n********h
发帖数: 13135 | 1 到底有没有看过COMMON CORE 的教材？我家娃的教材和作业，我每页都看过，题量至少
不多。厚度是以前书的几倍。唯一的不同，就是要写很多过程，包括很傻的过程。举个
例子，多位加法之类，先画圈，画个一两页的圈做几道题，然后让你用竖式之类的快捷
方法， 再做个一两页。最后，不要求方法，再做个一两页的题。
还有夸COMMON CORE 好的，可以看看COMMON CORE 用啥方法教负数，和方程运算的。然
后谈谈感想。 |
t*******r
发帖数: 22634 | 2 俺娃学负数的时候没赶上 common core，不过这玩意儿 common core 不一定
靠谱，或者就算靠谱小学老师也不一定能执行下去。。。
但俺知道 NCLB 时代的小学生负数教学是啥问题。。。问题就在于，那时代，
负数的教学，基本上仅仅使用数轴表示。。。但数轴表示本质上无法说明/证明
负数的乘法规则的合理性，娃基本只能不明不白的基础上死记乘法规则。。。
但这个是方显俺的英雄本色的时候哈哈哈。。。在 NCLB 时代小学数学的基础上，
俺增加了用虚拟的 “球” 和 “洞”（允许在真空中挖一个“洞”）的表示，以及
“球” “洞” 相互湮没 / 无中生有 的模型，还配置一个虚拟天平，最后上乘法对
加法的分配率这种大杀器，直接无差别型地毯式轰炸。。。我觉得效果还行。。。
虽然普通娃最终还是要死记负数乘法的规则的，但有点感觉 vs 一点感觉都没有，
还是有不少差别的。。。
当然，我目前还不寄希望 common core 搞这种表示。。。
【在 n********h 的大作中提到】
: 到底有没有看过COMMON CORE 的教材？我家娃的教材和作业，我每页都看过，题量至少
: 不多。厚度是以前书的几倍。唯一的不同，就是要写很多过程，包括很傻的过程。举个
: 例子，多位加法之类，先画圈，画个一两页的圈做几道题，然后让你用竖式之类的快捷
: 方法， 再做个一两页。最后，不要求方法，再做个一两页的题。
: 还有夸COMMON CORE 好的，可以看看COMMON CORE 用啥方法教负数，和方程运算的。然
: 后谈谈感想。
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n********h
发帖数: 13135 | 3 负数乘法应该是a+(-1)a=0 得来的。当然前提是你承认0-a=0. Common core好像还真生
搞个表示。但是并不比生记规则容易记住
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺娃学负数的时候没赶上 common core，不过这玩意儿 common core 不一定
: 靠谱，或者就算靠谱小学老师也不一定能执行下去。。。
: 但俺知道 NCLB 时代的小学生负数教学是啥问题。。。问题就在于，那时代，
: 负数的教学，基本上仅仅使用数轴表示。。。但数轴表示本质上无法说明/证明
: 负数的乘法规则的合理性，娃基本只能不明不白的基础上死记乘法规则。。。
: 但这个是方显俺的英雄本色的时候哈哈哈。。。在 NCLB 时代小学数学的基础上，
: 俺增加了用虚拟的 “球” 和 “洞”（允许在真空中挖一个“洞”）的表示，以及
: “球” “洞” 相互湮没 / 无中生有 的模型，还配置一个虚拟天平，最后上乘法对
: 加法的分配率这种大杀器，直接无差别型地毯式轰炸。。。我觉得效果还行。。。
: 虽然普通娃最终还是要死记负数乘法的规则的，但有点感觉 vs 一点感觉都没有，
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t*******r
发帖数: 22634 | 4 我很实在的说，每个娃不一样，所以对 “容易” 的定义也不一样。。。
比如 spatial thinker vs verbal thinker。。。
这个本质上不是记忆规则的问题，而是 “法兰西是培根” 的问题。。。
你就算知道 “法兰西不是培根”，你还是得去记忆 “法兰西 培根”
这个人名。。。当然，不是所有娃最终都会在乎 “法兰西是不是培根”，
但是只要有娃在乎，那说明一下总是好的。。。
另外你的证明不是证明。。。不过这个我不花力气了，你自己去找各种
基于分配率的证明好了。。。
【在 n********h 的大作中提到】
: 负数乘法应该是a+(-1)a=0 得来的。当然前提是你承认0-a=0. Common core好像还真生
: 搞个表示。但是并不比生记规则容易记住
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n********h
发帖数: 13135 | 5 这个证明就是基于分配率的啊。当然这只是个开头，剩下的应该能自己推出来
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我很实在的说，每个娃不一样，所以对 “容易” 的定义也不一样。。。
: 比如 spatial thinker vs verbal thinker。。。
: 这个本质上不是记忆规则的问题，而是 “法兰西是培根” 的问题。。。
: 你就算知道 “法兰西不是培根”，你还是得去记忆 “法兰西 培根”
: 这个人名。。。当然，不是所有娃最终都会在乎 “法兰西是不是培根”，
: 但是只要有娃在乎，那说明一下总是好的。。。
: 另外你的证明不是证明。。。不过这个我不花力气了，你自己去找各种
: 基于分配率的证明好了。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 6 你这个是利用二义性的伪证。。。你有这时间灌水，还不如去 Google 一下比如
negation operator vs multiply negative one 之类的关键词。。。
【在 n********h 的大作中提到】
: 这个证明就是基于分配率的啊。当然这只是个开头，剩下的应该能自己推出来
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p**s
发帖数: 2707 | 7 严格说，应该是a*b+(-a)*b=0，利用负数的定义和唯一性得到(-a)*b=-(a*b)
【在 n********h 的大作中提到】
: 这个证明就是基于分配率的啊。当然这只是个开头，剩下的应该能自己推出来
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t*******r
发帖数: 22634 | 8 属实。
其实负数与正数的乘积是负数，在目前的常用的算术系统里，也需要证明的。
不用证明的是 additive identity 0，multiplicative identify 1 之类的，好比公理。
当然普通娃不需要全理解，这玩意儿 spiral 一下有关大致概念就可以了。。。
另外 coolmath.com 和 mathisfun.com上有这些 property 的娃版解释。。。
【在 p**s 的大作中提到】
: 严格说，应该是a*b+(-a)*b=0，利用负数的定义和唯一性得到(-a)*b=-(a*b)
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t*******r
发帖数: 22634 | 9 更仔细的解释是，设 a > 0, b>0
a*b + (-a)*b
= (a + (-a))*b
= 0*b
= 0
(-a)*b + (-a)*(-b)
= (-a)*(b + (-b))
= (-a)*0
= 0
【在 p**s 的大作中提到】
: 严格说，应该是a*b+(-a)*b=0，利用负数的定义和唯一性得到(-a)*b=-(a*b)
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p**s
发帖数: 2707 | 10 不需要定义>
【在 t*******r 的大作中提到】
: 更仔细的解释是，设 a > 0, b>0
: a*b + (-a)*b
: = (a + (-a))*b
: = 0*b
: = 0
: (-a)*b + (-a)*(-b)
: = (-a)*(b + (-b))
: = (-a)*0
: = 0
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t*******r
发帖数: 22634 | 11 对于中小学初等代数不需要那个大于零，因为进入代数的前提是整个实数集合已经定义。
但对四年级的普通娃算术，那个还是要定义。。。因为四年级普通班，是从自然数和零
开始，开始扩展到负整数。。。也就是说，是第一次定义负整数。。。所以那个实质上
不是代数，而是伪装的 formal logics。。。打个不恰当的比方，好比是 Yacc 或者
BNF 从当前已经定义的符号为基础，定义新的符号，而扩展当前的符号系统。。。
AoPS 在这点上其实表达得不是很清楚。。。
【在 p**s 的大作中提到】
: 不需要定义>
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n********h
发帖数: 13135 | 12 我那个是证明(-1)a=-a. 对于（-a)b可以写成(-1)ab然后就能得出-ab. 证明-1的擦色
，剩下的可以在这基础上证明
【在 p**s 的大作中提到】
: 严格说，应该是a*b+(-a)*b=0，利用负数的定义和唯一性得到(-a)*b=-(a*b)
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t*******r
发帖数: 22634 | 13 Google 一下很难么？
【在 n********h 的大作中提到】
: 我那个是证明(-1)a=-a. 对于（-a)b可以写成(-1)ab然后就能得出-ab. 证明-1的擦色
: ，剩下的可以在这基础上证明
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n********h
发帖数: 13135 | 14 你的问题的抓不住关键，太多的细节末节。我说的是证明的关键，有了这个剩下的很容
易推导。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 你这个是利用二义性的伪证。。。你有这时间灌水，还不如去 Google 一下比如
: negation operator vs multiply negative one 之类的关键词。。。
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n********h
发帖数: 13135 | 15 我不需要Google也能证出来。你Google来的东西如果自己不消化一下，就照搬给孩子，
孩子也不容易明白
【在 t*******r 的大作中提到】
: Google 一下很难么？
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t*******r
发帖数: 22634 | 16 负数的唯一性，是基于 零 这个 additive identify 破玩意儿的唯一性。。。零的唯
一性是公理，是基于空集(娃版“真空”)的唯一性。。。空集唯一性公理的选择，是基
于 simplistic modelling (occam's razor) 的数理哲学思想。。。所以这最终归结成
娃版 cosmology，the fabric of our cosmos。。。所以我说了很多次小学算术其实是
小学娃版 cosmology。。。
当然，俺不指望小学普通娃能理解上面这些。。。搞成京片子出租车司机茶话会就足够
了。。。中南海以后再说。。。
【在 p**s 的大作中提到】
: 严格说，应该是a*b+(-a)*b=0，利用负数的定义和唯一性得到(-a)*b=-(a*b)
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t*******r
发帖数: 22634 | 17 我在想罗素这哥们最近是不是又光拿钱但不干活？
【在 n********h 的大作中提到】
: 我不需要Google也能证出来。你Google来的东西如果自己不消化一下，就照搬给孩子，
: 孩子也不容易明白
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t*******r
发帖数: 22634 | 18 你不是马工说实话也不需要纠结这些。。。从数理哲学 simplistic modelling (occam
's razor) 的角度，这个既然是对你而言的 simplistic modelling，你 just take it
就是了。。。
但另一方面，小学数学不是为某一家量身定制的，所以还是要兼顾不同娃的不同需求。
。。
【在 n********h 的大作中提到】
: 你的问题的抓不住关键，太多的细节末节。我说的是证明的关键，有了这个剩下的很容
: 易推导。
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t*******r
发帖数: 22634 | 19 另外认为选择 distributive property 比自然语言的乘法定义更基本，也就是认为“
切蛋糕”背后的空间属性更基本，也还是 娃版 cosmology 和 娃版 simplistic
modelling。
其实自然数定义可以认为是基于时间的 causation 属性。。。因为自然数始于
counting，没有俺们 cosmos 的时间轴就无法 count，或者 胡乱无序 count。。。所
以最终也是娃版 cosmology。。。当然各人可以不同的理解方式，也就是不同的
simplistic modelling。。。 |
t*******r
发帖数: 22634 | 20 另外实数完备性和连续性公理的选择，其实也是背后的娃版 cosmos 时空连续性和无限
可分性。。。当然，这个主要还是数学家不懂 M theory。。。其实无限可分也不用太
纠结了，太纠结钻牛角尖也不实用。。。差不多就行了。。。
所以从娃版 cosmology 角度看，现代数学开盘不错，但后来是基本在钻牛角尖一辈子
钻不出来了。。。远远不如现代信息学实在。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 21 或者从实用主义的角度说，如果你一辈子只需要 eyeball 那些 logics，罗素是不是请
你喝茶都无所谓。。。
但如果哪天要用 YACC 或者其他的随便啥，写无二义语法，让机器去对付 logics。那
如果让一个二义性溜过去的话，破 YACC 死机都不知道死在哪里。。。当然，你也可以
写二十倍的行数，还漫天都是谁的 bug 在飞。。。
其实咋理解数系统都无所谓，将来用个计算器一按就完事了。。。但如果数系统的逻辑
都搞不清，那将来马工理论就只能靠无节操刷题加死记了。。。其实这样也能拿高分的
，只是这样的人生有点小累，有点小无趣。。。
【在 n********h 的大作中提到】
: 我那个是证明(-1)a=-a. 对于（-a)b可以写成(-1)ab然后就能得出-ab. 证明-1的擦色
: ，剩下的可以在这基础上证明
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t*******r
发帖数: 22634 | 22 好吧我给你指出一下，你这个问题的确是 math explanation 不够清楚的问题。。。假
设 a > 0，现在扩展数系统到负数，那如果你这么写：
a + (-a) = 0
这个是负数定义。
--------------------------------
如果你这么写
1*a + (-1)*a
= (1 + (-1))*a
= 0*a
= 0
两边减去 a，得：
(-1)*a = (-a)
这个是负乘正得负的证明。
另外我刚才查了一下这个证明是 Common Core 数学慢班七年级要求。。。
【在 n********h 的大作中提到】
: 负数乘法应该是a+(-1)a=0 得来的。当然前提是你承认0-a=0. Common core好像还真生
: 搞个表示。但是并不比生记规则容易记住
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t*******r
发帖数: 22634 | 23 你的问题是不能 explain math clearly and coherently。。。你这么写多半要 fail
掉 common core 七年级数学慢班的要求。
另外零乘以任何数得零。。。如果要求是混过去的话，你得说是基于 zero's
multiplicative property。。。如果要求高点的话，那也得从更基本的 zero is
additive identity 和 distributive property 来证明，比如这么写：
additive identity 的定义:
1 + 0 = 1
两边乘以 a:
a*(1 + 0) = a*1
用 distributive property
a*1 + a*0 = a*1
这里如果上严格版，按 additive identity 的定义和唯一性，得出 a*0 = 0。。。或
者上不严格之娃版通俗版的话，两边减去 a*1。
【在 n********h 的大作中提到】
: 你的问题的抓不住关键，太多的细节末节。我说的是证明的关键，有了这个剩下的很容
: 易推导。
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t*******r
发帖数: 22634 | 24 其实我是回帖不看帖，外加你写的太简略，还网上不写乘号。。。我明白你这个证明是
通过 -1，大名词的说法是 additive inverse of multiplicative identity。。。
不过这个估计你真的是 Google 的，而不是实战教娃总结的。。。因为你这个是纯代数
证明。。。而算术阶段开始学习负数的普通娃，首先的问题是 (-3)*(-5) 结果是 +15
还是 -15 的问题，至少蒙也得蒙对个八九不离十。。。这个阶段的娃，才不会去啥 -1
、a、b 那边兜个大圈子还符号运算提取负一外加 n 步的证明。。。这阶段思维幼稚的
娃最多也就是观察一下:
(-3)*(-5) + 3*(-5)
= ((-3) + 3)*(-5)
= 0
所以合理猜测 (-3)*(-5) = +15
就这样还不一定娃就接受，还得用球和洞的模型比喻一番。。。说白了，这阶段的普通
娃，就这德行。。。如果真能从你那个 -1 、a、b 这么转一大圈回来还能脑瓜清楚的
话，那就直接上 Algebra I 了，还纠结个啥负负得正的问题。。。
【在 n********h 的大作中提到】
: 我那个是证明(-1)a=-a. 对于（-a)b可以写成(-1)ab然后就能得出-ab. 证明-1的擦色
: ，剩下的可以在这基础上证明
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t*******r
发帖数: 22634 | 25 俺以前教娃只是为了帮助兴趣，现在看来 common core 六年级七年级的数学慢班，的
确有此类数系统逻辑理解的要求。
哈哈，看来俺娃四年级时，俺凭直觉本能的歪打正着，居然搞对了 Common Core 的大
方向。。。不过现在看来得当正式要求抓了，不能再糊弄过去了。。。
不过这个也说明，用提取负一这种代数系统纯符号演绎的搞法根本不靠谱。。。七年级
数学慢班娃，根本不会啥代数系统符号演绎的说。。。跟俺争论的多半是小学低年级娃
的家长。。。
http://www.corestandards.org/Math/Content/7/NS/A/2/a/
http://www.corestandards.org/Math/Content/NS/
CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.2.A
Understand that multiplication is extended from fractions to rational
numbers by requiring that operations continue to satisfy the properties of
operations, particularly the distributive property, leading to products such
as (-1)(-1) = 1 and the rules for multiplying signed numbers. Interpret
products of rational numbers by describing real-world contexts. |
t*******r
发帖数: 22634 | 26 七年级数学慢班得搞清 additive inverse 和 subtraction 的关系
http://www.corestandards.org/Math/Content/7/NS/A/1/c/
Understand subtraction of rational numbers as adding the additive inverse, p
– q = p + (-q). Show that the distance between two rational numbers on the
number line is the absolute value of their difference, and apply this
principle in real-world contexts. |
t*******r
发帖数: 22634 | 27 查了一下，竖式按序计算和最大公约数啥的，在六年级数学慢班要求熟练掌握。。。小
娃家长们别纠结了。。。
Compute fluently with multi-digit numbers and find common factors and
multiples.
CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.2
Fluently divide multi-digit numbers using the standard algorithm.
CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.3
Fluently add, subtract, multiply, and divide multi-digit decimals using the
standard algorithm for each operation.
CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4
Find the greatest common factor of two whole numbers less than or equal to
100 and the least common multiple of two whole numbers less than or equal to
12. Use the distributive property to express a sum of two whole numbers 1-
100 with a common factor as a multiple of a sum of two whole numbers with no
common factor. For example, express 36 + 8 as 4 (9 + 2).. |
t*******r
发帖数: 22634 | 28 高中数学慢班要求理解有理数指数的证明，还有有理数和无理数加法乘法的问题：
http://www.corestandards.org/Math/Content/HSN/RN/
Extend the properties of exponents to rational exponents.
CCSS.MATH.CONTENT.HSN.RN.A.1
Explain how the definition of the meaning of rational exponents follows from
extending the properties of integer exponents to those values, allowing for
a notation for radicals in terms of rational exponents. For example, we
define 5^(1/3) to be the cube root of 5 because we want (5 ^ (1/3)) ^3 = 5 ^
((
1/3)*3) to hold, so (5 ^ (1/3))^3 must equal 5.
CCSS.MATH.CONTENT.HSN.RN.A.2
Rewrite expressions involving radicals and rational exponents using the
properties of exponents.
Use properties of rational and irrational numbers.
CCSS.MATH.CONTENT.HSN.RN.B.3
Explain why the sum or product of two rational numbers is rational; that the
sum of a rational number and an irrational number is irrational; and that
the product of a nonzero rational number and an irrational number is
irrational. |
t*******r
发帖数: 22634 | 29 这讨论还不错，让俺彻底认清了 common core 数学的形势。。。俺原来以为俺搞得太
激进，现在一看，俺保守了。。。
另外中小学数学也不能让数学家来搞。。。这个 common core 数学小学初中数系统部
分，如果给特么数学家无节操往狠里挖的话，估计俺初中能不能毕业都是个问题。。。 |
t*******r
发帖数: 22634 | 30 俺在娃四年级时，先把娃搞昏以后，然后 trick 娃的一个伪证是：
首先：
3*5 = 15
x*5 = 15
观察以上两个式子，可知：
x=3
然后同理：
1*0 = 0
2*0 = 0
观察以上两个式子，可知：
1=2
？？？
不过好久没逗娃这个了，过几天再逗一把。。。 |
