分数的
通分都算不对。我想这在美国学生中很有代表性。
在 s1unflowerboy (lonestar) 的大作中提到: 】 |
|
|
a*****g
发帖数: 19398 | 31 看我前面说的－－－－－
美国人（大面上）数学水平之烂，不是一般人能够想象的。
修完了微积分的人，还可能连分数相加都搞不清。
（只搞得清如何把公式输入计算器而已）
哪位家长放心把孩子交给这样的数学老师？
您没
入。
程
乘，
【在 a*****g 的大作中提到】
: 最后一句太逗了
|
I*****e
发帖数: 7085 | 32 你儿子多大了？
【在 c**A 的大作中提到】
: 美国的问题是课本内容和学生水平严重脱节。
: 我儿子从小就对数学有很高的悟性。一些很抽象的概念接受起来很快。
: 我原以为他一定会从美国的开放式教育中受益。
: 但实际上他的数学水平却被他的糟糕透顶的运算能力所拖累。
: 比如他可以很好的接受函数，极限等概念。但自己推导微分公式的时候连多项式分数的
: 通分都算不对。我想这在美国学生中很有代表性。
: 在 s1unflowerboy (lonestar) 的大作中提到: 】
|
s**********y
发帖数: 509 | 33 我看这是好事。 如果只是多项式分数的通分不熟悉， 找本对应的练习书， 作几道题
就可以了。 这样的结果是 娃知道了微分又练习了多项式分数的通分。 而且娃的唯一
不足是多项式分数的通分， 信心也提高。
【在 c**A 的大作中提到】
: 美国的问题是课本内容和学生水平严重脱节。
: 我儿子从小就对数学有很高的悟性。一些很抽象的概念接受起来很快。
: 我原以为他一定会从美国的开放式教育中受益。
: 但实际上他的数学水平却被他的糟糕透顶的运算能力所拖累。
: 比如他可以很好的接受函数，极限等概念。但自己推导微分公式的时候连多项式分数的
: 通分都算不对。我想这在美国学生中很有代表性。
: 在 s1unflowerboy (lonestar) 的大作中提到: 】
|
a*****g
发帖数: 19398 | 34 把孩子的概念教坏了，你以为拿个练习册针对那个再补两下就解决问题了？
围棋中有一个词汇叫“次序”。
你次序错了，世界就不一定能回到从前预期结果了。
在教育上，你要理解 "UNLEARN" 的难度。
我记得去年我讲过一个围棋小孩学 11x11 的故事。
再概要重复一下——
我在棋盘上摆了个 11x11 的方框，问小朋友多少目。小朋友说 121 目。
我当时根本不知道怎么教——
因为我已经知道11x11=121，我不知道如何 UNLEARN
小朋友说她是先看到了个 10x10 的方框，那是 100
然后她用数数的方式，把剩下的数出来，是21目。所以总计是 121目。
所以她是我的老师。
数的
【在 s**********y 的大作中提到】
: 我看这是好事。 如果只是多项式分数的通分不熟悉， 找本对应的练习书， 作几道题
: 就可以了。 这样的结果是 娃知道了微分又练习了多项式分数的通分。 而且娃的唯一
: 不足是多项式分数的通分， 信心也提高。
|
t*******r
发帖数: 22634 | 35 俺以前说过的，大学微积分的难度根本不是概念，那个概念初中生就能掌握。
大学微积分（学究地说就是牛顿/莱布尼兹的微积分符号体系）的难度是在于
符号运算，在一个跟代数不同的符号空间进行符号运算。
只要代数足够好（真正的符号空间想象力/运算能力强，而不是单纯靠题海搞
出来的应试能力），学微积分就是小菜，换一个不同的符号空间算而已。
所以俺前面也说了，很多小学教师确实不知道怎么教超前娃的数学。数学能力
的培养，撇开创新能力不谈的话，俺以前说过了，核心是“符号空间”+“高维
空间”+“拓扑空间”的想象力和运算能力。大部分小学教师是努力帮助娃用更
少的能力做题，而不是培养更强大的能力。这个对落后娃是适合的，但是对
先进娃可能适得其反。
不过这不是说小学教师没法应付这些娃。碰到过的有经验的老师，我觉得是
能够应付的，我觉得是一边跟娃的家长沟通，一边在合适的地方给娃自由发
展的空间，比如娃运算方法、打不打草稿、做不做标记等等，不简单地因为
偶尔的计算错误而强求一致。
【在 c**A 的大作中提到】
: 美国的问题是课本内容和学生水平严重脱节。
: 我儿子从小就对数学有很高的悟性。一些很抽象的概念接受起来很快。
: 我原以为他一定会从美国的开放式教育中受益。
: 但实际上他的数学水平却被他的糟糕透顶的运算能力所拖累。
: 比如他可以很好的接受函数，极限等概念。但自己推导微分公式的时候连多项式分数的
: 通分都算不对。我想这在美国学生中很有代表性。
: 在 s1unflowerboy (lonestar) 的大作中提到: 】
|
t*******r
发帖数: 22634 | 36 我个人觉得，你是比较典型的在数学教育上，重概念高于重能力的。
其实在概念上，这个娃的办法很 intuition，也是在建立 positional
notation 概念的过程中，但是娃还没到最终建立该体系的概念。
就算在概念上，这个 11x11 的计算发现过程，其实也是
positional notation system（place value）
的发现过程。最终发现的更系统的好办法，应该是 11x10 + 11。
增加数一行，而不是数两边。数数的复杂度降低一次。这是一步步
走向 positional notation 的过程的 break through 点。
在教育上，俺觉得您很用心也很有经验。但是数学概念的深入理解，
俺觉得您貌似还是需要加强一些。你不知道怎么教，可能是你没有
深入理解 positional notation system 的数学概念。不过
人总是人各有长。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 把孩子的概念教坏了，你以为拿个练习册针对那个再补两下就解决问题了？
: 围棋中有一个词汇叫“次序”。
: 你次序错了，世界就不一定能回到从前预期结果了。
: 在教育上，你要理解 "UNLEARN" 的难度。
: 我记得去年我讲过一个围棋小孩学 11x11 的故事。
: 再概要重复一下——
: 我在棋盘上摆了个 11x11 的方框，问小朋友多少目。小朋友说 121 目。
: 我当时根本不知道怎么教——
: 因为我已经知道11x11=121，我不知道如何 UNLEARN
: 小朋友说她是先看到了个 10x10 的方框，那是 100
|
s**********y
发帖数: 509 | 37 你不能小看娃的创造力。 14 × 15 很多娃告诉我 他们算 15×15 - 15 因为 15的平
方 他们已经知道了。
我认为教的重点是学， 学生在第一位， 老师在第二位。 从这一点出发， 很难教坏。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 把孩子的概念教坏了，你以为拿个练习册针对那个再补两下就解决问题了？
: 围棋中有一个词汇叫“次序”。
: 你次序错了，世界就不一定能回到从前预期结果了。
: 在教育上，你要理解 "UNLEARN" 的难度。
: 我记得去年我讲过一个围棋小孩学 11x11 的故事。
: 再概要重复一下——
: 我在棋盘上摆了个 11x11 的方框，问小朋友多少目。小朋友说 121 目。
: 我当时根本不知道怎么教——
: 因为我已经知道11x11=121，我不知道如何 UNLEARN
: 小朋友说她是先看到了个 10x10 的方框，那是 100
|
p**f
发帖数: 2610 | 38 这个容易，你下次教10x10就行了，hehe...
说老实话，其实并不难教，我提到过，数学最重要的是抽象和类比。
你一下出10题就行了。
2x2,
3x3,
...
11x11
对那些一直数到了11x11的娃，就不要教了。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 把孩子的概念教坏了，你以为拿个练习册针对那个再补两下就解决问题了？
: 围棋中有一个词汇叫“次序”。
: 你次序错了，世界就不一定能回到从前预期结果了。
: 在教育上，你要理解 "UNLEARN" 的难度。
: 我记得去年我讲过一个围棋小孩学 11x11 的故事。
: 再概要重复一下——
: 我在棋盘上摆了个 11x11 的方框，问小朋友多少目。小朋友说 121 目。
: 我当时根本不知道怎么教——
: 因为我已经知道11x11=121，我不知道如何 UNLEARN
: 小朋友说她是先看到了个 10x10 的方框，那是 100
|
t*******r
发帖数: 22634 | 39 这个用减法的办法也很重要，应该鼓励。
但是要让娃知道，用减法是数学里的 intuition solution。用 positional
notation 标准做加法的办法是 systematic solution。
这个用减法的 intuition solution 的弱点是，对一般的情况，会用更多的
temporary memory，不能保持用 O(1) temprary memory 的复杂度。
而 positional notation 的标准办法，做任何题目都能保持只用 O(1)
的 temporary memory。所以那个标准办法是算法整体而言最优解（对于
人脑而言）。
。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 你不能小看娃的创造力。 14 × 15 很多娃告诉我 他们算 15×15 - 15 因为 15的平
: 方 他们已经知道了。
: 我认为教的重点是学， 学生在第一位， 老师在第二位。 从这一点出发， 很难教坏。
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t*******r
发帖数: 22634 | 40 btw，最终形成的系统办法的过程是
11x10 + 11 => (stage 1)
11x10 + 1x10 + 1 => (stage 2)
(11+1)x10 + 1 => (stage 3)
这样就不必数了，进位的概念也由之产生了。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我个人觉得，你是比较典型的在数学教育上，重概念高于重能力的。
: 其实在概念上，这个娃的办法很 intuition，也是在建立 positional
: notation 概念的过程中，但是娃还没到最终建立该体系的概念。
: 就算在概念上，这个 11x11 的计算发现过程，其实也是
: positional notation system（place value）
: 的发现过程。最终发现的更系统的好办法，应该是 11x10 + 11。
: 增加数一行，而不是数两边。数数的复杂度降低一次。这是一步步
: 走向 positional notation 的过程的 break through 点。
: 在教育上，俺觉得您很用心也很有经验。但是数学概念的深入理解，
: 俺觉得您貌似还是需要加强一些。你不知道怎么教，可能是你没有
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a*****g
发帖数: 19398 | 41 嗯。主要那一次不是教数学，是教围棋，突然蹦出来的这个情况。
让我 Un-learn 11x11 ，当时没做到（小朋友教了我了）
这又回到我的老话题了，围棋数学是一家。o(∩_∩)o...哈哈！！！
【在 p**f 的大作中提到】
: 这个容易，你下次教10x10就行了，hehe...
: 说老实话，其实并不难教，我提到过，数学最重要的是抽象和类比。
: 你一下出10题就行了。
: 2x2,
: 3x3,
: ...
: 11x11
: 对那些一直数到了11x11的娃，就不要教了。
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p**f
发帖数: 2610 | 42 其实，“能力”这东西主要还是靠自己训练。
运算能力比较强的娃一般都是练得比较多的娃。
老师教学，我觉得还是以概念方法来引导为主。 想出色的娃自己去练就成了。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺以前说过的，大学微积分的难度根本不是概念，那个概念初中生就能掌握。
: 大学微积分（学究地说就是牛顿/莱布尼兹的微积分符号体系）的难度是在于
: 符号运算，在一个跟代数不同的符号空间进行符号运算。
: 只要代数足够好（真正的符号空间想象力/运算能力强，而不是单纯靠题海搞
: 出来的应试能力），学微积分就是小菜，换一个不同的符号空间算而已。
: 所以俺前面也说了，很多小学教师确实不知道怎么教超前娃的数学。数学能力
: 的培养，撇开创新能力不谈的话，俺以前说过了，核心是“符号空间”+“高维
: 空间”+“拓扑空间”的想象力和运算能力。大部分小学教师是努力帮助娃用更
: 少的能力做题，而不是培养更强大的能力。这个对落后娃是适合的，但是对
: 先进娃可能适得其反。
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n***p
发帖数: 7668 | 43 尽管我没有接触过美国的小学老师，但是我认为你说的这个
“大部分小学教师是努力帮助娃用更少的能力做题，而不是培养更强大的能力”
是对的。
曾经有大学新生告诉我，他们高中教微积分时，老师告诉他们如何通过列表
来算某些微分或者积分，直接的结果就是，如果某个题目适用他们那个表，那么
他们知道如何计算，稍微变化一下，他们就抓瞎。原因就是，他们即不理解那些
公式背后的原理，又不知道如何进行运算。
有些大学老师也认为，至少对部分学生来说，高中的微积分课程do more harm
than good，
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺以前说过的，大学微积分的难度根本不是概念，那个概念初中生就能掌握。
: 大学微积分（学究地说就是牛顿/莱布尼兹的微积分符号体系）的难度是在于
: 符号运算，在一个跟代数不同的符号空间进行符号运算。
: 只要代数足够好（真正的符号空间想象力/运算能力强，而不是单纯靠题海搞
: 出来的应试能力），学微积分就是小菜，换一个不同的符号空间算而已。
: 所以俺前面也说了，很多小学教师确实不知道怎么教超前娃的数学。数学能力
: 的培养，撇开创新能力不谈的话，俺以前说过了，核心是“符号空间”+“高维
: 空间”+“拓扑空间”的想象力和运算能力。大部分小学教师是努力帮助娃用更
: 少的能力做题，而不是培养更强大的能力。这个对落后娃是适合的，但是对
: 先进娃可能适得其反。
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a*****g
发帖数: 19398 | 44 第一点我很赞同，小朋友很聪明的。
第二点我很不赞同，小朋友太容易教坏了。
单单从数学上说，你教了一个捷径，希望孩子再反过来学基本概念，基本上很难了。
。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 你不能小看娃的创造力。 14 × 15 很多娃告诉我 他们算 15×15 - 15 因为 15的平
: 方 他们已经知道了。
: 我认为教的重点是学， 学生在第一位， 老师在第二位。 从这一点出发， 很难教坏。
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s**********y
发帖数: 509 | 45 走远了吧。 我曾么觉得再说下去就是ALU怎么设计的问题了？
从intuition 到 系统 （在中学就是代数）， 自是正途。 这也是美式不着重训练四则
运算的员因。
【在 t*******r 的大作中提到】
: btw，最终形成的系统办法的过程是
: 11x10 + 11 => (stage 1)
: 11x10 + 1x10 + 1 => (stage 2)
: (11+1)x10 + 1 => (stage 3)
: 这样就不必数了，进位的概念也由之产生了。
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s**********y
发帖数: 509 | 46 这些都是好几个娃自己做的。 没有人教他们。我一般反对教技巧。
【在 a*****g 的大作中提到】
: 第一点我很赞同，小朋友很聪明的。
: 第二点我很不赞同，小朋友太容易教坏了。
: 单单从数学上说，你教了一个捷径，希望孩子再反过来学基本概念，基本上很难了。
:
: 。
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s**********y
发帖数: 509 | 47 对其余的学生就很好。
美式教育的特点就是让学生有选择的自由。 这与强调 打基础， 扎实 的中式教育 不
同。
【在 n***p 的大作中提到】
: 尽管我没有接触过美国的小学老师，但是我认为你说的这个
: “大部分小学教师是努力帮助娃用更少的能力做题，而不是培养更强大的能力”
: 是对的。
: 曾经有大学新生告诉我，他们高中教微积分时，老师告诉他们如何通过列表
: 来算某些微分或者积分，直接的结果就是，如果某个题目适用他们那个表，那么
: 他们知道如何计算，稍微变化一下，他们就抓瞎。原因就是，他们即不理解那些
: 公式背后的原理，又不知道如何进行运算。
: 有些大学老师也认为，至少对部分学生来说，高中的微积分课程do more harm
: than good，
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n***p
发帖数: 7668 | 48 有选择的自由当然很好。但是也有一个直接的后果就是有些学生在背景不够，基础不牢
的情况下选择了不适合自己的难度太高的后续课程。然后这些后续课程的老师不得不降
低难度放水。当然，很多学生都是混个学位，爱怎么着怎么着吧。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 对其余的学生就很好。
: 美式教育的特点就是让学生有选择的自由。 这与强调 打基础， 扎实 的中式教育 不
: 同。
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n********h
发帖数: 13135 | 49 "因为我已经知道11x11=121，我不知道如何 UNLEARN", 这不是UNLEARN的问题, 是你学
得太差了. 用乘法的定义教, 也教会了. 中国教育再填鸭, 乘法的定义还是会讲的. 自
己没有学好, 不要怪到教育方法上.
你的数学不是一般的差啊.
【在 a*****g 的大作中提到】
: 把孩子的概念教坏了，你以为拿个练习册针对那个再补两下就解决问题了？
: 围棋中有一个词汇叫“次序”。
: 你次序错了，世界就不一定能回到从前预期结果了。
: 在教育上，你要理解 "UNLEARN" 的难度。
: 我记得去年我讲过一个围棋小孩学 11x11 的故事。
: 再概要重复一下——
: 我在棋盘上摆了个 11x11 的方框，问小朋友多少目。小朋友说 121 目。
: 我当时根本不知道怎么教——
: 因为我已经知道11x11=121，我不知道如何 UNLEARN
: 小朋友说她是先看到了个 10x10 的方框，那是 100
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a*****g
发帖数: 19398 | 50 围棋就是这样一个游戏——
理论上可以选择下在棋盘上的任何一个点，
但是每个点（投资）都会有不同的功效。
要想就一番事业，单单靠一个自由选择是无法赢棋的。
得要步步为营、攻守兼备、舍小取大、居安思危…………
不
【在 n***p 的大作中提到】
: 有选择的自由当然很好。但是也有一个直接的后果就是有些学生在背景不够，基础不牢
: 的情况下选择了不适合自己的难度太高的后续课程。然后这些后续课程的老师不得不降
: 低难度放水。当然，很多学生都是混个学位，爱怎么着怎么着吧。
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b**********d
发帖数: 419 | 51 数学不好的进来瞻仰一下牛人们。等更多的系统学习数学的知识。 |
b**********d
发帖数: 419 | 52 niu,这个过程跟我们学国的竖式做法还不一样呢。那请问17乘以18该怎么算呢？
【在 t*******r 的大作中提到】
: btw，最终形成的系统办法的过程是
: 11x10 + 11 => (stage 1)
: 11x10 + 1x10 + 1 => (stage 2)
: (11+1)x10 + 1 => (stage 3)
: 这样就不必数了，进位的概念也由之产生了。
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t*******r
发帖数: 22634 | 53 这个就是竖式的概念，按 10 分解为 position，然后从右往左算。没算到
的不用记忆，已经写下的数字也不用记忆。。。
不过今天俺管着娃，刚才写了一长篇，点错键就没了。又写第二篇简单的，又
点错键了。。。手气不行，不浪费时间了。。。
【在 b**********d 的大作中提到】
: niu,这个过程跟我们学国的竖式做法还不一样呢。那请问17乘以18该怎么算呢？
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t*******r
发帖数: 22634 | 54 17 x 18
17 x 10 + 17 x 8
17 x 10 + 10 x 8 + 7 x 8
所有有 10 的地方都用移位代替，然后从右往左分解，没遇到的不用考虑，
（第一步不用考虑 17x10），已经写下的位也不用继续记忆。
【在 b**********d 的大作中提到】
: niu,这个过程跟我们学国的竖式做法还不一样呢。那请问17乘以18该怎么算呢？
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c**A
发帖数: 1474 | 55 七年级。
【在 I*****e 的大作中提到】
: 你儿子多大了？
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I*****e
发帖数: 7085 | 56 2000年出生的？
【在 c**A 的大作中提到】
: 七年级。
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k******a
发帖数: 2436 | 57 我不得不说你对数学的理解是有问题的。背公式的唯一意义是熟练而不是理解。而逻辑
和集合论是分析的基础。如果基础强，学习线性代数是很简单的。数学教育里最难的：
一个是学习代数之前的数论和逻辑题（小学)。第二是立体几何(中学）。第三是分析基
础（在大学里会重新学习一遍）就是所谓的微积分。
数学教育一方面是知识的获取。更重要的一方面是养成思维和分析能力。如何通过对证
明若干引理，一步步地引入复杂的全面的定理的证明。如何通过对问题的理解找到不同
但是等价的问题。如何观察，猜测，提出假设，举处反例，或者证明存在唯一性。如何
忽略次要方面找到近似数值解。如何建立数学模型。如何运用数学归纳法等等。工作生
活里碰到的很多问题不过如此而已。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 寒假在家， 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
: 这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
: 有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
: 对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
: 小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
: 但总的程度 《《 中国小学。
: 6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
: 七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
: 度 》 中国初中一年级。
: 八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
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c**A
发帖数: 1474 | 58 对。
【在 I*****e 的大作中提到】
: 2000年出生的？
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c**A
发帖数: 1474 | 59
我不能认同。
多项式分数只是一个例子。如果所谓学过的概念都不能用于进一步的学习。那就不能算
作学会。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 我看这是好事。 如果只是多项式分数的通分不熟悉， 找本对应的练习书， 作几道题
: 就可以了。 这样的结果是 娃知道了微分又练习了多项式分数的通分。 而且娃的唯一
: 不足是多项式分数的通分， 信心也提高。
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s**********y
发帖数: 509 | 60 逻辑是分析的基础，这分析您指的是实分析， 复分析， 还是泛函？
【在 k******a 的大作中提到】
: 我不得不说你对数学的理解是有问题的。背公式的唯一意义是熟练而不是理解。而逻辑
: 和集合论是分析的基础。如果基础强，学习线性代数是很简单的。数学教育里最难的：
: 一个是学习代数之前的数论和逻辑题（小学)。第二是立体几何(中学）。第三是分析基
: 础（在大学里会重新学习一遍）就是所谓的微积分。
: 数学教育一方面是知识的获取。更重要的一方面是养成思维和分析能力。如何通过对证
: 明若干引理，一步步地引入复杂的全面的定理的证明。如何通过对问题的理解找到不同
: 但是等价的问题。如何观察，猜测，提出假设，举处反例，或者证明存在唯一性。如何
: 忽略次要方面找到近似数值解。如何建立数学模型。如何运用数学归纳法等等。工作生
: 活里碰到的很多问题不过如此而已。
|
|
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a*****g
发帖数: 19398 | 61 然！
您没
入。
【在 k******a 的大作中提到】
: 我不得不说你对数学的理解是有问题的。背公式的唯一意义是熟练而不是理解。而逻辑
: 和集合论是分析的基础。如果基础强，学习线性代数是很简单的。数学教育里最难的：
: 一个是学习代数之前的数论和逻辑题（小学)。第二是立体几何(中学）。第三是分析基
: 础（在大学里会重新学习一遍）就是所谓的微积分。
: 数学教育一方面是知识的获取。更重要的一方面是养成思维和分析能力。如何通过对证
: 明若干引理，一步步地引入复杂的全面的定理的证明。如何通过对问题的理解找到不同
: 但是等价的问题。如何观察，猜测，提出假设，举处反例，或者证明存在唯一性。如何
: 忽略次要方面找到近似数值解。如何建立数学模型。如何运用数学归纳法等等。工作生
: 活里碰到的很多问题不过如此而已。
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t*******r
发帖数: 22634 | 62 “更重要的一方面是养成思维和分析能力” —— 这点你说的没错。
但是你下面说的，“如何通过对证明若干引理 。。。 数学归纳法等等” ——
似乎没有强调 “global picture” 的重要性。
其实我觉得中小学教师思维上容易出现的偏差是，中小学教师通常都在 work
on 对他们自己已知的问题。教授过程，对他们自己更多的是 replay the
known，而不是 explore the unknown。就像在固定的线路上教开车，
久而久之，就会越来越强调方向盘/刹车/信号灯/路标，却忘了强调如何看地图 /
应付不同海拔气候条件 / 不同能见度 / 如何使用 GPS / 汽车机械故障 。。。
不少中学教师，做未知的竞赛题，即使在不限制时间的条件下（考虑思维的速度
受到年龄的影响），也不一定能做过学校里学科竞赛的种子选手，俺认为部分是
上述原因。。。
【在 k******a 的大作中提到】
: 我不得不说你对数学的理解是有问题的。背公式的唯一意义是熟练而不是理解。而逻辑
: 和集合论是分析的基础。如果基础强，学习线性代数是很简单的。数学教育里最难的：
: 一个是学习代数之前的数论和逻辑题（小学)。第二是立体几何(中学）。第三是分析基
: 础（在大学里会重新学习一遍）就是所谓的微积分。
: 数学教育一方面是知识的获取。更重要的一方面是养成思维和分析能力。如何通过对证
: 明若干引理，一步步地引入复杂的全面的定理的证明。如何通过对问题的理解找到不同
: 但是等价的问题。如何观察，猜测，提出假设，举处反例，或者证明存在唯一性。如何
: 忽略次要方面找到近似数值解。如何建立数学模型。如何运用数学归纳法等等。工作生
: 活里碰到的很多问题不过如此而已。
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t*******r
发帖数: 22634 | 63 数学能力更多的是靠思考，不过你也可以把思考也认为之一种训练。
怎么教授能力是一个非常高深的问题，但是俺觉得不是不能做到的。
好比跑步教练，一个牛逼跑步运动员，总是力量加技术。教练自己的
力量多半比不上年轻运动员，但是好教练一样能指导年轻运动员如何
训练力量。当然，如果运动员本身很懒惰。。。换啥教练都是白搭。。。
【在 p**f 的大作中提到】
: 其实，“能力”这东西主要还是靠自己训练。
: 运算能力比较强的娃一般都是练得比较多的娃。
: 老师教学，我觉得还是以概念方法来引导为主。 想出色的娃自己去练就成了。
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i******m
发帖数: 2591 | 64 你是反对数学教思考方法吗？
【在 s**********y 的大作中提到】
: 这些都是好几个娃自己做的。 没有人教他们。我一般反对教技巧。
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s**********y
发帖数: 509 | 65 条条道路通罗马， 何必拘于一点。
【在 i******m 的大作中提到】
: 你是反对数学教思考方法吗？
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p**f
发帖数: 2610 | 66 "怎么教授能力是一个非常高深的问题"， 你想得过分复杂了。 development的问题主
要还是靠个体自己，不是老师能解决的。
师者，传道授业解惑也。 可以想象，学生必须是有潜力，努力好学的学生。
说是名师出高徒，即使在古代，好徒弟并不愁找不到名师反而是有绝学的名师晚年都愁
死了。
我最近在看三国，比如这个诸葛亮吧，找徒弟找到了敌人那里去了，收姜维花了多少心
思？见到姜维就一副相见恨晚的样子，临死前还给徒弟写了52卷参考书。 何曾见孔明
在成都办军事培训班？
【在 t*******r 的大作中提到】
: 数学能力更多的是靠思考，不过你也可以把思考也认为之一种训练。
: 怎么教授能力是一个非常高深的问题，但是俺觉得不是不能做到的。
: 好比跑步教练，一个牛逼跑步运动员，总是力量加技术。教练自己的
: 力量多半比不上年轻运动员，但是好教练一样能指导年轻运动员如何
: 训练力量。当然，如果运动员本身很懒惰。。。换啥教练都是白搭。。。
|
b**********d
发帖数: 419 | 67 谢谢大侠赐教，发现俺现在可以心算一点了。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 17 x 18
: 17 x 10 + 17 x 8
: 17 x 10 + 10 x 8 + 7 x 8
: 所有有 10 的地方都用移位代替，然后从右往左分解，没遇到的不用考虑，
: （第一步不用考虑 17x10），已经写下的位也不用继续记忆。
|
p********i
发帖数: 2003 | 68 土人我觉的用什么方法算个四则运算，根本影响不到以后数学思维的建立。
有sense就是有sense，没sense就是没sense。没sense的训练下以后应付点儿日常工作
生活中的数学没任何问题，不用担心
有sense的也不用担心四则运算的不同算法会把孩子教坏，以后有的是机会好好学习天
天向上 |
b**********d
发帖数: 419 | 69 发现大家在争论一些很高深的问题，那我们能不能具体化一些，讨论一下对小学生或初
中生来说，哪一些概念是对将来的数学有帮助的。 |
k******a
发帖数: 2436 | 70 为什么非要局限在老师的教学？如果老师不教难道学生就没有资格想问题吗？另外学生
当然可以找到比老师更强更简洁的solution,或者提出老师想不到的假说。至少我在中
学的时候见到许多例子。在大学那就更普遍了。
例如类比，通过把原问题mapped to a different space，通过另外一些工具找到解法
。是人类最有用的思维武器之一。老师怎么可能限制学生的类比能力呢？老师的人生经
历有自己的局限。例如老师熟悉的童年是几十年前。学生当然是要超越老师，即使是
apply same principles to new situations.
所以我很难理解对科学有兴趣的孩子会因为学校的教学进度太慢而学不好数学。抽象思
维，观察能力，divide-and-conquer, 意识到解的相对性，统筹计划等等的能力可以通
过学习数学发展，也可以通过很多日常生活训练，比如说玩电子游戏。
数学竞赛每年都有成千上万的选手。每年Harvard毕业的成千。真正能够算作成功的有
多少？从一辈子的历程来看，年轻时候很多东西毕竟是表面上的。父母真的理解怎样帮
助孩子成长吗？我的意见是更重要的是发展孩子的自我意识和自己决定，自己负责的态
度。
【在 t*******r 的大作中提到】
: “更重要的一方面是养成思维和分析能力” —— 这点你说的没错。
: 但是你下面说的，“如何通过对证明若干引理 。。。 数学归纳法等等” ——
: 似乎没有强调 “global picture” 的重要性。
: 其实我觉得中小学教师思维上容易出现的偏差是，中小学教师通常都在 work
: on 对他们自己已知的问题。教授过程，对他们自己更多的是 replay the
: known，而不是 explore the unknown。就像在固定的线路上教开车，
: 久而久之，就会越来越强调方向盘/刹车/信号灯/路标，却忘了强调如何看地图 /
: 应付不同海拔气候条件 / 不同能见度 / 如何使用 GPS / 汽车机械故障 。。。
: 不少中学教师，做未知的竞赛题，即使在不限制时间的条件下（考虑思维的速度
: 受到年龄的影响），也不一定能做过学校里学科竞赛的种子选手，俺认为部分是
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a*w
发帖数: 4495 | 71 第一步应该是把17x18换成18x17
【在 t*******r 的大作中提到】
: 17 x 18
: 17 x 10 + 17 x 8
: 17 x 10 + 10 x 8 + 7 x 8
: 所有有 10 的地方都用移位代替，然后从右往左分解，没遇到的不用考虑，
: （第一步不用考虑 17x10），已经写下的位也不用继续记忆。
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n***p
发帖数: 7668 | 72 小时候算术的时候确实是把大数放前面，至少多位数相乘时是这样。比如5342x34。
【在 a*w 的大作中提到】
: 第一步应该是把17x18换成18x17
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n****f
发帖数: 3580 | 73 是啊， 多位乘法，只要能拿笔算出就可以了。 何必过于强调心算?
心算感觉也是雕虫小技。
【在 p********i 的大作中提到】
: 土人我觉的用什么方法算个四则运算，根本影响不到以后数学思维的建立。
: 有sense就是有sense，没sense就是没sense。没sense的训练下以后应付点儿日常工作
: 生活中的数学没任何问题，不用担心
: 有sense的也不用担心四则运算的不同算法会把孩子教坏，以后有的是机会好好学习天
: 天向上
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n****f
发帖数: 3580 | 74 好的老师在激发孩子兴趣，引领孩子入门方面还是有功劳的。
即使是那种非常优秀，非常自觉的学生，一般都还是有一两个十分重要的老师，曾给他
们启发和激励。
【在 k******a 的大作中提到】
: 为什么非要局限在老师的教学？如果老师不教难道学生就没有资格想问题吗？另外学生
: 当然可以找到比老师更强更简洁的solution,或者提出老师想不到的假说。至少我在中
: 学的时候见到许多例子。在大学那就更普遍了。
: 例如类比，通过把原问题mapped to a different space，通过另外一些工具找到解法
: 。是人类最有用的思维武器之一。老师怎么可能限制学生的类比能力呢？老师的人生经
: 历有自己的局限。例如老师熟悉的童年是几十年前。学生当然是要超越老师，即使是
: apply same principles to new situations.
: 所以我很难理解对科学有兴趣的孩子会因为学校的教学进度太慢而学不好数学。抽象思
: 维，观察能力，divide-and-conquer, 意识到解的相对性，统筹计划等等的能力可以通
: 过学习数学发展，也可以通过很多日常生活训练，比如说玩电子游戏。
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t*******r
发帖数: 22634 | 75 把位数较长的放在前面是有帮助的，因为加法的那步数字少了。大脑/眼睛
需要 track 的东东就少了很多。
但是同样长度的数，比如 17x18，换不换差别不大，换的话还多一步思考
过程。
【在 n***p 的大作中提到】
: 小时候算术的时候确实是把大数放前面，至少多位数相乘时是这样。比如5342x34。
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s**n
发帖数: 6126 | 76 介个说得好~
我也觉得数学训练更重要的是思维和分析的能力
数学是一门非常系统的学科
很多的知识点都是一环扣一环，逐步建筑累积起来的
这就是为什么基础不好的孩子，越学到后面越费劲
对于绝大多数将来不会以数学为职业的孩子来说
学习数学的过程中间思维所得到的训练
远比那些知识本身重要得多
其实很多其他的学科也是如此
除了那些常识性的东西，和自己职业所涉及的部分
我们在学校里面学到的又有多少现在还能记得，并且经常用到的呢？
学校里的学习，比知识本身更重要的是学习的能力
对未知事物的好奇心和兴趣，对知识的渴求
对新东西理解和运用的能力和速度
如何表达自己的想法，又如何理解别人的意见
等等等等
【在 k******a 的大作中提到】
: 我不得不说你对数学的理解是有问题的。背公式的唯一意义是熟练而不是理解。而逻辑
: 和集合论是分析的基础。如果基础强，学习线性代数是很简单的。数学教育里最难的：
: 一个是学习代数之前的数论和逻辑题（小学)。第二是立体几何(中学）。第三是分析基
: 础（在大学里会重新学习一遍）就是所谓的微积分。
: 数学教育一方面是知识的获取。更重要的一方面是养成思维和分析能力。如何通过对证
: 明若干引理，一步步地引入复杂的全面的定理的证明。如何通过对问题的理解找到不同
: 但是等价的问题。如何观察，猜测，提出假设，举处反例，或者证明存在唯一性。如何
: 忽略次要方面找到近似数值解。如何建立数学模型。如何运用数学归纳法等等。工作生
: 活里碰到的很多问题不过如此而已。
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t*******r
发帖数: 22634 | 77 纯心算其实就是雕虫小技，没啥意思。
但是一字不漏的纯笔算的效率并不是最高的，因为写下太多东东了。
人/娃有懒惰的天性，如果喜欢一字不漏纯笔算的话，可能的原因是
大脑的 temporary memory 不够。
笔算和心算配合才是最自然的。草稿和大脑的 temporary memory
配合是做很多事情的基本能力。适度的四则运算也是一个 training。
【在 n****f 的大作中提到】
: 是啊， 多位乘法，只要能拿笔算出就可以了。 何必过于强调心算?
: 心算感觉也是雕虫小技。
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a*w
发帖数: 4495 | 78 其实整个数学学科都是屠龙之技，还不如推推体育啥的。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 纯心算其实就是雕虫小技，没啥意思。
: 但是一字不漏的纯笔算的效率并不是最高的，因为写下太多东东了。
: 人/娃有懒惰的天性，如果喜欢一字不漏纯笔算的话，可能的原因是
: 大脑的 temporary memory 不够。
: 笔算和心算配合才是最自然的。草稿和大脑的 temporary memory
: 配合是做很多事情的基本能力。适度的四则运算也是一个 training。
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t*******r
发帖数: 22634 | 79 当然还存在另一种可能，就是思考的方法不是相当有效地利用大脑的
temporary memory 那种。或者对各种不同思考方法的优劣的理解
不够深。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 纯心算其实就是雕虫小技，没啥意思。
: 但是一字不漏的纯笔算的效率并不是最高的，因为写下太多东东了。
: 人/娃有懒惰的天性，如果喜欢一字不漏纯笔算的话，可能的原因是
: 大脑的 temporary memory 不够。
: 笔算和心算配合才是最自然的。草稿和大脑的 temporary memory
: 配合是做很多事情的基本能力。适度的四则运算也是一个 training。
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m**k
发帖数: 18660 | 80 代数 I 几何 代数 II
是应该9-11年级的内容。
当然很多初中生就先学2-3年。
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_education_in_the_Unite
Unlike most countries, mathematics is separated by topic at the high school
level in most of the United States. Two years are devoted entirely to
algebra and one year entirely to geometry
【在 s**********y 的大作中提到】
: 寒假在家， 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
: 这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
: 有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
: 对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
: 小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
: 但总的程度 《《 中国小学。
: 6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
: 七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
: 度 》 中国初中一年级。
: 八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
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t*******r
发帖数: 22634 | 81 说的也是哈，吼吼吼。。。
【在 a*w 的大作中提到】
: 其实整个数学学科都是屠龙之技，还不如推推体育啥的。
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i******m
发帖数: 2591 | 82 我是想听听大家对于普通非数学天才的孩子怎么教的看法
教数学到底要不要教方法？
还是等孩子自己悟自己想？有时侯想很久都想不出来，忍不住给提示，是不是做的不对？
【在 s**********y 的大作中提到】
: 条条道路通罗马， 何必拘于一点。
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n****f
发帖数: 3580 | 83 我觉得LZ提到的在中学阶段引进一些国内大学数学才涉及的内容还是有一定积极意义的
，至少对一部分学生而言。
我们那阵子，高中第三年基本就是作题，为高考作准备，不学任何新东西。现在可能更
有过之而不及，据前一阵来访的两个中学同学说，他们的女儿，初中已经是这样，初一
初二就把要学的囫囵吞枣学完了，初三就是作题。 两口子现在都是大学教授，对招进
来的新生素质十分不满，认为题海战术毁了很多人，很多高分学生能力十分有限。
我本人的感受是，中学数学和高等数学完全是两回事。很多中学数学很好的，学习大学
数学一开始非常吃力，完全是不同的思维方法，大学老师也不会象中学老师那么循循善
诱，进度也很快。不知道是我们大学要求比较高我们的老师比较偏学术，我记得除了极
少部分人， 大部分人学数学分析都挺费力的(由于学校排名和专业都不错，我的同学大
部分还都是各中学的尖子)。线性代数又是另一个 挑战，可能因为是和中学全然不同的
内容。我自己中学数学学得不错，特别是初中，但是感觉这对学大学数学似乎 没有什
么帮助。
所以，我觉得，在中学阶段引进一些国内大学数学才涉及的内容，让学生接触下 概念
是好的。学习有时候就是熟能生巧，也是一个训练的过程。早点接触，多点时间消化，
对学习应该是有利的。与其让高中的学生浪费整整一年为高考作准备，不如用来接触点
大学的内容。LZ 以前提到的’螺旋式上升‘的学习模式有合理之处。 |
s**********y
发帖数: 509 | 84 说的很实在。 螺旋上升 （or exposure）， 与近代数学的衔接 并不是新的概念， 这
都是在美国中学中已经广泛实施多年的。
【在 n****f 的大作中提到】
: 我觉得LZ提到的在中学阶段引进一些国内大学数学才涉及的内容还是有一定积极意义的
: ，至少对一部分学生而言。
: 我们那阵子，高中第三年基本就是作题，为高考作准备，不学任何新东西。现在可能更
: 有过之而不及，据前一阵来访的两个中学同学说，他们的女儿，初中已经是这样，初一
: 初二就把要学的囫囵吞枣学完了，初三就是作题。 两口子现在都是大学教授，对招进
: 来的新生素质十分不满，认为题海战术毁了很多人，很多高分学生能力十分有限。
: 我本人的感受是，中学数学和高等数学完全是两回事。很多中学数学很好的，学习大学
: 数学一开始非常吃力，完全是不同的思维方法，大学老师也不会象中学老师那么循循善
: 诱，进度也很快。不知道是我们大学要求比较高我们的老师比较偏学术，我记得除了极
: 少部分人， 大部分人学数学分析都挺费力的(由于学校排名和专业都不错，我的同学大
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a*w
发帖数: 4495 | 85 中国历史和物理在国内中学和大学也是螺旋上升的。
政治也是吧，这属于洗脑吧。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 说的很实在。 螺旋上升 （or exposure）， 与近代数学的衔接 并不是新的概念， 这
: 都是在美国中学中已经广泛实施多年的。
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s**********y
发帖数: 509 | 86 个人意见， 我不主张教。 另外， 我觉得， 教了也没用。
怎没办？ 你可以降低你的expectation.
举例： 娃做 一元一次方程： 2/3X = 1/2. 不知所云，
可以先做 2/3X = 1. 仍不知所云，
就可以先做 1/3X = 1， 仍不知所云，
仍可以先做 3X = 1， 仍不知所云，
还可以先做 3X = 3， 仍不知所云
那他/她还没ready 做方程， 应练习四则运算。
以下我把以上的方程解释一下：假设娃已经知道了方程
做 3X = 1， 不知所云 （分数的概念还没有）
做 1/3X = 1， 不知所云 （分数与整数的乘法不熟练）
做 2/3X = 1. 不知所云 （分数与分数的乘法不熟练）
做 2/3X = 1/2. 不知所云 （分数与分数的除法不熟练）
家长需要这样介入嘛？ 一般来说不需要。 美国学校就是这样教的。
三年级讲一点分数的概念， 四年级进一步， 五年级更深。 跟着一步一步走就好了
。
我的讨论， 都不是对天才少年的。 从没deal过天才少年。
还是那句话， 要尊重娃的兴趣， 不要丧失了学习和探索的乐趣。
对？
【在 i******m 的大作中提到】
: 我是想听听大家对于普通非数学天才的孩子怎么教的看法
: 教数学到底要不要教方法？
: 还是等孩子自己悟自己想？有时侯想很久都想不出来，忍不住给提示，是不是做的不对？
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t*******r
发帖数: 22634 | 87 我觉得中学数学/物理和大学数学/物理差别不是那么大。多数只是换了一个
符号空间，用了更高维的空间，或者不同的拓扑空间，如此而已。
实际上中学数学/物理的难题比大学难多了。比如俺们那时的中学物理竞赛，
一律不许使用微积分或者约束反力啥的。。。否则的话解题容易多了。。。
之所以觉得中学和大学的跳跃，个人认为完全是因为应试型题海战的结果。
应试型题海的目的就是利用一切可利用的标准化考试的漏洞和弱点，当然
不强调训练可持续发展的能力。
【在 n****f 的大作中提到】
: 我觉得LZ提到的在中学阶段引进一些国内大学数学才涉及的内容还是有一定积极意义的
: ，至少对一部分学生而言。
: 我们那阵子，高中第三年基本就是作题，为高考作准备，不学任何新东西。现在可能更
: 有过之而不及，据前一阵来访的两个中学同学说，他们的女儿，初中已经是这样，初一
: 初二就把要学的囫囵吞枣学完了，初三就是作题。 两口子现在都是大学教授，对招进
: 来的新生素质十分不满，认为题海战术毁了很多人，很多高分学生能力十分有限。
: 我本人的感受是，中学数学和高等数学完全是两回事。很多中学数学很好的，学习大学
: 数学一开始非常吃力，完全是不同的思维方法，大学老师也不会象中学老师那么循循善
: 诱，进度也很快。不知道是我们大学要求比较高我们的老师比较偏学术，我记得除了极
: 少部分人， 大部分人学数学分析都挺费力的(由于学校排名和专业都不错，我的同学大
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p********i
发帖数: 2003 | 88 问题就在于，temporary memory少点儿多点儿，估计也没啥区别
算心算的话，我估计大部分人比不上菜市场的卖菜大妈
人家那才叫一个快，经常算的我目瞪口呆，我领导瞠目结舌。我偶尔还能follow一下卖
菜大妈的思路，领导直接就是晕过去的货
【在 t*******r 的大作中提到】
: 纯心算其实就是雕虫小技，没啥意思。
: 但是一字不漏的纯笔算的效率并不是最高的，因为写下太多东东了。
: 人/娃有懒惰的天性，如果喜欢一字不漏纯笔算的话，可能的原因是
: 大脑的 temporary memory 不够。
: 笔算和心算配合才是最自然的。草稿和大脑的 temporary memory
: 配合是做很多事情的基本能力。适度的四则运算也是一个 training。
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b**********d
发帖数: 419 | 89 俺覺得微分積分的概念非常重要，但是不知道怎樣給小朋友講解。
school
【在 m**k 的大作中提到】
: 代数 I 几何 代数 II
: 是应该9-11年级的内容。
: 当然很多初中生就先学2-3年。
: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_education_in_the_Unite
: Unlike most countries, mathematics is separated by topic at the high school
: level in most of the United States. Two years are devoted entirely to
: algebra and one year entirely to geometry
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t*******r
发帖数: 22634 | 90 个人认为菜市场上的大妈的 temporary memory 绝对不会比码工多，
他们不过是计算方法是应付不超过三位数加减法，并且算多了大脑
可能直接建立了 mapping table。
标准的计算方法是为了不限长度的数优化的，用标准计算方法去菜
市场没有优势也很自然。
个人认为 tmeporary memory 和 symbolize 的能力，是在大脑中
construct global picture 所需要的基本能力。Global picture
不好，对 explore/solve unkown problem 的影响还是挺大的。
【在 p********i 的大作中提到】
: 问题就在于，temporary memory少点儿多点儿，估计也没啥区别
: 算心算的话，我估计大部分人比不上菜市场的卖菜大妈
: 人家那才叫一个快，经常算的我目瞪口呆，我领导瞠目结舌。我偶尔还能follow一下卖
: 菜大妈的思路，领导直接就是晕过去的货
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p********i
发帖数: 2003 | 91 人家temporary memory可能是没码工多，但人家算的还真是不比码工慢
而且不止三位数，算上小数点，人家经常算四位数的，我是贼敬佩卖菜大妈
我就是觉的吧，小时候这个四则运算用什么方法算，跟以后的各种能力没太大关系
是个正常人，训练下，基本都能满足数学在生活工作中的应用要求，没啥问题
【在 t*******r 的大作中提到】
: 个人认为菜市场上的大妈的 temporary memory 绝对不会比码工多，
: 他们不过是计算方法是应付不超过三位数加减法，并且算多了大脑
: 可能直接建立了 mapping table。
: 标准的计算方法是为了不限长度的数优化的，用标准计算方法去菜
: 市场没有优势也很自然。
: 个人认为 tmeporary memory 和 symbolize 的能力，是在大脑中
: construct global picture 所需要的基本能力。Global picture
: 不好，对 explore/solve unkown problem 的影响还是挺大的。
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a*****g
发帖数: 19398 | 92 基础打牢了，根本不用担心的。
【在 b**********d 的大作中提到】
: 俺覺得微分積分的概念非常重要，但是不知道怎樣給小朋友講解。
:
: school
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a*****g
发帖数: 19398 | 93 这些方法是很不错的。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 个人意见， 我不主张教。 另外， 我觉得， 教了也没用。
: 怎没办？ 你可以降低你的expectation.
: 举例： 娃做 一元一次方程： 2/3X = 1/2. 不知所云，
: 可以先做 2/3X = 1. 仍不知所云，
: 就可以先做 1/3X = 1， 仍不知所云，
: 仍可以先做 3X = 1， 仍不知所云，
: 还可以先做 3X = 3， 仍不知所云
: 那他/她还没ready 做方程， 应练习四则运算。
: 以下我把以上的方程解释一下：假设娃已经知道了方程
: 做 3X = 1， 不知所云 （分数的概念还没有）
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p********y
发帖数: 146 | 94 差别很大，一个人聪明与否，基本上与记忆的操作空间(又称工作记忆)直接相关的。
菜场大妈算得多，很多东西不用太多操作，直接从长时记忆中提取，算得快并不是她们
的操作空间大。
【在 p********i 的大作中提到】
: 问题就在于，temporary memory少点儿多点儿，估计也没啥区别
: 算心算的话，我估计大部分人比不上菜市场的卖菜大妈
: 人家那才叫一个快，经常算的我目瞪口呆，我领导瞠目结舌。我偶尔还能follow一下卖
: 菜大妈的思路，领导直接就是晕过去的货
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p********i
发帖数: 2003 | 95 我觉的聪明与否，直接就是基因决定的
后天培养更没有任何用处了
后天的完全是训练，可以训练出技能，但训练不出智商
不过训练一下应付日常工作生活是没有问题的。
不过说实话，我不明白这个操作空间是什么意思。我的主要意思是说四则运算小时候用
什么算法，根本影响不到以后这思维能力那数学能力的发展，不是什么大问题。算的慢
了影响考试成绩倒是真的。
【在 p********y 的大作中提到】
: 差别很大，一个人聪明与否，基本上与记忆的操作空间(又称工作记忆)直接相关的。
: 菜场大妈算得多，很多东西不用太多操作，直接从长时记忆中提取，算得快并不是她们
: 的操作空间大。
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t*******r
发帖数: 22634 | 96 。。。码工不是比算得快啊，码工的工资都是靠搞一个啥自动化东东出来，
搞掉一批简单重复劳力的工作。。。比如说现在还有打字员啥的职位么？
至于工作，看啥工作吧，如果是写code的码工、scientist、surgeon 啥的，
temporary memory 不够的话，至少上班日子过的比较稍微困难一点吧。
当然，人各有长，会玩公司 politics 的搞不好日子混得更滋润。。。
但这并不说明 temporary memory 没有用啊。。。
【在 p********i 的大作中提到】
: 人家temporary memory可能是没码工多，但人家算的还真是不比码工慢
: 而且不止三位数，算上小数点，人家经常算四位数的，我是贼敬佩卖菜大妈
: 我就是觉的吧，小时候这个四则运算用什么方法算，跟以后的各种能力没太大关系
: 是个正常人，训练下，基本都能满足数学在生活工作中的应用要求，没啥问题
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t*******r
发帖数: 22634 | 97 我觉得基因的影响很大，但是我不觉得是基因决定。
老实说，我觉得基因对智力的影响，远比基因对体育的影响，要小得多。
超过这个操作空间的 limit，在写 code 的码工里常见，你看人写算法
到一半，经常是先盯着屏幕看和长考。长考到一般突然拿起笔，随便拿张
纸开始涂鸦，一般就是 temporary memory 不够用了。
但其实写简单算法还好，大点的 temporary memory 也就是能搞得
更快点。问题是在 deep thinking。Deep thinking 这种东西，
模糊性太大，很多东西无法打草稿，只能装在脑子里算。你看人
deep thinking 的时候，都不会去找纸和笔，因为没用，写不下来。
个人觉得，deep thinking 时 temporary memory 和 symbolize
能力太重要了。俺觉得大脑建立复杂结构的图景，就是不断得在
temporary memory 里面思考，然后不断的 symbolize 抽象。
这样很小的 temporary memory 也能装很复杂的结构图景。
【在 p********i 的大作中提到】
: 我觉的聪明与否，直接就是基因决定的
: 后天培养更没有任何用处了
: 后天的完全是训练，可以训练出技能，但训练不出智商
: 不过训练一下应付日常工作生活是没有问题的。
: 不过说实话，我不明白这个操作空间是什么意思。我的主要意思是说四则运算小时候用
: 什么算法，根本影响不到以后这思维能力那数学能力的发展，不是什么大问题。算的慢
: 了影响考试成绩倒是真的。
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p********i
发帖数: 2003 | 98 可是temporary的大小能被小时候一个四则运算的算法影响吗。。。。。。。。
我真心觉的七八岁的小孩怎么算这四则运算，那混合运算，对以后的影响都没多大。。
。。
至于你说的这几个职业，我觉的surgeon要手指灵巧稳定，这个先天决定的程度很大，
其他两个入门级的话，真不需要多聪明，训练下就成了，大部分人都做的了。当然做的
好了哪个都难，也不是小时候就能训练出来的，靠的一是天分，二是长期积累，三是机遇
【在 t*******r 的大作中提到】
: 。。。码工不是比算得快啊，码工的工资都是靠搞一个啥自动化东东出来，
: 搞掉一批简单重复劳力的工作。。。比如说现在还有打字员啥的职位么？
: 至于工作，看啥工作吧，如果是写code的码工、scientist、surgeon 啥的，
: temporary memory 不够的话，至少上班日子过的比较稍微困难一点吧。
: 当然，人各有长，会玩公司 politics 的搞不好日子混得更滋润。。。
: 但这并不说明 temporary memory 没有用啊。。。
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p********i
发帖数: 2003 | 99 我是觉的基因决定智商，但训练有助技巧，努力更是必不可少
我觉的只要能解决问题，拿不拿笔都可以，解决了就成。当然你说的那个什么
temporary memory可能很重要。但我的point是，小时候的四则运算怎么算估计影响不
到这东西。我认识一些人到现在四则运算还慢的要死，经常出错，我看也没耽误他们干
数学干工程干码工
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我觉得基因的影响很大，但是我不觉得是基因决定。
: 老实说，我觉得基因对智力的影响，远比基因对体育的影响，要小得多。
: 超过这个操作空间的 limit，在写 code 的码工里常见，你看人写算法
: 到一半，经常是先盯着屏幕看和长考。长考到一般突然拿起笔，随便拿张
: 纸开始涂鸦，一般就是 temporary memory 不够用了。
: 但其实写简单算法还好，大点的 temporary memory 也就是能搞得
: 更快点。问题是在 deep thinking。Deep thinking 这种东西，
: 模糊性太大，很多东西无法打草稿，只能装在脑子里算。你看人
: deep thinking 的时候，都不会去找纸和笔，因为没用，写不下来。
: 个人觉得，deep thinking 时 temporary memory 和 symbolize
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t*******r
发帖数: 22634 | 100 强调四则运算的技巧，其实无助于 temporary memory 的训练。
因为很多技巧就是试图降低 temporary memory 的使用。不用
小技巧，基本标准办法算，尽可能少打草稿，少做进位退位标记，
才是锻炼。
另外短长度的数没有意义，俺前面说过，标准四则运算算法不是按照
短长度的数优化的。至少要十位数以上的加法，或者五位数以上的乘
法，才能使众多小技巧失效。当然，娃的考试不会考这么长的数，是
因为 assume 家长老师不会吃饱了撑的去找漏洞应付考试，因为四则
运算本身没大用处。数字长度太长打击娃学习积极性。
当然，四则运算也适可而止。训练大脑也不只靠四则运算是吧。而且
俺也不是四则运算扇子。俺只是说，四则运算有其一定的有用性而已。
【在 p********i 的大作中提到】
: 我是觉的基因决定智商，但训练有助技巧，努力更是必不可少
: 我觉的只要能解决问题，拿不拿笔都可以，解决了就成。当然你说的那个什么
: temporary memory可能很重要。但我的point是，小时候的四则运算怎么算估计影响不
: 到这东西。我认识一些人到现在四则运算还慢的要死，经常出错，我看也没耽误他们干
: 数学干工程干码工
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s**********y
发帖数: 509 | 101 高斯是才华横溢的代表。
波尔， 据说反应奇慢。 谈话中， 所有人都明白了， 他还不明白。 但他的理解最终
总是对的。
李政道， 也是据说， 年轻时在Columbia， 别人做seminar讲不了三句话， 李就会在
其中找到问题， 然后一直问下去知道seminar结束。
智力因素应该只是人生很小的一部分。
这楼歪的。。。
【在 p********i 的大作中提到】
: 我是觉的基因决定智商，但训练有助技巧，努力更是必不可少
: 我觉的只要能解决问题，拿不拿笔都可以，解决了就成。当然你说的那个什么
: temporary memory可能很重要。但我的point是，小时候的四则运算怎么算估计影响不
: 到这东西。我认识一些人到现在四则运算还慢的要死，经常出错，我看也没耽误他们干
: 数学干工程干码工
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a*****g
发帖数: 19398 | 102 平时都是三句话就要歪了
现在才歪已经不是豆腐渣工程了
【在 s**********y 的大作中提到】
: 高斯是才华横溢的代表。
: 波尔， 据说反应奇慢。 谈话中， 所有人都明白了， 他还不明白。 但他的理解最终
: 总是对的。
: 李政道， 也是据说， 年轻时在Columbia， 别人做seminar讲不了三句话， 李就会在
: 其中找到问题， 然后一直问下去知道seminar结束。
: 智力因素应该只是人生很小的一部分。
: 这楼歪的。。。
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p********i
发帖数: 2003 | 103 奥，这个意思，明白了
我就是觉的小时候这个算法好那个算法不好，其实无关大局，以后努力训练下，大家都
有饭吃，所以对小朋友们没必要那么细致的用这个算法不用那个算法
【在 t*******r 的大作中提到】
: 强调四则运算的技巧，其实无助于 temporary memory 的训练。
: 因为很多技巧就是试图降低 temporary memory 的使用。不用
: 小技巧，基本标准办法算，尽可能少打草稿，少做进位退位标记，
: 才是锻炼。
: 另外短长度的数没有意义，俺前面说过，标准四则运算算法不是按照
: 短长度的数优化的。至少要十位数以上的加法，或者五位数以上的乘
: 法，才能使众多小技巧失效。当然，娃的考试不会考这么长的数，是
: 因为 assume 家长老师不会吃饱了撑的去找漏洞应付考试，因为四则
: 运算本身没大用处。数字长度太长打击娃学习积极性。
: 当然，四则运算也适可而止。训练大脑也不只靠四则运算是吧。而且
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p********i
发帖数: 2003 | 104 我也觉的智商不占什么大头
计较这个还不如努力锻炼身体，把人际关系搞搞好
不过我相信智商是基因决定的。当然如果有人跟我说智商不是基因决定的，我会挺高兴
的，好歹娃还有翻身的机会
【在 s**********y 的大作中提到】
: 高斯是才华横溢的代表。
: 波尔， 据说反应奇慢。 谈话中， 所有人都明白了， 他还不明白。 但他的理解最终
: 总是对的。
: 李政道， 也是据说， 年轻时在Columbia， 别人做seminar讲不了三句话， 李就会在
: 其中找到问题， 然后一直问下去知道seminar结束。
: 智力因素应该只是人生很小的一部分。
: 这楼歪的。。。
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p********i
发帖数: 2003 | 105 我才发现我竟然进了parenting了
据说我现在应该去nextgeneration，搞半天进错了
【在 a*****g 的大作中提到】
: 平时都是三句话就要歪了
: 现在才歪已经不是豆腐渣工程了
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t*******r
发帖数: 22634 | 106 这点上俺跟你站一边。其实不要说四则运算的小技巧了，就算四则运算本身，
也远远不是最好的训练大脑的办法。随便找个 chess 啥的，对 temporary
memory 和 eye tracking 的运用比破四则运算强太多了。但是这也得看，
有人上 chess 就讲背棋谱，本来对大众就是玩玩训练训练脑子的玩意儿。
一堆棋谱上来，又变成 mapping 了。。。
【在 p********i 的大作中提到】
: 奥，这个意思，明白了
: 我就是觉的小时候这个算法好那个算法不好，其实无关大局，以后努力训练下，大家都
: 有饭吃，所以对小朋友们没必要那么细致的用这个算法不用那个算法
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p********i
发帖数: 2003 | 107 对了，这些词对我都挺陌生的
话说你觉的mapping这东西对工作生活有帮助没有啊
大家都说熟能生巧，是不是这个熟就是mapping阿
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这点上俺跟你站一边。其实不要说四则运算的小技巧了，就算四则运算本身，
: 也远远不是最好的训练大脑的办法。随便找个 chess 啥的，对 temporary
: memory 和 eye tracking 的运用比破四则运算强太多了。但是这也得看，
: 有人上 chess 就讲背棋谱，本来对大众就是玩玩训练训练脑子的玩意儿。
: 一堆棋谱上来，又变成 mapping 了。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 108 我觉得熟能生巧主要是 mapping。temporary memory 和 symbolize 的能力
主要是大脑用来应付 unknown / unplanned，显然这种没法 mapping。
mapping 不是不好，mapping 要用在有用的地方。比如码工背基本算法，
医生背药名解剖图，都是极其有用的 mapping。但是四则运算这个没大用的
东西，mapping 就搞个九九乘法表就差不多了，搞多没意思。chess 也是差
不多，当然啦，立志当职业 chess 高手的另说。。。另外背题海是最最没有
意义的 mapping，当然有时为了考试也是没办法。。。
【在 p********i 的大作中提到】
: 对了，这些词对我都挺陌生的
: 话说你觉的mapping这东西对工作生活有帮助没有啊
: 大家都说熟能生巧，是不是这个熟就是mapping阿
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t*******r
发帖数: 22634 | 109 另外 mapping 不是 neurological 术语，是俺侃大山时随便借用了
一个码工数据结构的术语。。。
【在 p********i 的大作中提到】
: 对了，这些词对我都挺陌生的
: 话说你觉的mapping这东西对工作生活有帮助没有啊
: 大家都说熟能生巧，是不是这个熟就是mapping阿
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p********i
发帖数: 2003 | 110 明白了，解释的真清楚
看来我比小朋友还需要锻炼那个什么temporary memory。一把年纪了，真够累的
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我觉得熟能生巧主要是 mapping。temporary memory 和 symbolize 的能力
: 主要是大脑用来应付 unknown / unplanned，显然这种没法 mapping。
: mapping 不是不好，mapping 要用在有用的地方。比如码工背基本算法，
: 医生背药名解剖图，都是极其有用的 mapping。但是四则运算这个没大用的
: 东西，mapping 就搞个九九乘法表就差不多了，搞多没意思。chess 也是差
: 不多，当然啦，立志当职业 chess 高手的另说。。。另外背题海是最最没有
: 意义的 mapping，当然有时为了考试也是没办法。。。
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s**********y
发帖数: 509 | 111 大家一不小心，楼起的高了。
小结一下吧， 省点时间。
preK： 要推就多 数数 吧。
K-5： 乘法是重点。 乘法从不背九九表开始。 这是我从苏绯云处听来的（一手资料）
。 谁是苏绯云， 各位自google。 她的话就是权威？ 自己判断。
对中式 大量练习 情有独钟的， 上 新加坡math和 kumon
对中式 大量练习 不感冒的， 美式教育自有其内在规律。 跟着走就好了。实在忍不
住， amazon上好书挺多。
对神经生物学有研究的同修重点指出：大量重复练习对大脑发育没有影响。各式速算法
基本靠背。基因决定一切。 对此如有疑问， 向有关部门进一步查询。
中式强调 平面几何， 立体几何， 解析几何，强调演绎 有其历史根源 （见相应
wikipage， 一声叹息）。 这些与近代数学没多大关系。这些与近代数学的应用也没多
大关系。最近中国的大纲也开始改。
美式强调各人选择， 强调与近代数学衔接，强调与应用结合， 不强调在初等数学上大
量练习， 有其显而易见的不足： 基础不稳， 不扎实， 混了半天其实啥也没学到，
花里胡哨的， 微积分都会了（也不真正懂， 一变就不会了）还不会通分， 其实还不
如不学。 有人care， 有人不care，有人觉得糟的很， 有人觉得好的很， 自己选择。
随手翻了一本social science 的小学教科书。It covers: 历史， 地理， 科学和技术
， 宗教， 文化， 政治， 经济。 数学算是属于科学和技术这一支吧。 社会的每一个
分支都有上千年的积累。 都学，学得过来吗？ 都推， 这不浪费生命吗？
结论， 还是那句话： 尊重娃的兴趣，不要失去了学习和探索的乐趣。
此帖从去年讨论到今年， 费砖不少， 我家后院墙总算砌起来了。
祝大家 新年快乐， 娃儿们天天向上。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 寒假在家， 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
: 这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
: 有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
: 对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
: 小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
: 但总的程度 《《 中国小学。
: 6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
: 七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
: 度 》 中国初中一年级。
: 八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
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t*******r
发帖数: 22634 | 112 "数学算是属于科学和技术这一支吧。 社会的每一个分支都有上千年的积累。"
这个说的是大实话。数学也就那么回事，对大多数娃来说，数学的重要性
远远不如泛读的重要性。当然，泛读选 fiction 还是 non-fiction 为
重点，看自己的发展方向了。
但是对于：“preK： 要推就多 数数 吧。K-5： 乘法是重点。”
这个把数学当成算术了。。。其实娃小时候要学的数学，远远不止算术
教科书上的东西。读课外书/与数学有关的课外活动，更重要吧。。。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 大家一不小心，楼起的高了。
: 小结一下吧， 省点时间。
: preK： 要推就多 数数 吧。
: K-5： 乘法是重点。 乘法从不背九九表开始。 这是我从苏绯云处听来的（一手资料）
: 。 谁是苏绯云， 各位自google。 她的话就是权威？ 自己判断。
: 对中式 大量练习 情有独钟的， 上 新加坡math和 kumon
: 对中式 大量练习 不感冒的， 美式教育自有其内在规律。 跟着走就好了。实在忍不
: 住， amazon上好书挺多。
: 对神经生物学有研究的同修重点指出：大量重复练习对大脑发育没有影响。各式速算法
: 基本靠背。基因决定一切。 对此如有疑问， 向有关部门进一步查询。
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i******m
发帖数: 2591 | 113 明白你的意思了，多谢指点！
【在 s**********y 的大作中提到】
: 个人意见， 我不主张教。 另外， 我觉得， 教了也没用。
: 怎没办？ 你可以降低你的expectation.
: 举例： 娃做 一元一次方程： 2/3X = 1/2. 不知所云，
: 可以先做 2/3X = 1. 仍不知所云，
: 就可以先做 1/3X = 1， 仍不知所云，
: 仍可以先做 3X = 1， 仍不知所云，
: 还可以先做 3X = 3， 仍不知所云
: 那他/她还没ready 做方程， 应练习四则运算。
: 以下我把以上的方程解释一下：假设娃已经知道了方程
: 做 3X = 1， 不知所云 （分数的概念还没有）
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r***o
发帖数: 1526 | 114 早点接触有啥好的，基础没打好，学的越多脑子越乱
【在 n****f 的大作中提到】
: 我觉得LZ提到的在中学阶段引进一些国内大学数学才涉及的内容还是有一定积极意义的
: ，至少对一部分学生而言。
: 我们那阵子，高中第三年基本就是作题，为高考作准备，不学任何新东西。现在可能更
: 有过之而不及，据前一阵来访的两个中学同学说，他们的女儿，初中已经是这样，初一
: 初二就把要学的囫囵吞枣学完了，初三就是作题。 两口子现在都是大学教授，对招进
: 来的新生素质十分不满，认为题海战术毁了很多人，很多高分学生能力十分有限。
: 我本人的感受是，中学数学和高等数学完全是两回事。很多中学数学很好的，学习大学
: 数学一开始非常吃力，完全是不同的思维方法，大学老师也不会象中学老师那么循循善
: 诱，进度也很快。不知道是我们大学要求比较高我们的老师比较偏学术，我记得除了极
: 少部分人， 大部分人学数学分析都挺费力的(由于学校排名和专业都不错，我的同学大
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D*****e
发帖数: 761 | 115 这也是我想请教的问题。
至少我觉得lz没有任何在美国和普通大学生群体接触的经历。
那真真是让人吐血啊！
【在 a*****g 的大作中提到】
: 我觉得这些观点里面的涉及面很广，但是问题也非常多
: 斗胆想问问你的专业背景
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a*****g
发帖数: 19398 | 116 战略上各种方法都有道理
可是实际上操作起来的时候，
教师、教学方法、教材、学生情况等等因素都掺杂进去，
那结果就是千差万别了。
【在 r***o 的大作中提到】
: 早点接触有啥好的，基础没打好，学的越多脑子越乱
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s**********y
发帖数: 509 | 117 不必请教。
看你怎么定义 "普通".
我有个毛病： 打篮球， 爱更霍金比， 学科学， 爱更乔丹比。 我比他们强多了， 他
们差的不知道到哪去了。
不知楼主读书时， 有没有聪明的美国同学。 工作时有没有聪明的美国同事。 教书时
， 有没有聪明的美国学生。
【在 D*****e 的大作中提到】
: 这也是我想请教的问题。
: 至少我觉得lz没有任何在美国和普通大学生群体接触的经历。
: 那真真是让人吐血啊！
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d****h
发帖数: 4291 | 118 八年级这个比较合理
能把数学引入正途，也就是将来继续教育需要用的着数学的话，这个很有用
不像中国的学了半天，要是大学高数再糊弄过去的
那就永远停留在四则混合运算的悲催水平了
【在 s**********y 的大作中提到】
: 寒假在家， 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
: 这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
: 有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
: 对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
: 小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
: 但总的程度 《《 中国小学。
: 6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
: 七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
: 度 》 中国初中一年级。
: 八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
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d****h
发帖数: 4291 | 119 中式强调 平面几何， 立体几何， 解析几何，强调演绎 有其历史根源 （见相应
wikipage， 一声叹息）。 这些与近代数学没多大关系。这些与近代数学的应用也没多
大关系。最近中国的大纲也开始改。
这些就是浪费老细胞的垃圾教育，把数学引入歧途
平面几何，立体几何，解析几何，以及三角函数这些复杂的中学计算现在回想起来就是
一坨屎。 |
b**********d
发帖数: 419 | 120 I have the same feeling, all those are not useful and yet kids spend lots
of efforts on them.
But can you tell us some thing that is useful to teach the kids?
【在 d****h 的大作中提到】
: 中式强调 平面几何， 立体几何， 解析几何，强调演绎 有其历史根源 （见相应
: wikipage， 一声叹息）。 这些与近代数学没多大关系。这些与近代数学的应用也没多
: 大关系。最近中国的大纲也开始改。
: 这些就是浪费老细胞的垃圾教育，把数学引入歧途
: 平面几何，立体几何，解析几何，以及三角函数这些复杂的中学计算现在回想起来就是
: 一坨屎。
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d****h
发帖数: 4291 | 121 我觉得，学数学，一定要引入现代数学的思想
否则，做再多平面几何，立体几何的证明题，做再多三角函数的演算，做再多解析几何
的计算。最后还是停留在四则混合运算的水准
一点数学思想都没有，很难深入到任何一个需要用到数学的自然科学领域
【在 b**********d 的大作中提到】
: I have the same feeling, all those are not useful and yet kids spend lots
: of efforts on them.
: But can you tell us some thing that is useful to teach the kids?
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t*******r
发帖数: 22634 | 122 其实俺一直觉得古代数学思想本质上跟现代数学思想并不矛盾。比如阿拉伯数字
和四则运算蕴含现代符号运算或者图灵机啥机机的思想，分数到实数蕴含泰勒展开
一直到有限元或者非线性编程优化的思想，平面几何和立体几何蕴含现代图论的思想，
立体几何还蕴含现代高维空间的思想，解析几何蕴含函数/场论/微积分/曲率空间的
思想，等等等等。当然，搞那么多重复练习的古代数学题海有没有意义，另说。
不过看了讨论让俺明白了一点，这玩意儿关键点还是在于“兴趣”两字。如果没有兴趣
的话，“蕴含”就是屎！！的确不如直接灌输现代数学思想。理解要执行，不理解反正
也照搬执行也就是了。至少不会跑出“数学就是数学，跟物理/工程/计算机没啥关系
的调调。。。”。
【在 d****h 的大作中提到】
: 我觉得，学数学，一定要引入现代数学的思想
: 否则，做再多平面几何，立体几何的证明题，做再多三角函数的演算，做再多解析几何
: 的计算。最后还是停留在四则混合运算的水准
: 一点数学思想都没有，很难深入到任何一个需要用到数学的自然科学领域
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b**********d
发帖数: 419 | 123 分数到实数蕴含泰勒展开一直到有限元或者非线性编程优化的思想，解析几何蕴含函数
/场论/微积分/曲率空间的思想，等等等等...
I do not see how you can link those together. Maybe in the deep level, just
like the universe can be represented using several equations. But for most
people, study one thing does not mean they can understand another.
【在 t*******r 的大作中提到】
: 其实俺一直觉得古代数学思想本质上跟现代数学思想并不矛盾。比如阿拉伯数字
: 和四则运算蕴含现代符号运算或者图灵机啥机机的思想，分数到实数蕴含泰勒展开
: 一直到有限元或者非线性编程优化的思想，平面几何和立体几何蕴含现代图论的思想，
: 立体几何还蕴含现代高维空间的思想，解析几何蕴含函数/场论/微积分/曲率空间的
: 思想，等等等等。当然，搞那么多重复练习的古代数学题海有没有意义，另说。
: 不过看了讨论让俺明白了一点，这玩意儿关键点还是在于“兴趣”两字。如果没有兴趣
: 的话，“蕴含”就是屎！！的确不如直接灌输现代数学思想。理解要执行，不理解反正
: 也照搬执行也就是了。至少不会跑出“数学就是数学，跟物理/工程/计算机没啥关系
: 的调调。。。”。
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b********t
发帖数: 5261 | 124 我也是觉得，思想的速度和深度有时候是不成正比的，可是大部分工作其实要求的是速
度，也就是中国教育方法教的东西，而美国教育方法对思想有深度的人是有好处的，但
是这种人很少，社会对这种人的需求也没那么多。就好象你让爱因斯坦面试码工，不一
定能找到工作。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 高斯是才华横溢的代表。
: 波尔， 据说反应奇慢。 谈话中， 所有人都明白了， 他还不明白。 但他的理解最终
: 总是对的。
: 李政道， 也是据说， 年轻时在Columbia， 别人做seminar讲不了三句话， 李就会在
: 其中找到问题， 然后一直问下去知道seminar结束。
: 智力因素应该只是人生很小的一部分。
: 这楼歪的。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 125 实数里的无理数是无限不循环小数，实际上从某个分数开始以指数级别收敛速度的
无限展开搞出来的。从这个角度讲，还是有点像像泰勒展开的。。。
平面解析几何里，随便举个比如计算某个三角形面积，其实际也就是曲线下面积
（直线是曲线的特例），函数和积分都有了。。。
不过上面那些联系是有点牵强有点隐晦，也就是你说的 deep level 吧。。。
这个词不错。。。
just
【在 b**********d 的大作中提到】
: 分数到实数蕴含泰勒展开一直到有限元或者非线性编程优化的思想，解析几何蕴含函数
: /场论/微积分/曲率空间的思想，等等等等...
: I do not see how you can link those together. Maybe in the deep level, just
: like the universe can be represented using several equations. But for most
: people, study one thing does not mean they can understand another.
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t*******r
发帖数: 22634 | 126 这个要看跟啥比，要是跟考试/竞赛/面试比，码工的大部分项目要求的绝对是深度
而不是速度。考试/面试，任何一道题，五分钟拿不出方案来，死菜。竞赛的话，
十五分钟拿不出方案，也是死菜。但是写代码的码工的稍微正式一点的大点的项目，
如果老板给了项目后立马说，你你你，你半小时给我写个设计方案出来，
#@￥……T$#%￥@#￥@#%@。。。当然，如果客户实在是火烧眉毛外加屁股毛都
烧掉了的情况，另说。。。
【在 b********t 的大作中提到】
: 我也是觉得，思想的速度和深度有时候是不成正比的，可是大部分工作其实要求的是速
: 度，也就是中国教育方法教的东西，而美国教育方法对思想有深度的人是有好处的，但
: 是这种人很少，社会对这种人的需求也没那么多。就好象你让爱因斯坦面试码工，不一
: 定能找到工作。
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l*****u
发帖数: 3918 | 127 什么是现代数学的思想？
【在 d****h 的大作中提到】
: 我觉得，学数学，一定要引入现代数学的思想
: 否则，做再多平面几何，立体几何的证明题，做再多三角函数的演算，做再多解析几何
: 的计算。最后还是停留在四则混合运算的水准
: 一点数学思想都没有，很难深入到任何一个需要用到数学的自然科学领域
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M*********e
发帖数: 1988 | 128 个人有不同意见，平面几何是我最爱的初等数学，简洁优美，高等数学研究中最终也很
多时候追求的是elegance。很多东西不能用有没有用来衡量。
【在 d****h 的大作中提到】
: 中式强调 平面几何， 立体几何， 解析几何，强调演绎 有其历史根源 （见相应
: wikipage， 一声叹息）。 这些与近代数学没多大关系。这些与近代数学的应用也没多
: 大关系。最近中国的大纲也开始改。
: 这些就是浪费老细胞的垃圾教育，把数学引入歧途
: 平面几何，立体几何，解析几何，以及三角函数这些复杂的中学计算现在回想起来就是
: 一坨屎。
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