t******l
发帖数: 10908 | 1 为了让本版的档次超过 3×5 的 CCSS math explanation，
俺自告奋勇来从某华罗庚小学扣篮题的角度探讨一下算术思维
vs 代数思维，以及群众喜闻乐见的 Common Core Math
Explanation：
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某华罗庚小学扣篮题的题目如下：
某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面
分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面．
当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在
位置相同时，它们就被看作是同一种积木块．试说明：
最多能涂成多少种不同的积木块？
================================================ |
t******l
发帖数: 10908 | 2 该扣篮题的标准答案如下：（目测属于算术解法）。
（顺便提一句：这解释是不是深得美帝 Common Core Math
在 pre-algebra 阶段的 “Math Explanation ELA 文科化”
的精髓？谁再跟俺说 “Common Core Math ELA” 化只出现在
说英语的国家，我就跟谁急！！！）
=================================================
【解】
总可以使下底面为红色．
如果上底面也是红色，通过翻动，可以使前面为黄色，左面
不是黄色，这时后面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种。
如果上底面不是红色，通过旋转，可以使后面为红色，这时
又分两种情况：
(1)前面与上面同色，可以同为黄色，也可以同为蓝色，有2种。
(2)前面与上面不同色，通过翻动，可以使上面为黄色，前面为
蓝色，这时右面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种。
因此，共可涂成2＋2＋2＝6种不同的积木块。
================================================= |
t******l
发帖数: 10908 | 3 相信上面的 “ELA 文科化 explanation”，把一波人都放晕了吧。
我下面给个 “代数加解析几何” 思维的 explanation。
当然这题是离散问题，所以这个 “代数加解析几何” 思维的实际
implementation, 是 combinatorics on ring structure。
我就上一张图。具体对该图的文字解释我就不写了，把正方体
看成三个环结构，然后旋转环，加固定住，基本就是这回事。
（另外题目的英文翻译，俺搞得不太行，凑合着看）。 |
t******l
发帖数: 10908 | 4 下面的问题是，如果这不是油漆正方体，是油漆个足球。
就是这小破玩意儿，但是上 9 种颜色，每种颜色油漆 3 个面，咋整？ |
t******l
发帖数: 10908 | 5 先拿这个例子讨论群众喜闻乐见的 talent。
如果用上面的 “算术解法” 去解足球，那智商 160 的我不知道。但智商 130 的，
我目测基本解到一半铁杆晕菜。
但如果用上面的 “代数加解析几何” 去解足球，我觉得智商 100 加慢慢画图，就
完事了。智商 105 就可以直接写成算法了。
这里顺便提一下 “天才学校”。那种天才进去天才出来的 “天才学校”，香浓说，
这跟 garbage-in-garbage-out 有多大差别？本质不是一回事么？那种傻子进去
天才出来的，那才是天才学校。
从这个角度说，“代数加解析几何”，才是真正意义的天才学校。智商 100 的进去，
五年后 160+ equivalent 的出来，钢钢的。 |
t******l
发帖数: 10908 | 6 当然有人估计会问，你这个连变量、方程和坐标系啥都没有，也算是 “代数+
解析几何”？
这回到关键的问题，“算术” vs “代数+解析几何”，到底是啥差别？我个人
大胆假设，“算术” 是属于 Concrete Operation 的思维，而 “代数+解析几何”
是属于 Formal Operation 的思维。而其中的 leap，是 Formal-Operation-Friendly
Modelling 和 Formal-Operation-Based Deduction / Induction。
所以如果从上面这个角度看，这里的 “代数” 就变成了 “Decision Tree + Ring
Structure”，这里的 “解析几何” 就变成了 “Transformation Geometry /
Topology”。换汤不换药，属于旧的 formal system 披上了一件新马甲。
我个人觉得就是因为这个，俺两年前就打算教娃这个我画的图（否则我也不会吃饱了
撑的去画张图），结果发现我娃不 ready。我担心把娃教成 pattern recognition
型人肉计算器，所以我果断躺倒放弃，打算等娃学 algebra 到建立基本概念以后再
说这个小学扣篮题。 |
d****g
发帖数: 7460 | 7 我的解法：
第一种情况：两两相对 。1种
第二种情况：蓝蓝相对。绿绿黄黄挨着。3种
第三种情况：都不相对。
第三种情况是一种还是两种，没画图没想明白。回家找了个骰子，画明白了。两种。 |
t******l
发帖数: 10908 | 8 解足球可能有麻烦，油漆三面不好对。
【在 d****g 的大作中提到】
: 我的解法：
: 第一种情况：两两相对 。1种
: 第二种情况：蓝蓝相对。绿绿黄黄挨着。3种
: 第三种情况：都不相对。
: 第三种情况是一种还是两种，没画图没想明白。回家找了个骰子，画明白了。两种。
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d****g
发帖数: 7460 | 9 Eat me! 脑汁绞尽了。
【在 t******l 的大作中提到】
: 解足球可能有麻烦，油漆三面不好对。
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t******l
发帖数: 10908 | 10 或者从刷试管的角度打比方，可能更容易理解：
算术思维 / Concrete Operation，就好比 “无机物简单分子/晶格”。
而 “代数+解析几何”思维 / Formal Operation，就好比 “有机物大分子”。
其中最最本质的区别，是有机物大分子可以只需要很少几种原子（当然，一定要
有碳基！！！），形成无比复杂的大分子结构，产生无比复杂的功能，直至生命
到智慧生命。
而 “无机物简单分子/晶格”，要复杂只能上不同种类的原子。无奈门捷列夫这个
偷懒的主儿，元素周期表撑死也就一百多种稳定原子。剩下的 decay 的速度比
眨眼还快，球用。 |
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|
t******l
发帖数: 10908 | 11 从这个角度看，common core 的 ELA 型 math explanation，在 pre-algebra
阶段，我觉得有一个可以商榷的地方在于：
虽然有机大分子是从无机小分子形成的，但是过于狠搞无机分子，把无机分子
搞牛搞大，是不是更有利于搞出有机大分子的问题。
或者从 De Beers 的角度简单的说，你搞出一太阳系尺寸的大号钻石，里面
能不能爬出个草履虫出来的问题。
【在 t******l 的大作中提到】
: 或者从刷试管的角度打比方，可能更容易理解：
: 算术思维 / Concrete Operation，就好比 “无机物简单分子/晶格”。
: 而 “代数+解析几何”思维 / Formal Operation，就好比 “有机物大分子”。
: 其中最最本质的区别，是有机物大分子可以只需要很少几种原子（当然，一定要
: 有碳基！！！），形成无比复杂的大分子结构，产生无比复杂的功能，直至生命
: 到智慧生命。
: 而 “无机物简单分子/晶格”，要复杂只能上不同种类的原子。无奈门捷列夫这个
: 偷懒的主儿，元素周期表撑死也就一百多种稳定原子。剩下的 decay 的速度比
: 眨眼还快，球用。
|
t******l
发帖数: 10908 | 12 或者从憋屈奶爸的角度打比方，也可能更容易理解：
算术思维 / Concrete Operation，就好比小小娃还不会说话时的 “手势语言”，
很难组合成复杂意思。如果要用小小娃手势语言表达一个：“去 StarBuck 买
一杯 double chocolate chip frappuccino，记得不要用 milk，用 infant
formula 代替 milk”。OK，估计大眼瞪小眼的都要疯。
而 “代数+解析几何”思维 / Formal Operation，就好比小小娃会说话了。虽然
speaking language 本质上也就是一些有限的元音辅音声调，但能组合成无比复
杂的词法句法结构，所以表达上面的意思毫无压力。
（当然数学本质是高维拓扑空间结构的复杂度，语言词法句法本质上还是一维线性
结构）。
当然现在的问题还是，虽然跟小小娃的交流，总是从 “手势语言” 过渡到 “牙牙
学语”，但把手势语言搞成无比复杂高级，是不是有利于 “牙牙学语” 的问题。 |
C*****d
发帖数: 2253 | 13 我就想知道你这12个面的足球是咋整出来的。
【在 t******l 的大作中提到】
: 下面的问题是，如果这不是油漆正方体，是油漆个足球。
: 就是这小破玩意儿，但是上 9 种颜色，每种颜色油漆 3 个面，咋整？
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o***g
发帖数: 2784 | 14 你想说啥？哪个比哪个更高级？更好？还是适用范围更广？
【在 t******l 的大作中提到】
: 为了让本版的档次超过 3×5 的 CCSS math explanation，
: 俺自告奋勇来从某华罗庚小学扣篮题的角度探讨一下算术思维
: vs 代数思维，以及群众喜闻乐见的 Common Core Math
: Explanation：
: ================================================
: 某华罗庚小学扣篮题的题目如下：
: 某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面
: 分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面．
: 当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在
: 位置相同时，它们就被看作是同一种积木块．试说明：
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t******l
发帖数: 10908 | 15 其实我没有真正算过，太忙。我就简略写一下最最愚笨的办法的思路：
首先漆一块红色，转到底部，分两种情况：
（1）红色漆在六角形上，剩下红色可以在六角也可以在五角。
（2）红色漆在五角形上，剩下的红色只能在五角，不能在六角。
然后对于上面两种情况，漆第二块红色。然后找一个经过两块红色和顶部的
的环，该环把足球切成对称的两半。但如果红色在顶部，漆第三个红色，然后
找经过仨红色把足球切半对称的环。
把该环转到矢状面，把一个红色放在后面
取决于五角六角的位置，该环要么沿两红色到球心的夹角中线对称，
要么不对称。
在该环上漆第三种颜色，同时考虑该环的对称性。。。小娃烦着，
我先发贴出来。
【在 C*****d 的大作中提到】
: 我就想知道你这12个面的足球是咋整出来的。
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t******l
发帖数: 10908 | 16 总之如法炮制，一直到能把足球要么在空间完全固定，要么只能转 180 度。
（对称矢状面环 vs 不对称环）。
然后剩下面编上号，上组合公式。当然别忘对称矢状面环转 180 度对称的情况。
不写了。这笨活主要靠细心。
当然，巧妙的话，如何尽快在空间固定，如果避免过多 decision tree 的分支.
管小娃去了,不浪费时间了.
【在 t******l 的大作中提到】
: 其实我没有真正算过，太忙。我就简略写一下最最愚笨的办法的思路：
: 首先漆一块红色，转到底部，分两种情况：
: （1）红色漆在六角形上，剩下红色可以在六角也可以在五角。
: （2）红色漆在五角形上，剩下的红色只能在五角，不能在六角。
: 然后对于上面两种情况，漆第二块红色。然后找一个经过两块红色和顶部的
: 的环，该环把足球切成对称的两半。但如果红色在顶部，漆第三个红色，然后
: 找经过仨红色把足球切半对称的环。
: 把该环转到矢状面，把一个红色放在后面
: 取决于五角六角的位置，该环要么沿两红色到球心的夹角中线对称，
: 要么不对称。
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t******l
发帖数: 10908 | 17 sorry 漏了仨红色不在一个矢状面对称环的情况。不过其实一样，就是直接产生第二个
环，三点确定对称方式对称轴。
【在 t******l 的大作中提到】
: 总之如法炮制，一直到能把足球要么在空间完全固定，要么只能转 180 度。
: （对称矢状面环 vs 不对称环）。
: 然后剩下面编上号，上组合公式。当然别忘对称矢状面环转 180 度对称的情况。
: 不写了。这笨活主要靠细心。
: 当然，巧妙的话，如何尽快在空间固定，如果避免过多 decision tree 的分支.
: 管小娃去了,不浪费时间了.
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t******l
发帖数: 10908 | 18 另外这种这么对称工整的情况，可以发展数学理论了。不过实践上不如算法思想有用，
因为实践很坑爹的就是有点对称有点不对称，又不工整，老板又要下周出货！！！
【在 t******l 的大作中提到】
: sorry 漏了仨红色不在一个矢状面对称环的情况。不过其实一样，就是直接产生第二个
: 环，三点确定对称方式对称轴。
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t******l
发帖数: 10908 | 19 另外空间固定的时机，愚钝的办法，就等一种颜色用完，这样不同种颜色之间的对称性
属性正交而互不影响。
当然，如果要巧，可能也可以没用完前，在编号排列组合时动手脚。不过没算过也不知
道会不会得不偿失、偷鸡不成蚀把米。只是一个思路。
【在 t******l 的大作中提到】
: 总之如法炮制，一直到能把足球要么在空间完全固定，要么只能转 180 度。
: （对称矢状面环 vs 不对称环）。
: 然后剩下面编上号，上组合公式。当然别忘对称矢状面环转 180 度对称的情况。
: 不写了。这笨活主要靠细心。
: 当然，巧妙的话，如何尽快在空间固定，如果避免过多 decision tree 的分支.
: 管小娃去了,不浪费时间了.
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t******l
发帖数: 10908 | 20 刚才又算错了，应该是 (1 + 5*2) * 2 + 5 = 27 面。
刚才把赤道上的六角给重复算了一遍。
【在 C*****d 的大作中提到】
: 我就想知道你这12个面的足球是咋整出来的。
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t******l
发帖数: 10908 | 21 好吧，我回去把足球扣篮题的数字改改对。
【在 t******l 的大作中提到】
: 刚才又算错了，应该是 (1 + 5*2) * 2 + 5 = 27 面。
: 刚才把赤道上的六角给重复算了一遍。
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t*******d
发帖数: 12895 | 22
为什么？题目没这限制
【在 t******l 的大作中提到】
: 好吧，我回去把足球扣篮题的数字改改对。
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d****g
发帖数: 7460 | 23 黑面一共１２个。。打回原题，四种颜色，每色三面。似乎是个有趣的题目。。
但是非要这么自我折磨吗？
情况一
红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝，绿绿绿，各自成三角形挨着。。。我看挺好看
【在 t*******d 的大作中提到】
:
: 为什么？题目没这限制
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t******l
发帖数: 10908 | 24 BBS 灌水不严格。我题目就是随便写写，应该形状和颜色都要对上，否则按一般
售货员常理也不能说两足球一样不是？
当然数学还是要严格，我回去把题目改改。
【在 t*******d 的大作中提到】
:
: 为什么？题目没这限制
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t*******d
发帖数: 12895 | 25 还是没有解释为什么：头两个红色刷在五角形面，第三个红色不能刷在六角形面
【在 t******l 的大作中提到】
: BBS 灌水不严格。我题目就是随便写写，应该形状和颜色都要对上，否则按一般
: 售货员常理也不能说两足球一样不是？
: 当然数学还是要严格，我回去把题目改改。
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t******l
发帖数: 10908 | 26 欧几里德的大弟子同学您好。
但对于标准 n-polytope combinatroics 一招鲜搞法，如果只漆五角形面的话，
把一个五角形面放底部，另一个五角形面的顶部，当中两层五角形面构成两个环，
每个环是五个五角形面构成。
然后在如法炮制切矢状面的环，因为这个环是拓扑环，所以矢状面环不需要在一个真
正平面上，歪歪扭扭过去，看保证把足球切成对称的两半就行。
另一种办法是 topological modelling 干脆把当中两环的五角形面对准，只
要保证该 topological modelling 跟实际足球的 geometry 是一一对应的，
以及不改变旋转对称属性，就成。这样就可以直接让矢状面环在肉眼的平面上，
画图方便点。
这样一直到（用完某种颜色时）发生旋转固定，或者只能做极其有限的旋转（比如
沿某轴180 度啥的），然后剩下的面编号上排列组合公式。（当然还有可能可以
取巧不等某种颜色全用完）。
【在 d****g 的大作中提到】
: 黑面一共１２个。。打回原题，四种颜色，每色三面。似乎是个有趣的题目。。
: 但是非要这么自我折磨吗？
: 情况一
: 红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝，绿绿绿，各自成三角形挨着。。。我看挺好看
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d****g
发帖数: 7460 | 27 不会新鲜武器。只会算术。。那我静等答案好了。。。
话说这种题有数学意义吗，跟张益唐琢磨的事儿比？
还是有的吧？
【在 t******l 的大作中提到】
: 欧几里德的大弟子同学您好。
: 但对于标准 n-polytope combinatroics 一招鲜搞法，如果只漆五角形面的话，
: 把一个五角形面放底部，另一个五角形面的顶部，当中两层五角形面构成两个环，
: 每个环是五个五角形面构成。
: 然后在如法炮制切矢状面的环，因为这个环是拓扑环，所以矢状面环不需要在一个真
: 正平面上，歪歪扭扭过去，看保证把足球切成对称的两半就行。
: 另一种办法是 topological modelling 干脆把当中两环的五角形面对准，只
: 要保证该 topological modelling 跟实际足球的 geometry 是一一对应的，
: 以及不改变旋转对称属性，就成。这样就可以直接让矢状面环在肉眼的平面上，
: 画图方便点。
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t******l
发帖数: 10908 | 28 可能是我文字写的不规范，有二义让你误解了，我重写一下，这样是不是就没有
二义性了？
==============================================
首先漆第一块红色，转到底部，这时分两种情况：
（1）该第一块红色漆在六角形上。剩下的两块红色没有限制。
（既可以漆在六角形，也可以漆在五角形）。
（2）该第一块红色漆在五角形上。剩下的两块红色限制只能
漆在五角形上，不能在六角形上。
==============================================
【在 t*******d 的大作中提到】
: 还是没有解释为什么：头两个红色刷在五角形面，第三个红色不能刷在六角形面
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t******l
发帖数: 10908 | 29 有意义的话？比如将来某日某刷试管的马工，算算疯牛病的 protein，以汤唯回形针
的柔韧度，能层层折叠出来多少种不同的稳定可传染的让梁朝伟疯癫的姿势？
【在 d****g 的大作中提到】
: 不会新鲜武器。只会算术。。那我静等答案好了。。。
: 话说这种题有数学意义吗，跟张益唐琢磨的事儿比？
: 还是有的吧？
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t*******d
发帖数: 12895 | 30 对头
【在 t******l 的大作中提到】
: 可能是我文字写的不规范，有二义让你误解了，我重写一下，这样是不是就没有
: 二义性了？
: ==============================================
: 首先漆第一块红色，转到底部，这时分两种情况：
: （1）该第一块红色漆在六角形上。剩下的两块红色没有限制。
: （既可以漆在六角形，也可以漆在五角形）。
: （2）该第一块红色漆在五角形上。剩下的两块红色限制只能
: 漆在五角形上，不能在六角形上。
: ==============================================
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t******l
发帖数: 10908 | 31 OK 我回去改成更规范的文字。谢谢反馈。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 对头
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d****g
发帖数: 7460 | 32 http://cs.brown.edu/courses/csci1950-h/soccerball_topology.pdf
【在 t******l 的大作中提到】
: 有意义的话？比如将来某日某刷试管的马工，算算疯牛病的 protein，以汤唯回形针
: 的柔韧度，能层层折叠出来多少种不同的稳定可传染的让梁朝伟疯癫的姿势？
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t*******d
发帖数: 12895 | 33 足球应该是32面，12五边形20个六边形？
【在 t******l 的大作中提到】
: 刚才又算错了，应该是 (1 + 5*2) * 2 + 5 = 27 面。
: 刚才把赤道上的六角给重复算了一遍。
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t******l
发帖数: 10908 | 34 你自己算，我懒的算。反正理论就是，对于 n-polytope，总是可以通过
n-1 dimension cutting plane，一刀把高维西瓜切成 (n-1)-polytope。
因为颜色是漆在 n-1 维空间，所以这个 (n-1)-polytope 可以拓扑建模
成二维环，然后旋转固定环上的某些 vertex，降低旋转自由度。如此反复
z-turn，最终在 n 维空间固定住 n-polytope，从而求得解。
当然魔鬼在于如何利用对称性选择 cutting plane 而降低计算/马code
的复杂度。
或者你把这题改成 “四维足球三维扣篮题”，看看用欧几里德的超级算术，
咋个整法。
【在 d****g 的大作中提到】
: 不会新鲜武器。只会算术。。那我静等答案好了。。。
: 话说这种题有数学意义吗，跟张益唐琢磨的事儿比？
: 还是有的吧？
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s*****j
发帖数: 6435 | 35 估计 LZ 是从来没踢过足球的.
【在 t*******d 的大作中提到】
: 足球应该是32面，12五边形20个六边形？
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t******l
发帖数: 10908 | 36 随手写错也犯不着上纲上线吧。这么说我今天写错个饭字，就变成不认识
饭岛爱了？
当然，要说俺数感不行的话，这个可能是事实。想起来俺小学算术一直被红叉
追屁股的日子，想想都是泪。
【在 s*****j 的大作中提到】
: 估计 LZ 是从来没踢过足球的.
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t*******d
发帖数: 12895 | 37 我手头没足球，但网上到处都说20个六边形
【在 t******l 的大作中提到】
: 随手写错也犯不着上纲上线吧。这么说我今天写错个饭字，就变成不认识
: 饭岛爱了？
: 当然，要说俺数感不行的话，这个可能是事实。想起来俺小学算术一直被红叉
: 追屁股的日子，想想都是泪。
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t*******d
发帖数: 12895 | 38 anyway, 你足球题出的过于繁琐，没有模型无从下手. 如果4颜色只刷12个五边形面有
希望不动笔硬想？ |
s*****j
发帖数: 6435 | 39 这个数感没关系.
先认真搞清楚几个面, 再开始思考.
【在 t******l 的大作中提到】
: 随手写错也犯不着上纲上线吧。这么说我今天写错个饭字，就变成不认识
: 饭岛爱了？
: 当然，要说俺数感不行的话，这个可能是事实。想起来俺小学算术一直被红叉
: 追屁股的日子，想想都是泪。
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t******l
发帖数: 10908 | 40 要照俺以前的破德行，估计立马恨不得讥讽你一下给您找个堵。
不过我现在做好人了。我实在的说，这可能是 Concrete Thinker 和
Formal Thinker 之间的差别。其实大家都不见得有错，属于相互之间
的理解的问题。或者说，代沟问题。
我觉得大伙儿就求同存异吧。这也算是灌水带来的一点好处，增进相互理解。
【在 s*****j 的大作中提到】
: 这个数感没关系.
: 先认真搞清楚几个面, 再开始思考.
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t******l
发帖数: 10908 | 41 另外谢谢指正。我回去修改掉错误的地方。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 我手头没足球，但网上到处都说20个六边形
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t******l
发帖数: 10908 | 42 等等好像还是有错。我得再看看图。
【在 t******l 的大作中提到】
: 另外谢谢指正。我回去修改掉错误的地方。
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X***Z
发帖数: 336 | 43 你这个motherfacker 昨天为什么要骂我？我什么地方得罪了你？
我水平低在这里没有资格发贴么？你有什么水平主动发过什么贴？贡献了什么正能量？
I am shame on you!!!!!!
Idiot,,,, dumbasss......
没有版主就是好！
【在 s*****j 的大作中提到】
: 这个数感没关系.
: 先认真搞清楚几个面, 再开始思考.
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s*****j
发帖数: 6435 | 44 you are not stupid or something.
you are just full of shit.
【在 X***Z 的大作中提到】
: 你这个motherfacker 昨天为什么要骂我？我什么地方得罪了你？
: 我水平低在这里没有资格发贴么？你有什么水平主动发过什么贴？贡献了什么正能量？
: I am shame on you!!!!!!
: Idiot,,,, dumbasss......
: 没有版主就是好！
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t*******d
发帖数: 12895 | 45 现在没错，足球面还是蛮有意思的
【在 t******l 的大作中提到】
: 等等好像还是有错。我得再看看图。
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t******l
发帖数: 10908 | 46 OK 我搞清楚了，足球是下面 link 里的 G(1,1)，第二层六边形环 zig-zag
而不对准，不存在对准的共享六边形赤道环，所以一般人数数是：
( 1 + 5*3 ) * 2 = 32 个面。
当然数学工作者上更高大上的公式。
http://en.wikipedia.org/wiki/Goldberg_polyhedron
http://mathworld.wolfram.com/TruncatedIcosahedron.html
另外我清掉一些错误的计算。把前面帖子里的数字给改对了。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 我手头没足球，但网上到处都说20个六边形
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t******l
发帖数: 10908 | 47 OK 我搞清楚了，足球是下面 link 里的 G(1,1)，第二层六边形环 zig-zag
而不对准，不存在完全对准的共享六边形赤道环，所以一般人数数是：
( 1 + 5*3 ) * 2 = 32 个面。
当然数学工作者上更高大上的公式。
http://en.wikipedia.org/wiki/Goldberg_polyhedron
http://mathworld.wolfram.com/TruncatedIcosahedron.html
另外我清掉一些错误的计算。把前面帖子里的数字给改对了。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 我手头没足球，但网上到处都说20个六边形
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t******l
发帖数: 10908 | 48 我的错误是发生在，看那个图的时候，第二层六边形环，是用角对角（隔空）顶住的，
而不是边对边压住的，该 orientation 就会 zig-zag 而不出现对准的赤道共享环。
当然，专门鼓捣 Icosahedral symmetry 的，就不用俺们这么 naive 的
切环数，可以有更高大上的切法。不过一般人没学过不会这么硬钢就是了。
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#icosahedral_r
【在 t*******d 的大作中提到】
: 现在没错，足球面还是蛮有意思的
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s*****j
发帖数: 6435 | 49 walmart 里面买个足球. 边看边思考, 事半功倍.
【在 t******l 的大作中提到】
: 我的错误是发生在，看那个图的时候，第二层六边形环，是用角对角（隔空）顶住的，
: 而不是边对边压住的，该 orientation 就会 zig-zag 而不出现对准的赤道共享环。
: 当然，专门鼓捣 Icosahedral symmetry 的，就不用俺们这么 naive 的
: 切环数，可以有更高大上的切法。不过一般人没学过不会这么硬钢就是了。
: http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#icosahedral_r
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t******l
发帖数: 10908 | 50 我家有足球，但是我懒不行么？
再说你不在上面每面贴个小纸条的话，也可能发生漏数或者多数。
不过我懒人从来不数，我向来都是目测后，心中切环加计算。但是也经常算错就是了。
【在 s*****j 的大作中提到】
: walmart 里面买个足球. 边看边思考, 事半功倍.
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t******l
发帖数: 10908 | 51 其实我突然想到一点，也许这个 Concrete Thinking vs Formal Thinking
本身的定义解释不一定够给力。
我甚至觉得，一般说的 abstraction，从 human brain cognition 的角度
看，可能是 misleading 的词语。或者我这么解释我的大胆假设：
我大胆假设，human brain 只能处理 concrete 的 information，也就是
说，every piece of information have to be concrete ("touchable")
from brain neuron's perspective of view。
而所谓的 abstraction，如果我生造一个词的话，应该是 concretize，也就是
说，change from untouchable to touchable, from brain information
processing point of view.
（我先发了贴，省得被网站抽风掉）。 |
t******l
发帖数: 10908 | 52 从这个角度说，小娃认知 “苹果” 这个概念（不一定能说出来），是一个 level
的 concretize，也就是不管纽约红苹果，还是 TJ 熟苹果，都是苹果不是？
然后的事儿，小娃认知 “实物数数” 的概念，是往上一个 level 的 concretize。
也就是说，不管是 3 只纽约红苹果，还是 3 只 TJ 熟苹果。都是 3。
但这个 level 的同时，还会发生另一个 concretize，using rule/hint。
比如，jigsaw puzzle 咋能快速拚上，chess rule 咋使用，等等等等。
然后就是上了 arithmetic property，这个阶段 property 也是 using rule/hint。
然后就是上了 variable / constant / simple expression，using rule/hint
in algebra expression。（pre-algebra）。
然后我觉得 algebra 1 开始了一个转换点，在这点上，rule/hint 本身，开始成为
一个 concrete 的 object。也就是说，perceive distributive property itself
as a single concrete object，and connect/handle various “property itself
object”。
我觉得这里同时 analytic geometry 开始另一个转折点，如果我生造一个词，
“super operation”。举个例子好比是 cutting line/plane 的概念。cutting
line/plane 的概念可以用在很多种数学的东东上，最最基础的是种方程求根的
analytic geometry 表述。但也可以用在 combinatorics 切成环上。另外的
比如 “tagging” / “indexing (well ordered)” / “imaginary seat” 等等
等等。
在这个阶段之后，我觉得出现了 （广义的）formal system（指不一定需要完备，
能解决一类问题的标准算法也可以算一种 mini formal system），and formal
system of formal system，层层上行。这样我觉得是 cognition 获得了理论上
的能学习 “infinite concretize” 的能力（不包括创新）。（实际上当然要看
有没有时间精力，还是有前人的理论是不是写的太坑爹，等等等等。不可能到达
infinite。）。
上面这个 infinite concretize 的阶段，我大胆猜测就是所说的 Formal Operation
阶段。
声明以上是俺民科胡言乱语。搞笑玩玩就可以了，当真你就输啦哈哈哈。
（无轨电车发散思维完毕，马 code 去了）。
【在 t******l 的大作中提到】
: 其实我突然想到一点，也许这个 Concrete Thinking vs Formal Thinking
: 本身的定义解释不一定够给力。
: 我甚至觉得，一般说的 abstraction，从 human brain cognition 的角度
: 看，可能是 misleading 的词语。或者我这么解释我的大胆假设：
: 我大胆假设，human brain 只能处理 concrete 的 information，也就是
: 说，every piece of information have to be concrete ("touchable")
: from brain neuron's perspective of view。
: 而所谓的 abstraction，如果我生造一个词的话，应该是 concretize，也就是
: 说，change from untouchable to touchable, from brain information
: processing point of view.
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p**f
发帖数: 2610 | 53 貌似你试图想解释“抽象”是什么东西。
我觉得可以这么解释： 本身大脑认知的过程就是一个抽象的过程，比如说“苹果”这
个词，貌似很具体，但其实已经是抽象的了。它本身是一个概念，在大脑里，这个概念
可能和气味颜色形状等等属性结合在一起。 当我们看到一个不同的苹果，我们还可以
辨认，如果一个小型海棠果出现，我们还会对这个概念进行细化更新。
数字，比如3， 三个苹果，三条鱼，三个人，我们在计数的时候，发现如果用三个绳结
来代表苹果，鱼，人，都可以同样表达一个数学属性，所以在认知过程中出现了数字的
抽象概念。 这个概念可以对应于客观物体，比如三块石头，也可以不对应，就是纯粹
抽象的三。
其他数学概念，比如代数里的变量，我们在深入研究数学问题的时候，我们发现数字这
个“抽象”的概念还可以抽象成其他形式，在使用中更加容易。或者说，使用的需要导
致了新的抽象/概念。这些高级的概念，可以运用到更多的更复杂的具体现实中。 所以
数学的发展，我觉得本质就是抽象类比 - 新概念的产生。
【在 t******l 的大作中提到】
: 其实我突然想到一点，也许这个 Concrete Thinking vs Formal Thinking
: 本身的定义解释不一定够给力。
: 我甚至觉得，一般说的 abstraction，从 human brain cognition 的角度
: 看，可能是 misleading 的词语。或者我这么解释我的大胆假设：
: 我大胆假设，human brain 只能处理 concrete 的 information，也就是
: 说，every piece of information have to be concrete ("touchable")
: from brain neuron's perspective of view。
: 而所谓的 abstraction，如果我生造一个词的话，应该是 concretize，也就是
: 说，change from untouchable to touchable, from brain information
: processing point of view.
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w********9
发帖数: 8613 | 54 这类题目不难，但会变得很繁杂。
立方体的情况很简单。基本解法是把三种颜色排序：1，2，3.
把颜色1放在底面；然后把4个侧面从最小的开始按次序读一遍；最后读最上面。
得到序列（1 1223 3）； 加上2与3置换后的序列
（1 1232 3）； 加上2与3置换后得到的序列
(1 2233 1)； 加上2与3置换后得到的序列
对大多数足球用的那种32块，解法是类似的。只不过它有8层。每层读完后，上面一层
的多边形不一定相邻。
对每个5边形里颜色最小的（最多可能有4个），从它开始读，然后在它上面最近的一层
（5个6边形）选择读出最小的颜色序列。。。 比如，（1 26237。。。）必须转换为
（1 23726 。。。）
如果有多个这种序列，选择最小的序列作为这个颜色组合的表示。
总的组合数是巨大的。
1开头的序列有
1 11122 。。。
1 23268 。。。 等等
其中（1 111 开头的序列就有28！/(（4！）^7)个.这已经是个非常大的数了。 |
t******l
发帖数: 10908 | 55 为了让本版的档次超过 3×5 的 CCSS math explanation，
俺自告奋勇来从某华罗庚小学扣篮题的角度探讨一下算术思维
vs 代数思维，以及群众喜闻乐见的 Common Core Math
Explanation：
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某华罗庚小学扣篮题的题目如下：
某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面
分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面．
当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在
位置相同时，它们就被看作是同一种积木块．试说明：
最多能涂成多少种不同的积木块？
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t******l
发帖数: 10908 | 56 该扣篮题的标准答案如下：（目测属于算术解法）。
（顺便提一句：这解释是不是深得美帝 Common Core Math
在 pre-algebra 阶段的 “Math Explanation ELA 文科化”
的精髓？谁再跟俺说 “Common Core Math ELA” 化只出现在
说英语的国家，我就跟谁急！！！）
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【解】
总可以使下底面为红色．
如果上底面也是红色，通过翻动，可以使前面为黄色，左面
不是黄色，这时后面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种。
如果上底面不是红色，通过旋转，可以使后面为红色，这时
又分两种情况：
(1)前面与上面同色，可以同为黄色，也可以同为蓝色，有2种。
(2)前面与上面不同色，通过翻动，可以使上面为黄色，前面为
蓝色，这时右面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种。
因此，共可涂成2＋2＋2＝6种不同的积木块。
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t******l
发帖数: 10908 | 57 相信上面的 “ELA 文科化 explanation”，把一波人都放晕了吧。
我下面给个 “代数加解析几何” 思维的 explanation。
当然这题是离散问题，所以这个 “代数加解析几何” 思维的实际
implementation, 是 combinatorics on ring structure。
我就上一张图。具体对该图的文字解释我就不写了，把正方体
看成三个环结构，然后旋转环，加固定住，基本就是这回事。
（另外题目的英文翻译，俺搞得不太行，凑合着看）。 |
t******l
发帖数: 10908 | 58 下面的问题是，如果这不是油漆正方体，是油漆个足球。
就是这小破玩意儿，但是上 8 种颜色，每种颜色油漆 4 个面。
当然对于足球而言，要每面不仅颜色、还要形状都能对上，才算
一样的足球。
这咋整？ |
t******l
发帖数: 10908 | 59 先拿这个例子讨论群众喜闻乐见的 talent。
如果用上面的 “算术解法” 去解足球，那智商 160 的我不知道。但智商 130 的，
我目测基本解到一半铁杆晕菜。
但如果用上面的 “代数加解析几何” 去解足球，我觉得智商 100 加慢慢画图，就
完事了。智商 105 就可以直接写成算法了。
这里顺便提一下 “天才学校”。那种天才进去天才出来的 “天才学校”，香浓说，
这跟 garbage-in-garbage-out 有多大差别？本质不是一回事么？那种傻子进去
天才出来的，那才是天才学校。
从这个角度说，“代数加解析几何”，才是真正意义的天才学校。智商 100 的进去，
五年后 160+ equivalent 的出来，钢钢的。 |
t******l
发帖数: 10908 | 60 当然有人估计会问，你这个连变量、方程和坐标系啥都没有，也算是 “代数+
解析几何”？
这回到关键的问题，“算术” vs “代数+解析几何”，到底是啥差别？我个人
大胆假设，“算术” 是属于 Concrete Operation 的思维，而 “代数+解析几何”
是属于 Formal Operation 的思维。而其中的 leap，是 Formal-Operation-Friendly
Modelling 和 Formal-Operation-Based Deduction / Induction。
所以如果从上面这个角度看，这里的 “代数” 就变成了 “Decision Tree + Ring
Structure”，这里的 “解析几何” 就变成了 “Transformation Geometry /
Topology”。换汤不换药，属于旧的 formal system 披上了一件新马甲。
我个人觉得就是因为这个，俺两年前就打算教娃这个我画的图（否则我也不会吃饱了
撑的去画张图），结果发现我娃不 ready。我担心把娃教成 pattern recognition
型人肉计算器，所以我果断躺倒放弃，打算等娃学 algebra 到建立基本概念以后再
说这个小学扣篮题。 |
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d****g
发帖数: 7460 | 61 我的解法：
第一种情况：两两相对 。1种
第二种情况：蓝蓝相对。绿绿黄黄挨着。3种
第三种情况：都不相对。
第三种情况是一种还是两种，没画图没想明白。回家找了个骰子，画明白了。两种。 |
t******l
发帖数: 10908 | 62 解足球可能有麻烦，油漆三面不好对。
【在 d****g 的大作中提到】
: 我的解法：
: 第一种情况：两两相对 。1种
: 第二种情况：蓝蓝相对。绿绿黄黄挨着。3种
: 第三种情况：都不相对。
: 第三种情况是一种还是两种，没画图没想明白。回家找了个骰子，画明白了。两种。
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d****g
发帖数: 7460 | 63 Eat me! 脑汁绞尽了。
【在 t******l 的大作中提到】
: 解足球可能有麻烦，油漆三面不好对。
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t******l
发帖数: 10908 | 64 或者从刷试管的角度打比方，可能更容易理解：
算术思维 / Concrete Operation，就好比 “无机物简单分子/晶格”。
而 “代数+解析几何”思维 / Formal Operation，就好比 “有机物大分子”。
其中最最本质的区别，是有机物大分子可以只需要很少几种原子（当然，一定要
有碳基！！！），形成无比复杂的大分子结构，产生无比复杂的功能，直至生命
到智慧生命。
而 “无机物简单分子/晶格”，要复杂只能上不同种类的原子。无奈门捷列夫这个
偷懒的主儿，元素周期表撑死也就一百多种稳定原子。剩下的 decay 的速度比
眨眼还快，球用。 |
t******l
发帖数: 10908 | 65 从这个角度看，common core 的 ELA 型 math explanation，在 pre-algebra
阶段，我觉得有一个可以商榷的地方在于：
虽然有机大分子是从无机小分子形成的，但是过于狠搞无机分子，把无机分子
搞牛搞大，是不是更有利于搞出有机大分子的问题。
或者从 De Beers 的角度简单的说，你搞出一太阳系尺寸的大号钻石，里面
能不能爬出个草履虫出来的问题。
【在 t******l 的大作中提到】
: 或者从刷试管的角度打比方，可能更容易理解：
: 算术思维 / Concrete Operation，就好比 “无机物简单分子/晶格”。
: 而 “代数+解析几何”思维 / Formal Operation，就好比 “有机物大分子”。
: 其中最最本质的区别，是有机物大分子可以只需要很少几种原子（当然，一定要
: 有碳基！！！），形成无比复杂的大分子结构，产生无比复杂的功能，直至生命
: 到智慧生命。
: 而 “无机物简单分子/晶格”，要复杂只能上不同种类的原子。无奈门捷列夫这个
: 偷懒的主儿，元素周期表撑死也就一百多种稳定原子。剩下的 decay 的速度比
: 眨眼还快，球用。
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t******l
发帖数: 10908 | 66 或者从憋屈奶爸的角度打比方，也可能更容易理解：
算术思维 / Concrete Operation，就好比小小娃还不会说话时的 “手势语言”，
很难组合成复杂意思。如果要用小小娃手势语言表达一个：“去 StarBuck 买
一杯 double chocolate chip frappuccino，记得不要用 milk，用 infant
formula 代替 milk”。OK，估计大眼瞪小眼的都要疯。
而 “代数+解析几何”思维 / Formal Operation，就好比小小娃会说话了。虽然
speaking language 本质上也就是一些有限的元音辅音声调，但能组合成无比复
杂的词法句法结构，所以表达上面的意思毫无压力。
（当然数学本质是高维拓扑空间结构的复杂度，语言词法句法本质上还是一维线性
结构）。
当然现在的问题还是，虽然跟小小娃的交流，总是从 “手势语言” 过渡到 “牙牙
学语”，但把手势语言搞成无比复杂高级，是不是有利于 “牙牙学语” 的问题。 |
C*****d
发帖数: 2253 | 67 我就想知道你这12个面的足球是咋整出来的。
【在 t******l 的大作中提到】
: 下面的问题是，如果这不是油漆正方体，是油漆个足球。
: 就是这小破玩意儿，但是上 8 种颜色，每种颜色油漆 4 个面。
: 当然对于足球而言，要每面不仅颜色、还要形状都能对上，才算
: 一样的足球。
: 这咋整？
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o***g
发帖数: 2784 | 68 你想说啥？哪个比哪个更高级？更好？还是适用范围更广？
【在 t******l 的大作中提到】
: 为了让本版的档次超过 3×5 的 CCSS math explanation，
: 俺自告奋勇来从某华罗庚小学扣篮题的角度探讨一下算术思维
: vs 代数思维，以及群众喜闻乐见的 Common Core Math
: Explanation：
: ================================================
: 某华罗庚小学扣篮题的题目如下：
: 某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面
: 分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面．
: 当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在
: 位置相同时，它们就被看作是同一种积木块．试说明：
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t******l
发帖数: 10908 | 69 其实我没有真正算过，太忙。我就简略写一下最最愚笨的办法的思路：
首先漆第一块红色，转到底部，这时分两种情况：
（1）该第一块红色漆在六角形上。剩下的两块红色没有限制。
（既可以漆在六角形，也可以漆在五角形）。
（2）该第一块红色漆在五角形上。剩下的两块红色限制只能
漆在五角形上，不能在六角形上。
然后对于上面两种情况，漆第二块红色。然后找一个经过两块红色和顶部的
的环，该环把足球切成对称的两半。但如果红色在顶部，漆第三个红色，然后
找经过仨红色把足球切半对称的环。
把该环转到矢状面，把一个红色放在后面
取决于五角六角的位置，该环要么沿两红色到球心的夹角中线对称，
要么不对称。
在该环上漆第三种颜色，同时考虑该环的对称性。。。小娃烦着，
我先发贴出来。
【在 C*****d 的大作中提到】
: 我就想知道你这12个面的足球是咋整出来的。
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t******l
发帖数: 10908 | 70 总之如法炮制，一直到能把足球要么在空间完全固定，要么只能转 180 度。
（对称矢状面环 vs 不对称环）。
然后剩下面编上号，上组合公式。当然别忘对称矢状面环转 180 度对称的情况。
不写了。这笨活主要靠细心。
当然，巧妙的话，如何尽快在空间固定，如果避免过多 decision tree 的分支.
管小娃去了,不浪费时间了.
【在 t******l 的大作中提到】
: 其实我没有真正算过，太忙。我就简略写一下最最愚笨的办法的思路：
: 首先漆第一块红色，转到底部，这时分两种情况：
: （1）该第一块红色漆在六角形上。剩下的两块红色没有限制。
: （既可以漆在六角形，也可以漆在五角形）。
: （2）该第一块红色漆在五角形上。剩下的两块红色限制只能
: 漆在五角形上，不能在六角形上。
: 然后对于上面两种情况，漆第二块红色。然后找一个经过两块红色和顶部的
: 的环，该环把足球切成对称的两半。但如果红色在顶部，漆第三个红色，然后
: 找经过仨红色把足球切半对称的环。
: 把该环转到矢状面，把一个红色放在后面
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t******l
发帖数: 10908 | 71 sorry 漏了仨红色不在一个矢状面对称环的情况。不过其实一样，就是直接产生第二个
环，三点确定对称方式对称轴。
【在 t******l 的大作中提到】
: 总之如法炮制，一直到能把足球要么在空间完全固定，要么只能转 180 度。
: （对称矢状面环 vs 不对称环）。
: 然后剩下面编上号，上组合公式。当然别忘对称矢状面环转 180 度对称的情况。
: 不写了。这笨活主要靠细心。
: 当然，巧妙的话，如何尽快在空间固定，如果避免过多 decision tree 的分支.
: 管小娃去了,不浪费时间了.
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t******l
发帖数: 10908 | 72 另外这种这么对称工整的情况，可以发展数学理论了。不过实践上不如算法思想有用，
因为实践很坑爹的就是有点对称有点不对称，又不工整，老板又要下周出货！！！
【在 t******l 的大作中提到】
: sorry 漏了仨红色不在一个矢状面对称环的情况。不过其实一样，就是直接产生第二个
: 环，三点确定对称方式对称轴。
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t******l
发帖数: 10908 | 73 另外空间固定的时机，愚钝的办法，就等一种颜色用完，这样不同种颜色之间的对称性
属性正交而互不影响。
当然，如果要巧，可能也可以没用完前，在编号排列组合时动手脚。不过没算过也不知
道会不会得不偿失、偷鸡不成蚀把米。只是一个思路。
【在 t******l 的大作中提到】
: 总之如法炮制，一直到能把足球要么在空间完全固定，要么只能转 180 度。
: （对称矢状面环 vs 不对称环）。
: 然后剩下面编上号，上组合公式。当然别忘对称矢状面环转 180 度对称的情况。
: 不写了。这笨活主要靠细心。
: 当然，巧妙的话，如何尽快在空间固定，如果避免过多 decision tree 的分支.
: 管小娃去了,不浪费时间了.
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t*******d
发帖数: 12895 | 74
为什么？题目没这限制
【在 t******l 的大作中提到】
: 另外空间固定的时机，愚钝的办法，就等一种颜色用完，这样不同种颜色之间的对称性
: 属性正交而互不影响。
: 当然，如果要巧，可能也可以没用完前，在编号排列组合时动手脚。不过没算过也不知
: 道会不会得不偿失、偷鸡不成蚀把米。只是一个思路。
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d****g
发帖数: 7460 | 75 黑面一共１２个。。打回原题，四种颜色，每色三面。似乎是个有趣的题目。。
但是非要这么自我折磨吗？
情况一
红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝，绿绿绿，各自成三角形挨着。。。我看挺好看
【在 t*******d 的大作中提到】
:
: 为什么？题目没这限制
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t******l
发帖数: 10908 | 76 BBS 灌水不严格。我题目就是随便写写，应该形状和颜色都要对上，否则按一般
售货员常理也不能说两足球一样不是？
当然数学还是要严格，我回去把题目改改。
【在 t*******d 的大作中提到】
:
: 为什么？题目没这限制
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t*******d
发帖数: 12895 | 77 还是没有解释为什么：头两个红色刷在五角形面，第三个红色不能刷在六角形面
【在 t******l 的大作中提到】
: BBS 灌水不严格。我题目就是随便写写，应该形状和颜色都要对上，否则按一般
: 售货员常理也不能说两足球一样不是？
: 当然数学还是要严格，我回去把题目改改。
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t******l
发帖数: 10908 | 78 欧几里德的大弟子同学您好。
但对于标准 n-polytope combinatroics 一招鲜搞法，如果只漆五角形面的话，
把一个五角形面放底部，另一个五角形面的顶部，当中两层五角形面构成两个环，
每个环是五个五角形面构成。
然后在如法炮制切矢状面的环，因为这个环是拓扑环，所以矢状面环不需要在一个真
正平面上，歪歪扭扭过去，看保证把足球切成对称的两半就行。
另一种办法是 topological modelling 干脆把当中两环的五角形面对准，只
要保证该 topological modelling 跟实际足球的 geometry 是一一对应的，
以及不改变旋转对称属性，就成。这样就可以直接让矢状面环在肉眼的平面上，
画图方便点。
这样一直到（用完某种颜色时）发生旋转固定，或者只能做极其有限的旋转（比如
沿某轴180 度啥的），然后剩下的面编号上排列组合公式。（当然还有可能可以
取巧不等某种颜色全用完）。
【在 d****g 的大作中提到】
: 黑面一共１２个。。打回原题，四种颜色，每色三面。似乎是个有趣的题目。。
: 但是非要这么自我折磨吗？
: 情况一
: 红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝，绿绿绿，各自成三角形挨着。。。我看挺好看
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d****g
发帖数: 7460 | 79 不会新鲜武器。只会算术。。那我静等答案好了。。。
话说这种题有数学意义吗，跟张益唐琢磨的事儿比？
还是有的吧？
【在 t******l 的大作中提到】
: 欧几里德的大弟子同学您好。
: 但对于标准 n-polytope combinatroics 一招鲜搞法，如果只漆五角形面的话，
: 把一个五角形面放底部，另一个五角形面的顶部，当中两层五角形面构成两个环，
: 每个环是五个五角形面构成。
: 然后在如法炮制切矢状面的环，因为这个环是拓扑环，所以矢状面环不需要在一个真
: 正平面上，歪歪扭扭过去，看保证把足球切成对称的两半就行。
: 另一种办法是 topological modelling 干脆把当中两环的五角形面对准，只
: 要保证该 topological modelling 跟实际足球的 geometry 是一一对应的，
: 以及不改变旋转对称属性，就成。这样就可以直接让矢状面环在肉眼的平面上，
: 画图方便点。
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t******l
发帖数: 10908 | 80 可能是我文字写的不规范，有二义让你误解了，我重写一下，这样是不是就没有
二义性了？
==============================================
首先漆第一块红色，转到底部，这时分两种情况：
（1）该第一块红色漆在六角形上。剩下的两块红色没有限制。
（既可以漆在六角形，也可以漆在五角形）。
（2）该第一块红色漆在五角形上。剩下的两块红色限制只能
漆在五角形上，不能在六角形上。
==============================================
【在 t*******d 的大作中提到】
: 还是没有解释为什么：头两个红色刷在五角形面，第三个红色不能刷在六角形面
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t******l
发帖数: 10908 | 81 有意义的话？比如将来某日某刷试管的马工，算算疯牛病的 protein，以汤唯回形针
的柔韧度，能层层折叠出来多少种不同的稳定可传染的让梁朝伟疯癫的姿势？
【在 d****g 的大作中提到】
: 不会新鲜武器。只会算术。。那我静等答案好了。。。
: 话说这种题有数学意义吗，跟张益唐琢磨的事儿比？
: 还是有的吧？
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t*******d
发帖数: 12895 | 82 对头
【在 t******l 的大作中提到】
: 可能是我文字写的不规范，有二义让你误解了，我重写一下，这样是不是就没有
: 二义性了？
: ==============================================
: 首先漆第一块红色，转到底部，这时分两种情况：
: （1）该第一块红色漆在六角形上。剩下的两块红色没有限制。
: （既可以漆在六角形，也可以漆在五角形）。
: （2）该第一块红色漆在五角形上。剩下的两块红色限制只能
: 漆在五角形上，不能在六角形上。
: ==============================================
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t******l
发帖数: 10908 | 83 OK 我回去改成更规范的文字。谢谢反馈。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 对头
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d****g
发帖数: 7460 | 84 http://cs.brown.edu/courses/csci1950-h/soccerball_topology.pdf
【在 t******l 的大作中提到】
: 有意义的话？比如将来某日某刷试管的马工，算算疯牛病的 protein，以汤唯回形针
: 的柔韧度，能层层折叠出来多少种不同的稳定可传染的让梁朝伟疯癫的姿势？
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t*******d
发帖数: 12895 | 85 足球应该是32面，12五边形20个六边形？
【在 t******l 的大作中提到】
: 刚才又算错了，应该是 (1 + 5*2) * 2 + 5 = 27 面。
: 刚才把赤道上的六角给重复算了一遍。
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t******l
发帖数: 10908 | 86 你自己算，我懒的算。反正理论就是，对于 n-polytope，总是可以通过
n-1 dimension cutting plane，一刀把高维西瓜切成 (n-1)-polytope。
因为颜色是漆在 n-1 维空间，所以这个 (n-1)-polytope 可以拓扑建模
成二维环，然后旋转固定环上的某些 vertex，降低旋转自由度。如此反复
z-turn，最终在 n 维空间固定住 n-polytope，从而求得解。
当然魔鬼在于如何利用对称性选择 cutting plane 而降低计算/马code
的复杂度。
或者你把这题改成 “四维足球三维扣篮题”，看看用欧几里德的超级算术，
咋个整法。
【在 d****g 的大作中提到】
: 不会新鲜武器。只会算术。。那我静等答案好了。。。
: 话说这种题有数学意义吗，跟张益唐琢磨的事儿比？
: 还是有的吧？
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s*****j
发帖数: 6435 | 87 估计 LZ 是从来没踢过足球的.
【在 t*******d 的大作中提到】
: 足球应该是32面，12五边形20个六边形？
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t******l
发帖数: 10908 | 88 随手写错也犯不着上纲上线吧。这么说我今天写错个饭字，就变成不认识
饭岛爱了？
当然，要说俺数感不行的话，这个可能是事实。想起来俺小学算术一直被红叉
追屁股的日子，想想都是泪。
【在 s*****j 的大作中提到】
: 估计 LZ 是从来没踢过足球的.
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t*******d
发帖数: 12895 | 89 我手头没足球，但网上到处都说20个六边形
【在 t******l 的大作中提到】
: 随手写错也犯不着上纲上线吧。这么说我今天写错个饭字，就变成不认识
: 饭岛爱了？
: 当然，要说俺数感不行的话，这个可能是事实。想起来俺小学算术一直被红叉
: 追屁股的日子，想想都是泪。
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t*******d
发帖数: 12895 | 90 anyway, 你足球题出的过于繁琐，没有模型无从下手. 如果4颜色只刷12个五边形面有
希望不动笔硬想？ |
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s*****j
发帖数: 6435 | 91 这个数感没关系.
先认真搞清楚几个面, 再开始思考.
【在 t******l 的大作中提到】
: 随手写错也犯不着上纲上线吧。这么说我今天写错个饭字，就变成不认识
: 饭岛爱了？
: 当然，要说俺数感不行的话，这个可能是事实。想起来俺小学算术一直被红叉
: 追屁股的日子，想想都是泪。
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t******l
发帖数: 10908 | 92 要照俺以前的破德行，估计立马恨不得讥讽你一下给您找个堵。
不过我现在做好人了。我实在的说，这可能是 Concrete Thinker 和
Formal Thinker 之间的差别。其实大家都不见得有错，属于相互之间
的理解的问题。或者说，代沟问题。
我觉得大伙儿就求同存异吧。这也算是灌水带来的一点好处，增进相互理解。
【在 s*****j 的大作中提到】
: 这个数感没关系.
: 先认真搞清楚几个面, 再开始思考.
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t******l
发帖数: 10908 | 93 另外谢谢指正。我回去修改掉错误的地方。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 我手头没足球，但网上到处都说20个六边形
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t******l
发帖数: 10908 | 94 等等好像还是有错。我得再看看图。
【在 t******l 的大作中提到】
: 另外谢谢指正。我回去修改掉错误的地方。
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X***Z
发帖数: 336 | 95 你这个motherfacker 昨天为什么要骂我？我什么地方得罪了你？
我水平低在这里没有资格发贴么？你有什么水平主动发过什么贴？贡献了什么正能量？
I am shame on you!!!!!!
Idiot,,,, dumbasss......
没有版主就是好！
【在 s*****j 的大作中提到】
: 这个数感没关系.
: 先认真搞清楚几个面, 再开始思考.
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s*****j
发帖数: 6435 | 96 you are not stupid or something.
you are just full of shit.
【在 X***Z 的大作中提到】
: 你这个motherfacker 昨天为什么要骂我？我什么地方得罪了你？
: 我水平低在这里没有资格发贴么？你有什么水平主动发过什么贴？贡献了什么正能量？
: I am shame on you!!!!!!
: Idiot,,,, dumbasss......
: 没有版主就是好！
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t*******d
发帖数: 12895 | 97 现在没错，足球面还是蛮有意思的
【在 t******l 的大作中提到】
: 等等好像还是有错。我得再看看图。
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t******l
发帖数: 10908 | 98 OK 我搞清楚了，足球是下面 link 里的 G(1,1)，第二层六边形环 zig-zag
而不对准，不存在对准的共享六边形赤道环，所以一般人数数是：
( 1 + 5*3 ) * 2 = 32 个面。
当然数学工作者上更高大上的公式。
http://en.wikipedia.org/wiki/Goldberg_polyhedron
http://mathworld.wolfram.com/TruncatedIcosahedron.html
另外我清掉一些错误的计算。把前面帖子里的数字给改对了。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 我手头没足球，但网上到处都说20个六边形
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t******l
发帖数: 10908 | 99 OK 我搞清楚了，足球是下面 link 里的 G(1,1)，第二层六边形环 zig-zag
而不对准，不存在完全对准的共享六边形赤道环，所以一般人数数是：
( 1 + 5*3 ) * 2 = 32 个面。
当然数学工作者上更高大上的公式。
http://en.wikipedia.org/wiki/Goldberg_polyhedron
http://mathworld.wolfram.com/TruncatedIcosahedron.html
另外我清掉一些错误的计算。把前面帖子里的数字给改对了。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 我手头没足球，但网上到处都说20个六边形
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t******l
发帖数: 10908 | 100 我的错误是发生在，看那个图的时候，第二层六边形环，是用角对角（隔空）顶住的，
而不是边对边压住的，该 orientation 就会 zig-zag 而不出现对准的赤道共享环。
当然，专门鼓捣 Icosahedral symmetry 的，就不用俺们这么 naive 的
切环数，可以有更高大上的切法。不过一般人没学过不会这么硬钢就是了。
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#icosahedral_r
【在 t*******d 的大作中提到】
: 现在没错，足球面还是蛮有意思的
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s*****j
发帖数: 6435 | 101 walmart 里面买个足球. 边看边思考, 事半功倍.
【在 t******l 的大作中提到】
: 我的错误是发生在，看那个图的时候，第二层六边形环，是用角对角（隔空）顶住的，
: 而不是边对边压住的，该 orientation 就会 zig-zag 而不出现对准的赤道共享环。
: 当然，专门鼓捣 Icosahedral symmetry 的，就不用俺们这么 naive 的
: 切环数，可以有更高大上的切法。不过一般人没学过不会这么硬钢就是了。
: http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#icosahedral_r
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t******l
发帖数: 10908 | 102 我家有足球，但是我懒不行么？
再说你不在上面每面贴个小纸条的话，也可能发生漏数或者多数。
不过我懒人从来不数，我向来都是目测后，心中切环加计算。但是也经常算错就是了。
【在 s*****j 的大作中提到】
: walmart 里面买个足球. 边看边思考, 事半功倍.
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t******l
发帖数: 10908 | 103 其实我突然想到一点，也许这个 Concrete Thinking vs Formal Thinking
本身的定义解释不一定够给力。
我甚至觉得，一般说的 abstraction，从 human brain cognition 的角度
看，可能是 misleading 的词语。或者我这么解释我的大胆假设：
我大胆假设，human brain 只能处理 concrete 的 information，也就是
说，every piece of information have to be concrete ("touchable")
from brain neuron's perspective of view。
而所谓的 abstraction，如果我生造一个词的话，应该是 concretize，也就是
说，change from untouchable to touchable, from brain information
processing point of view.
（我先发了贴，省得被网站抽风掉）。 |
t******l
发帖数: 10908 | 104 从这个角度说，小娃认知 “苹果” 这个概念（不一定能说出来），是一个 level
的 concretize，也就是不管纽约红苹果，还是 TJ 熟苹果，都是苹果不是？
然后的事儿，小娃认知 “实物数数” 的概念，是往上一个 level 的 concretize。
也就是说，不管是 3 只纽约红苹果，还是 3 只 TJ 熟苹果。都是 3。
但这个 level 的同时，还会发生另一个 concretize，using rule/hint。
比如，jigsaw puzzle 咋能快速拚上，chess rule 咋使用，等等等等。
然后就是上了 arithmetic property，这个阶段 property 也是 using rule/hint。
然后就是上了 variable / constant / simple expression，using rule/hint
in algebra expression。（pre-algebra）。
然后我觉得 algebra 1 开始了一个转换点，在这点上，rule/hint 本身，开始成为
一个 concrete 的 object。也就是说，perceive distributive property itself
as a single concrete object，and connect/handle various “property itself
object”。
我觉得这里同时 analytic geometry 开始另一个转折点，如果我生造一个词，
“super operation”。举个例子好比是 cutting line/plane 的概念。cutting
line/plane 的概念可以用在很多种数学的东东上，最最基础的是种方程求根的
analytic geometry 表述。但也可以用在 combinatorics 切成环上。另外的
比如 “tagging” / “indexing (well ordered)” / “imaginary seat” 等等
等等。
在这个阶段之后，我觉得出现了 （广义的）formal system（指不一定需要完备，
能解决一类问题的标准算法也可以算一种 mini formal system），and formal
system of formal system，层层上行。这样我觉得是 cognition 获得了理论上
的能学习 “infinite concretize” 的能力（不包括创新）。（实际上当然要看
有没有时间精力，还是有前人的理论是不是写的太坑爹，等等等等。不可能到达
infinite。）。
上面这个 infinite concretize 的阶段，我大胆猜测就是所说的 Formal Operation
阶段。
声明以上是俺民科胡言乱语。搞笑玩玩就可以了，当真你就输啦哈哈哈。
（无轨电车发散思维完毕，马 code 去了）。
【在 t******l 的大作中提到】
: 其实我突然想到一点，也许这个 Concrete Thinking vs Formal Thinking
: 本身的定义解释不一定够给力。
: 我甚至觉得，一般说的 abstraction，从 human brain cognition 的角度
: 看，可能是 misleading 的词语。或者我这么解释我的大胆假设：
: 我大胆假设，human brain 只能处理 concrete 的 information，也就是
: 说，every piece of information have to be concrete ("touchable")
: from brain neuron's perspective of view。
: 而所谓的 abstraction，如果我生造一个词的话，应该是 concretize，也就是
: 说，change from untouchable to touchable, from brain information
: processing point of view.
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p**f
发帖数: 2610 | 105 貌似你试图想解释“抽象”是什么东西。
我觉得可以这么解释： 本身大脑认知的过程就是一个抽象的过程，比如说“苹果”这
个词，貌似很具体，但其实已经是抽象的了。它本身是一个概念，在大脑里，这个概念
可能和气味颜色形状等等属性结合在一起。 当我们看到一个不同的苹果，我们还可以
辨认，如果一个小型海棠果出现，我们还会对这个概念进行细化更新。
数字，比如3， 三个苹果，三条鱼，三个人，我们在计数的时候，发现如果用三个绳结
来代表苹果，鱼，人，都可以同样表达一个数学属性，所以在认知过程中出现了数字的
抽象概念。 这个概念可以对应于客观物体，比如三块石头，也可以不对应，就是纯粹
抽象的三。
其他数学概念，比如代数里的变量，我们在深入研究数学问题的时候，我们发现数字这
个“抽象”的概念还可以抽象成其他形式，在使用中更加容易。或者说，使用的需要导
致了新的抽象/概念。这些高级的概念，可以运用到更多的更复杂的具体现实中。 所以
数学的发展，我觉得本质就是抽象类比 - 新概念的产生。
【在 t******l 的大作中提到】
: 其实我突然想到一点，也许这个 Concrete Thinking vs Formal Thinking
: 本身的定义解释不一定够给力。
: 我甚至觉得，一般说的 abstraction，从 human brain cognition 的角度
: 看，可能是 misleading 的词语。或者我这么解释我的大胆假设：
: 我大胆假设，human brain 只能处理 concrete 的 information，也就是
: 说，every piece of information have to be concrete ("touchable")
: from brain neuron's perspective of view。
: 而所谓的 abstraction，如果我生造一个词的话，应该是 concretize，也就是
: 说，change from untouchable to touchable, from brain information
: processing point of view.
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w********9
发帖数: 8613 | 106 这类题目不难，但会变得很繁杂。
立方体的情况很简单。基本解法是把三种颜色排序：1，2，3.
把颜色1放在底面；然后把4个侧面从最小的开始按次序读一遍；最后读最上面。
得到序列（1 1223 3）； 加上2与3置换后的序列
（1 1232 3）； 加上2与3置换后得到的序列
(1 2233 1)； 加上2与3置换后得到的序列
对大多数足球用的那种32块，解法是类似的。只不过它有8层。每层读完后，上面一层
的多边形不一定相邻。
对每个5边形里颜色最小的（最多可能有4个），从它开始读，然后在它上面最近的一层
（5个6边形）选择读出最小的颜色序列。。。 比如，（1 26237。。。）必须转换为
（1 23726 。。。）
如果有多个这种序列，选择最小的序列作为这个颜色组合的表示。
总的组合数是巨大的。
1开头的序列有
1 11122 。。。
1 23268 。。。 等等
其中（1 111 开头的序列就有28！/(（4！）^7)个.这已经是个非常大的数了。 |
t******l
发帖数: 10908 | 107 我没看懂你说的 “加上2与3置换后的序列“ 那段的置换规则。
能不能详细写一下置换算法。也就是说，在何种情况下，基于哪个序列，在序列的哪个
位置，发生哪个数字和哪个数字的置换？置换的初始条件和终止条件都是啥？
谢谢先。
【在 w********9 的大作中提到】
: 这类题目不难，但会变得很繁杂。
: 立方体的情况很简单。基本解法是把三种颜色排序：1，2，3.
: 把颜色1放在底面；然后把4个侧面从最小的开始按次序读一遍；最后读最上面。
: 得到序列（1 1223 3）； 加上2与3置换后的序列
: （1 1232 3）； 加上2与3置换后得到的序列
: (1 2233 1)； 加上2与3置换后得到的序列
: 对大多数足球用的那种32块，解法是类似的。只不过它有8层。每层读完后，上面一层
: 的多边形不一定相邻。
: 对每个5边形里颜色最小的（最多可能有4个），从它开始读，然后在它上面最近的一层
: （5个6边形）选择读出最小的颜色序列。。。 比如，（1 26237。。。）必须转换为
|
t******l
发帖数: 10908 | 108 另外你能不能把 28！/(（4！）^7) 里的 28, 4, 7 等数字写成变量常量的公式，或者
解释一下该数字对应于多面体的那个特征数字，这样看得人更容易理解数字是怎么出来
的。
谢谢。
【在 w********9 的大作中提到】
: 这类题目不难，但会变得很繁杂。
: 立方体的情况很简单。基本解法是把三种颜色排序：1，2，3.
: 把颜色1放在底面；然后把4个侧面从最小的开始按次序读一遍；最后读最上面。
: 得到序列（1 1223 3）； 加上2与3置换后的序列
: （1 1232 3）； 加上2与3置换后得到的序列
: (1 2233 1)； 加上2与3置换后得到的序列
: 对大多数足球用的那种32块，解法是类似的。只不过它有8层。每层读完后，上面一层
: 的多边形不一定相邻。
: 对每个5边形里颜色最小的（最多可能有4个），从它开始读，然后在它上面最近的一层
: （5个6边形）选择读出最小的颜色序列。。。 比如，（1 26237。。。）必须转换为
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t*******d
发帖数: 12895 | 109 我猜：还没刷的面28，每种颜色刷的面数4，还剩下的颜色数7
【在 t******l 的大作中提到】
: 另外你能不能把 28！/(（4！）^7) 里的 28, 4, 7 等数字写成变量常量的公式，或者
: 解释一下该数字对应于多面体的那个特征数字，这样看得人更容易理解数字是怎么出来
: 的。
: 谢谢。
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t******l
发帖数: 10908 | 110 对于立方体，三种颜色，每种两面，是：
4! / ( (2!) ^ 2 ) = 6？
这个结果数字是对的。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 我猜：还没刷的面28，每种颜色刷的面数4，还剩下的颜色数7
|
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t******l
发帖数: 10908 | 111 对于正三棱锥，两种颜色，每种两面，是：
2! / ( (2!) ^ 1 ) = 1？
这个结果数字也是对的。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 我猜：还没刷的面28，每种颜色刷的面数4，还剩下的颜色数7
|
t*******d
发帖数: 12895 | 112 相邻2面刷红色之后，数字4才是对的
【在 t******l 的大作中提到】
: 对于立方体，三种颜色，每种两面，是：
: 4! / ( (2!) ^ 2 ) = 6？
: 这个结果数字是对的。
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t*******d
发帖数: 12895 | 113 刷完 1 111之后，因为没有旋转对称性，就成了纯组合了 |
t******l
发帖数: 10908 | 114 对于立方体，六种颜色，每种一面，是：
5! / ( (1!) ^ 5 ) = 60？
这个肯定不对，因为：
放颜色 1，让旋转到底部，
顶部有 5 种颜色方法，
剩下四种颜色的放法：放剩下的号码最小的那种颜色在剩下的某一面，旋转到后面，固
定，然后放余下所有的颜色。
(正规语言是，剩下的 4 种颜色放在一个自由旋转但不能 flip 的环上。formal
thinker 比较容易理解这么写)。
所以是：
5*3*2*1 = 30 种放法，而不是 60 种。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 我猜：还没刷的面28，每种颜色刷的面数4，还剩下的颜色数7
|
t******l
发帖数: 10908 | 115 我前面自由转动环着色的子问题的自然语言表述写的有歧义，刚才改了一下。应该好些
了。不太会那么写。
【在 t******l 的大作中提到】
: 对于立方体，六种颜色，每种一面，是：
: 5! / ( (1!) ^ 5 ) = 60？
: 这个肯定不对，因为：
: 放颜色 1，让旋转到底部，
: 顶部有 5 种颜色方法，
: 剩下四种颜色的放法：放剩下的号码最小的那种颜色在剩下的某一面，旋转到后面，固
: 定，然后放余下所有的颜色。
: (正规语言是，剩下的 4 种颜色放在一个自由旋转但不能 flip 的环上。formal
: thinker 比较容易理解这么写)。
: 所以是：
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t******l
发帖数: 10908 | 116 对于立方体，两种颜色，每种三面，是：
3! / ( (3!) ^ 1 ) = 1？
这个肯定不对。应该是 2 种，一种是出现对面同色，一种是不出现对面同色。同样用
环可以证明，证明略。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 我猜：还没刷的面28，每种颜色刷的面数4，还剩下的颜色数7
|
t******l
发帖数: 10908 | 117 这个特例的序列在特例的多面体，确实不再有旋转对称性了。
但特例不解决问题啊，需要的是一般规则，何时消除旋转对称，怎样消除选择对称。否
则还是超级算术不是？
【在 t*******d 的大作中提到】
: 刷完 1 111之后，因为没有旋转对称性，就成了纯组合了
|
t******l
发帖数: 10908 | 118 相邻两面刷红色之后，没有完全消除旋转对称性。还存在 180 度旋转对称性。
用 CCSS ELA 的说法，把下面转到后面，把后面到下面。
用大名词的说法，有两点同色，其余点无色的环，是可以沿其对称轴 flip 的。
不过这种情况可以上排列组合公式了。去掉对称造成的重复计入即可。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 相邻2面刷红色之后，数字4才是对的
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w********9
发帖数: 8613 | 119
没有简单的规则。不能推广到复杂得多的球的情况。
得到序列（1 1223 3）； 加上2与3置换后的序列
(1 1332 2)
（1 1232 3）； 加上2与3置换后得到的序列
(1 1323 2)
(1 2233 1)； 加上2与3置换后得到的序列
(1 3322 1)
【在 t******l 的大作中提到】
: 我没看懂你说的 “加上2与3置换后的序列“ 那段的置换规则。
: 能不能详细写一下置换算法。也就是说，在何种情况下，基于哪个序列，在序列的哪个
: 位置，发生哪个数字和哪个数字的置换？置换的初始条件和终止条件都是啥？
: 谢谢先。
|
t******l
发帖数: 10908 | 120 “(1 2233 1)； 加上2与3置换后得到的序列
(1 3322 1)”
你这两个是等价序列 (congruent)。
1 在底面和顶面的序列，应该是 (1 2233 1) 和 (1 2323 1)。
上面这个是四点自由旋转加 flip 的环，着两色，每色两点，的问题
【在 w********9 的大作中提到】
:
: 没有简单的规则。不能推广到复杂得多的球的情况。
: 得到序列（1 1223 3）； 加上2与3置换后的序列
: (1 1332 2)
: （1 1232 3）； 加上2与3置换后得到的序列
: (1 1323 2)
: (1 2233 1)； 加上2与3置换后得到的序列
: (1 3322 1)
|
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w********9
发帖数: 8613 | 121
那仅仅是对（1 111这个最特殊的序列成立的，而一般的序列要复杂得多。选择这个序
列只是用来说明：组合数目是巨大的。也就是说，数学意义不大。
基本想法是：任何一个颜色组合都用它所能有的最小序列来表示。组合与其最小序列是
一一对应的。
任何一个（1 111 序列都是个最小序列。还有28个其它面需要用另外7种颜色配色。因
此，这种最小序列共有28！/(（4！）^7)个。
真的不难。你稍微多想一想就会明白的。
【在 t******l 的大作中提到】
: 另外你能不能把 28！/(（4！）^7) 里的 28, 4, 7 等数字写成变量常量的公式，或者
: 解释一下该数字对应于多面体的那个特征数字，这样看得人更容易理解数字是怎么出来
: 的。
: 谢谢。
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w********9
发帖数: 8613 | 122
是的。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 我猜：还没刷的面28，每种颜色刷的面数4，还剩下的颜色数7
|
t******l
发帖数: 10908 | 123 “得到序列（1 1223 3）； 加上2与3置换后的序列 (1 1332 2)”
这两个也是等价序列 (congruence)。
具体按你说的，第一个 1 在底面，第二个 1 在前面，那么演底面和前面夹角中线的对
称轴 (也就是两个 1 形成的对称轴)，转 180 度，这俩就 match。
【在 w********9 的大作中提到】
:
: 是的。
|
t******l
发帖数: 10908 | 124 “组合数目是巨大的。也就是说，数学意义不大。”
其他的先不说，为啥数字大了就意义不大？我们有计算机不是？
【在 w********9 的大作中提到】
:
: 是的。
|
w********9
发帖数: 8613 | 125
你想多了。那只对那个特别序列而言。不能推广。
【在 t******l 的大作中提到】
: 对于立方体，三种颜色，每种两面，是：
: 4! / ( (2!) ^ 2 ) = 6？
: 这个结果数字是对的。
|
t******l
发帖数: 10908 | 126 “任何一个（1 111 序列都是个最小序列。还有28个其它面需要用另外7种颜色配色。
因 此，这种最小序列共有28！/(（4！）^7)个。”
正方体，着三种颜色，每种颜色两面。对于这个问题，你的最小序列 (1 1 ，你的公式
就 fail 了，因为存在一个 旋转 180 度对称，你要减去旋转 180 度对称所造成的重
复计入。
【在 w********9 的大作中提到】
:
: 你想多了。那只对那个特别序列而言。不能推广。
|
t******l
发帖数: 10908 | 127 你这个是先计算(假设所有颜色都不同的)全排列，除以同色自身排列所造成的重复计入
，考虑不同颜色的同色自身排列正交(上幂次)，的公式。
但问题在于你认为你的 “最小序列” 一定能保证不再有任何旋转对称发生，这个假定
是错误的。
【在 w********9 的大作中提到】
:
: 你想多了。那只对那个特别序列而言。不能推广。
|
t******l
发帖数: 10908 | 128 特别序列也错了。
对于首贴 “正方体，上三色，每色两面的问题。”。总共 6 种，你的特别序列就算出
6 种了。首贴问题的验证都没通过。
【在 w********9 的大作中提到】
:
: 你想多了。那只对那个特别序列而言。不能推广。
|
d**********h
发帖数: 2795 | 129 别忙了，赶紧过节去吧！
happy Halloween！
【在 t******l 的大作中提到】
: 特别序列也错了。
: 对于首贴 “正方体，上三色，每色两面的问题。”。总共 6 种，你的特别序列就算出
: 6 种了。首贴问题的验证都没通过。
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t******l
发帖数: 10908 | 130 属实。俺干正事去了。
【在 d**********h 的大作中提到】
: 别忙了，赶紧过节去吧！
: happy Halloween！
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w********9
发帖数: 8613 | 131
你想多了。那个全部用了具体数据的公式只对球的那个特别序列而言。不能推广。球的
（1 111的限制性极强。应该是最小的。
我的立方体的序列列举是错了。但是那与球无关。除了序列表示方法，二者基本没有联
系。
【在 t******l 的大作中提到】
: 你这个是先计算(假设所有颜色都不同的)全排列，除以同色自身排列所造成的重复计入
: ，考虑不同颜色的同色自身排列正交(上幂次)，的公式。
: 但问题在于你认为你的 “最小序列” 一定能保证不再有任何旋转对称发生，这个假定
: 是错误的。
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w********9
发帖数: 8613 | 132
（1 111的组合数量太大了。不信，你算算它的数量级。会有什么数学意义？
【在 t******l 的大作中提到】
: “组合数目是巨大的。也就是说，数学意义不大。”
: 其他的先不说，为啥数字大了就意义不大？我们有计算机不是？
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t******l
发帖数: 10908 | 133 你的 ”球” 是不是指 “类似球对称的正对面体”？
那么对于所有这种正多面体，如果底面和第一层着你说的 (1 1 ，那一定存在通过该两
面夹角中线的 180 旋转对称轴。道理很简单:
你拿一西瓜，一刀劈两半，在切面圆环上点两红点，然后钻桌底下看看。
最多也就是怀疑正多面体西瓜可能有奇偶整数的问题。不过可能也就是沿着棱切开，还
是把面一切为二的问题，总之都对称。
【在 w********9 的大作中提到】
:
: （1 111的组合数量太大了。不信，你算算它的数量级。会有什么数学意义？
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t******l
发帖数: 10908 | 134 除了上面的情况，另外你还漏了第二层正好填满的情况，球可以沿中轴线滴溜溜地转。
【在 w********9 的大作中提到】
:
: （1 111的组合数量太大了。不信，你算算它的数量级。会有什么数学意义？
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w********9
发帖数: 8613 | 135 “球”就是这里谈的大多数那种足球。
我对它的最小序列选取见52楼的表述。第一层是个五边形，第二层是5个六边形。
（1 111序列是 （五1 六1六1六1，前面think也说过：没什么对称性。这就是个全部是
最小表示的序列，其它配色就都是自由的了。
算算28！/（4!)^7的量级吧。
我唯一的错误是在对立方体的最小表示作完全列举时犯下的。立方体太简单了，因此马
虎出了错。再说一遍：那个错误与其它叙述没有本质关联。别把（为说明问题而只讨论
过最特别的序列的）球与立方体联系了。 |
t******l
发帖数: 10908 | 136 好吧你是对的。是我比较搞笑。
【在 w********9 的大作中提到】
: “球”就是这里谈的大多数那种足球。
: 我对它的最小序列选取见52楼的表述。第一层是个五边形，第二层是5个六边形。
: （1 111序列是 （五1 六1六1六1，前面think也说过：没什么对称性。这就是个全部是
: 最小表示的序列，其它配色就都是自由的了。
: 算算28！/（4!)^7的量级吧。
: 我唯一的错误是在对立方体的最小表示作完全列举时犯下的。立方体太简单了，因此马
: 虎出了错。再说一遍：那个错误与其它叙述没有本质关联。别把（为说明问题而只讨论
: 过最特别的序列的）球与立方体联系了。
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t******l
发帖数: 10908 | 137 另外顺手电算了一下，还好，没溢出：
octave:1> factorial(28) / (24^7)
ans = 6.6476e+19
当然我承认我很无聊，不过也花不了敲几个字母的时间就是了。
【在 w********9 的大作中提到】
: “球”就是这里谈的大多数那种足球。
: 我对它的最小序列选取见52楼的表述。第一层是个五边形，第二层是5个六边形。
: （1 111序列是 （五1 六1六1六1，前面think也说过：没什么对称性。这就是个全部是
: 最小表示的序列，其它配色就都是自由的了。
: 算算28！/（4!)^7的量级吧。
: 我唯一的错误是在对立方体的最小表示作完全列举时犯下的。立方体太简单了，因此马
: 虎出了错。再说一遍：那个错误与其它叙述没有本质关联。别把（为说明问题而只讨论
: 过最特别的序列的）球与立方体联系了。
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p**f
发帖数: 2610 | 138 说老实话，你这个例子举得真不好。
这道题的难点是如何计算重复，或者说如何在计算中排出重复。
这个立方体问题比较简单主要是因为只要考虑三个可旋转的轴就可以了，所以可以用枚
举的方式计算。其实英文答案并不太清楚，比如需要证明这个枚举的过程必须保证每次
decision tree分枝都互相不再重复。这是这个枚举方法的必要条件。 严格来说，这是
需要费些口舌来证明的。
对于你说的足球，更加麻烦。因为有很多轴，同一颜色很多pattern. 我不能完全理解
你的方法能保证在每次当decision tree分支的时候能和其他分支不重复（涂第一个颜
色还容易，越往下越麻烦）。 这个你得给出一个数学证明，就算你的计算方法成立，
还是枚举算术题，还是体现不出任何代数思维。或者说，你没法推广到一般情况。
【在 t******l 的大作中提到】
: 为了让本版的档次超过 3×5 的 CCSS math explanation，
: 俺自告奋勇来从某华罗庚小学扣篮题的角度探讨一下算术思维
: vs 代数思维，以及群众喜闻乐见的 Common Core Math
: Explanation：
: ================================================
: 某华罗庚小学扣篮题的题目如下：
: 某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面
: 分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面．
: 当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在
: 位置相同时，它们就被看作是同一种积木块．试说明：
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p**f
发帖数: 2610 | 139 你这简化得根本不对，很多旋转重复的都没考虑进去。
【在 w********9 的大作中提到】
: 这类题目不难，但会变得很繁杂。
: 立方体的情况很简单。基本解法是把三种颜色排序：1，2，3.
: 把颜色1放在底面；然后把4个侧面从最小的开始按次序读一遍；最后读最上面。
: 得到序列（1 1223 3）； 加上2与3置换后的序列
: （1 1232 3）； 加上2与3置换后得到的序列
: (1 2233 1)； 加上2与3置换后得到的序列
: 对大多数足球用的那种32块，解法是类似的。只不过它有8层。每层读完后，上面一层
: 的多边形不一定相邻。
: 对每个5边形里颜色最小的（最多可能有4个），从它开始读，然后在它上面最近的一层
: （5个6边形）选择读出最小的颜色序列。。。 比如，（1 26237。。。）必须转换为
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t******l
发帖数: 10908 | 140 简单的问题，我在楼当中给过一个：
先看懂这个，然后首贴的题目可能就容易理解一些了我觉得。
=======================================================================
对于立方体，六种颜色，每种一面，多少种不同的方式？
解：
放颜色 1，让旋转到底部，
顶部有 5 种颜色方法，
剩下四种颜色的放法：放剩下的号码最小的那种颜色在剩下的某一面，旋转到后面，固
定，然后放余下所有的颜色。
(正规语言是，剩下的 4 种颜色放在一个自由旋转但不能 flip 的环上。formal
thinker 比较容易理解这么写)。
所以是：
5*3*2*1 = 30 种放法
=======================================================================
【在 p**f 的大作中提到】
: 说老实话，你这个例子举得真不好。
: 这道题的难点是如何计算重复，或者说如何在计算中排出重复。
: 这个立方体问题比较简单主要是因为只要考虑三个可旋转的轴就可以了，所以可以用枚
: 举的方式计算。其实英文答案并不太清楚，比如需要证明这个枚举的过程必须保证每次
: decision tree分枝都互相不再重复。这是这个枚举方法的必要条件。 严格来说，这是
: 需要费些口舌来证明的。
: 对于你说的足球，更加麻烦。因为有很多轴，同一颜色很多pattern. 我不能完全理解
: 你的方法能保证在每次当decision tree分支的时候能和其他分支不重复（涂第一个颜
: 色还容易，越往下越麻烦）。 这个你得给出一个数学证明，就算你的计算方法成立，
: 还是枚举算术题，还是体现不出任何代数思维。或者说，你没法推广到一般情况。
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t******l
发帖数: 10908 | 141 我觉得这题虽然看起来很容易，也就是如何避免重复。其内容也很基本，并不
偏门，也就是把一般线型结构上的排列组合放在环型结构上。
但从讨论看过来，对于普通娃而言，这类 pre-algebra 题目，确实有理由等到
AMC 10 基本的代数解几概念都建立了以后，再来搞这种趣味题。我觉得这不是
知识本身的缘故，而是娃的思维是不是 ready 的缘故。牛蛙不讨论，牛蛙总是
无底线的，没法说。
从这个角度看，我这个例子举得还是可以的。
【在 p**f 的大作中提到】
: 说老实话，你这个例子举得真不好。
: 这道题的难点是如何计算重复，或者说如何在计算中排出重复。
: 这个立方体问题比较简单主要是因为只要考虑三个可旋转的轴就可以了，所以可以用枚
: 举的方式计算。其实英文答案并不太清楚，比如需要证明这个枚举的过程必须保证每次
: decision tree分枝都互相不再重复。这是这个枚举方法的必要条件。 严格来说，这是
: 需要费些口舌来证明的。
: 对于你说的足球，更加麻烦。因为有很多轴，同一颜色很多pattern. 我不能完全理解
: 你的方法能保证在每次当decision tree分支的时候能和其他分支不重复（涂第一个颜
: 色还容易，越往下越麻烦）。 这个你得给出一个数学证明，就算你的计算方法成立，
: 还是枚举算术题，还是体现不出任何代数思维。或者说，你没法推广到一般情况。
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p**f
发帖数: 2610 | 142 你自己不妨试验一下生成一下足球的decision tree，看看每步是根据什么来保证不个
其他分支重复的。 然后看看这个根据能不能去除所有的重复，必要的时候还得证明。
比如，我不明白如果三个同色的色块不在一个环的情况，这种情况任何两个同色色块都
可以形成一个环，我看不懂你的算法是如何避免重复的。你说这种情况要使用第二个环
，我不明白你是如何做的， 你能不能写清楚。你自己可以计算一下这有多少种情况（
不重复的话）。
再有，我还是不明白这个建模（排除重复的）的过程跟代数解几又啥关系。在我看来，
代数解几的概念完全没法帮助这个过程。
【在 t******l 的大作中提到】
: 简单的问题，我在楼当中给过一个：
: 先看懂这个，然后首贴的题目可能就容易理解一些了我觉得。
: =======================================================================
: 对于立方体，六种颜色，每种一面，多少种不同的方式？
: 解：
: 放颜色 1，让旋转到底部，
: 顶部有 5 种颜色方法，
: 剩下四种颜色的放法：放剩下的号码最小的那种颜色在剩下的某一面，旋转到后面，固
: 定，然后放余下所有的颜色。
: (正规语言是，剩下的 4 种颜色放在一个自由旋转但不能 flip 的环上。formal
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p**f
发帖数: 2610 | 143 还有一个问题，在很多轴的球体上面，你需要多少环，什么样的环，才能达到空间确定
。 根据是什么？如何证明。
【在 t******l 的大作中提到】
: 我觉得这题虽然看起来很容易，也就是如何避免重复。其内容也很基本，并不
: 偏门，也就是把一般线型结构上的排列组合放在环型结构上。
: 但从讨论看过来，对于普通娃而言，这类 pre-algebra 题目，确实有理由等到
: AMC 10 基本的代数解几概念都建立了以后，再来搞这种趣味题。我觉得这不是
: 知识本身的缘故，而是娃的思维是不是 ready 的缘故。牛蛙不讨论，牛蛙总是
: 无底线的，没法说。
: 从这个角度看，我这个例子举得还是可以的。
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t******l
发帖数: 10908 | 144 足球是刚体。刚体上只要一个环被固定，或者被限制，该固定/限制 apply to 整个足
球。这是刚体在 xform geometry / topology 的基本属性。
至于单个/多个环的问题。这是因为四块红色之间 undistinguishable，也就是四块红
色可以相互替换 (当然足球有红五角和红六角的问题，我先简化一下容易理解)，这样
的话：
(1) 如果四块红色都在某一个矢状面环上，单环处理。
(2) 如果不是，比较复杂的情况：
是发生底面红色被替代的情况。其基本是产生其它通过底面红色的可转动环。该环要么
包括所有四块红色可转动，要么少于四块，但其它红色块处于该转动 operation 的对
称点。
这样的情况其实不多。而这题的解法是 constructive 的解法，所以放第三块第四红色
的时候，如果不在同一矢状面的环上时，注意增加的环/转动轴/特殊位置就是了。
我可能写得不太好理解。不过不来支票的 ELA 也只能这样了。
【在 p**f 的大作中提到】
: 还有一个问题，在很多轴的球体上面，你需要多少环，什么样的环，才能达到空间确定
: 。 根据是什么？如何证明。
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t******l
发帖数: 10908 | 145 或者你先解个简单的问题：足球 32 面，32 种颜色，每种颜色一面，总共多少种不同
的足球？
这个可以照抄我前面立方体每色一面的解法，就是繁琐点，但能直接写出表达式的。
【在 p**f 的大作中提到】
: 还有一个问题，在很多轴的球体上面，你需要多少环，什么样的环，才能达到空间确定
: 。 根据是什么？如何证明。
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p**f
发帖数: 2610 | 146 32 种颜色完全不一样，没有同色块对称的现象。
我现在关心的是你到底如何解决同色块之间重复的问题。我还是不能理解你的解法是如
何做到的。你解释得也非常不清楚。
你给的立方体原题答案就非常清楚，思路表达都很清楚。
但是你给的decision tree的答案就非常不清楚，思路和表达都不清楚。
你这个所谓代数解法有两个两个核心问题：
1， 你如何生成一个decision tree branch来确保每个叶子都不重复，
请详细解释并证明。
2， 你如何确定空间固定，就是decision tree的叶子。请解释证明。
我的数学真不差，如果你的解释我看不懂，这个网上能看懂的人也不会太多, 如果你不
相信，请你找一位看懂你解法的网友给解释一下我说的两个问题。
到目前为止，你拿这么一道题来说明你的观点，我觉得很难有啥效果。
【在 t******l 的大作中提到】
: 或者你先解个简单的问题：足球 32 面，32 种颜色，每种颜色一面，总共多少种不同
: 的足球？
: 这个可以照抄我前面立方体每色一面的解法，就是繁琐点，但能直接写出表达式的。
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t******l
发帖数: 10908 | 147 每个人的看法观点不一样。如果你觉得立方体原题答案很清楚，你应该用那个办法，而
不是我的。
当然我 acknowledge 你的看法。
或者这么说，所有的解题方法的最最基本的一点，是实用。而实用，是对于具体个体而
言的实用。如果你觉得我的办法不实用，并且你有更实用。我觉得你不值得在我的办法
上浪费时间。不如把时间花在你认为更实用的办法，实话实说。
当然给个反馈意见也是很不错的。谢谢你的反馈意见。
【在 p**f 的大作中提到】
: 32 种颜色完全不一样，没有同色块对称的现象。
: 我现在关心的是你到底如何解决同色块之间重复的问题。我还是不能理解你的解法是如
: 何做到的。你解释得也非常不清楚。
: 你给的立方体原题答案就非常清楚，思路表达都很清楚。
: 但是你给的decision tree的答案就非常不清楚，思路和表达都不清楚。
: 你这个所谓代数解法有两个两个核心问题：
: 1， 你如何生成一个decision tree branch来确保每个叶子都不重复，
: 请详细解释并证明。
: 2， 你如何确定空间固定，就是decision tree的叶子。请解释证明。
: 我的数学真不差，如果你的解释我看不懂，这个网上能看懂的人也不会太多, 如果你不
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t******l
发帖数: 10908 | 148 另外你的反馈还说明一个问题，也就是说这些题目的标准答案，包括 AMC 和 Khan，其
实都是深思熟虑的 practically 最好的。
但这个 “最好”，是从统计的角度而言的。对于单个个体，存在 majority vs
minority 的问题。
所以这个不是 right vs wrong 或 good vs bad 的问题，这个是 majority vs
minority 的问题。
当然，对于 communication 而言，要采用 majority 的方式。但这线程说的是
thinking 而不是 communication。thinking 方面每个人有他/她的自由。
从这个角度看，俺这个例子还是举得不错的。
谢谢反馈意见了。
【在 p**f 的大作中提到】
: 32 种颜色完全不一样，没有同色块对称的现象。
: 我现在关心的是你到底如何解决同色块之间重复的问题。我还是不能理解你的解法是如
: 何做到的。你解释得也非常不清楚。
: 你给的立方体原题答案就非常清楚，思路表达都很清楚。
: 但是你给的decision tree的答案就非常不清楚，思路和表达都不清楚。
: 你这个所谓代数解法有两个两个核心问题：
: 1， 你如何生成一个decision tree branch来确保每个叶子都不重复，
: 请详细解释并证明。
: 2， 你如何确定空间固定，就是decision tree的叶子。请解释证明。
: 我的数学真不差，如果你的解释我看不懂，这个网上能看懂的人也不会太多, 如果你不
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p**f
发帖数: 2610 | 149 在我看来，对于数学问题，无论你用什么工具，很多情况下，最后需要解决的实际困难
都是一样，解决方法通常并不依赖于工具，而是相对独立的。 但是，如果你使用的工
具不同，最后的表述肯定不同。通常使用高等工具可以使表述更方便，论证更严密。要
不，我们为啥使用更好的工具？很多数学分枝就是在研究具体问题时为了论证方便产生
出来的。
我认为原题答案很清楚，主要是因为它没错，思路也很明白。
你的方法，因为你的表述很不清楚，目前来看，我根本不能判断它对不对。
这里并不是实用不实用的问题。
【在 t******l 的大作中提到】
: 每个人的看法观点不一样。如果你觉得立方体原题答案很清楚，你应该用那个办法，而
: 不是我的。
: 当然我 acknowledge 你的看法。
: 或者这么说，所有的解题方法的最最基本的一点，是实用。而实用，是对于具体个体而
: 言的实用。如果你觉得我的办法不实用，并且你有更实用。我觉得你不值得在我的办法
: 上浪费时间。不如把时间花在你认为更实用的办法，实话实说。
: 当然给个反馈意见也是很不错的。谢谢你的反馈意见。
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t******l
发帖数: 10908 | 150 在这版上给出这图的目的，不是讨论数学证明，而是说数学教育。严格的数学证明是本
质高中数学老师的事。
这就好比你扔给小娃 12 个正五边形，给一些 clue，希望小娃能玩出来正 12 面体。
而不是手把手证明一下。
当然，娃可以说我这个 decision tree 的 layout 不对。那娃就自己 layout 一个对
的，把题目解了。这其实更好，因为父母都是希望娃将来超过自己，而不是步自己后尘。
【在 p**f 的大作中提到】
: 在我看来，对于数学问题，无论你用什么工具，很多情况下，最后需要解决的实际困难
: 都是一样，解决方法通常并不依赖于工具，而是相对独立的。 但是，如果你使用的工
: 具不同，最后的表述肯定不同。通常使用高等工具可以使表述更方便，论证更严密。要
: 不，我们为啥使用更好的工具？很多数学分枝就是在研究具体问题时为了论证方便产生
: 出来的。
: 我认为原题答案很清楚，主要是因为它没错，思路也很明白。
: 你的方法，因为你的表述很不清楚，目前来看，我根本不能判断它对不对。
: 这里并不是实用不实用的问题。
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p**f
发帖数: 2610 | 151 好吧，我不再花时间跟你讨论了。祝你好运。
我之所以多看了这个帖子几眼，主要原因是我最近也在思考如何推孩子数学的事情。
尘。
【在 t******l 的大作中提到】
: 在这版上给出这图的目的，不是讨论数学证明，而是说数学教育。严格的数学证明是本
: 质高中数学老师的事。
: 这就好比你扔给小娃 12 个正五边形，给一些 clue，希望小娃能玩出来正 12 面体。
: 而不是手把手证明一下。
: 当然，娃可以说我这个 decision tree 的 layout 不对。那娃就自己 layout 一个对
: 的，把题目解了。这其实更好，因为父母都是希望娃将来超过自己，而不是步自己后尘。
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t******l
发帖数: 10908 | 152 我发这个帖子的目的之一，就是觉得有学校数学教育方方面面都搞上基础的前提下，
over-explanation 的意义，还不如 challenge-resolution。（当然题目的难度
范围是不是适合，也是一个讨论话题）。
或者说，吉米多维奇也有人家一定的道理。具体对于这个题的例子而言：
虽然我目前不会搞这种题，这留到将来代数学好以后再说。但拿这题做例子，我就算
over-explanation，娃也不一定 take 我认为好的 explanation。（或者也可能
我的 explanation 就是错的）。
我觉得简单 explanation -- 也就是把自己心里所想的 mathematical structure
在空间里比划出来，简单解释一下就完了。然后要再有争议，不如把正四面体、正六面
体、正十二面体，每色上一面、每色上两面、每色上三面、组合的情况都搞一搞。能
搞对就是真理，搞不对再具体问题、具体分析、具体错误出现在哪里。
其实我觉得娃最讨厌大人罗罗嗦嗦了，我觉得一个折中的办法就是，多画图，少解释。
差不多了就继续刷题，只要刷得下去。
这就有点好比小娃还没说话时建立 “苹果” 的概念。你跟小娃解释一千遍也不一定管
用，天知道小娃大脑里的苹果概念是啥样子不是？
我们能做的，就是手里拿个苹果，然后如果小娃把冰箱还是衣柜还是垃圾桶里的苹果都
给找出来了，那就行了。甭管小娃能不能说苹果那个字，那个是 ELA 的事儿。如果小
娃把梨子也拿出来的，那所要做的是，就是让小娃对着苹果咬一口，再对着梨子咬一口。
咱吃水果，不费劲解释。
// run
【在 p**f 的大作中提到】
: 好吧，我不再花时间跟你讨论了。祝你好运。
: 我之所以多看了这个帖子几眼，主要原因是我最近也在思考如何推孩子数学的事情。
:
: 尘。
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t******l
发帖数: 10908 | 153 或者说，其实我觉得这就是 zone of proximal development 的具体实现的方式
之一。
【在 t******l 的大作中提到】
: 我发这个帖子的目的之一，就是觉得有学校数学教育方方面面都搞上基础的前提下，
: over-explanation 的意义，还不如 challenge-resolution。（当然题目的难度
: 范围是不是适合，也是一个讨论话题）。
: 或者说，吉米多维奇也有人家一定的道理。具体对于这个题的例子而言：
: 虽然我目前不会搞这种题，这留到将来代数学好以后再说。但拿这题做例子，我就算
: over-explanation，娃也不一定 take 我认为好的 explanation。（或者也可能
: 我的 explanation 就是错的）。
: 我觉得简单 explanation -- 也就是把自己心里所想的 mathematical structure
: 在空间里比划出来，简单解释一下就完了。然后要再有争议，不如把正四面体、正六面
: 体、正十二面体，每色上一面、每色上两面、每色上三面、组合的情况都搞一搞。能
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m**k
发帖数: 18660 | 154 潮水兄换id了？
【在 t******l 的大作中提到】
: 为了让本版的档次超过 3×5 的 CCSS math explanation，
: 俺自告奋勇来从某华罗庚小学扣篮题的角度探讨一下算术思维
: vs 代数思维，以及群众喜闻乐见的 Common Core Math
: Explanation：
: ================================================
: 某华罗庚小学扣篮题的题目如下：
: 某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面
: 分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面．
: 当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在
: 位置相同时，它们就被看作是同一种积木块．试说明：
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m**k
发帖数: 18660 | 155 潮水兄换id了？
【在 t******l 的大作中提到】
: 为了让本版的档次超过 3×5 的 CCSS math explanation，
: 俺自告奋勇来从某华罗庚小学扣篮题的角度探讨一下算术思维
: vs 代数思维，以及群众喜闻乐见的 Common Core Math
: Explanation：
: ================================================
: 某华罗庚小学扣篮题的题目如下：
: 某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面
: 分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面．
: 当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在
: 位置相同时，它们就被看作是同一种积木块．试说明：
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t******l
发帖数: 10908 | 156 属实。
属于中原大战被包饺子后，乔装易服鼠窜的路程中
【在 m**k 的大作中提到】
: 潮水兄换id了？
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m**k
发帖数: 18660 | 157 好久不来 还有这剧情。。奥数推到咋样了
【在 t******l 的大作中提到】
: 属实。
: 属于中原大战被包饺子后，乔装易服鼠窜的路程中
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t******l
发帖数: 10908 | 158 不算奥数，是美国数学计算题。
俺现在早已不想啥奥数了。不过意外的收获是，俺家那个贪玩不靠谱的大娃，六年级进
初中，把分数搞成一团糟。目前就靠在自家搞一搞美国数学计算题，还算自己给自己找
回点场子。
所以现在娃还算有动力，也庆幸当初四年级开搞点 MOEMS，不至于现在六年级手足无措
。至于奥不奥，娃没有那资质，我们也无所谓，目前这样已经觉得值了。
【在 m**k 的大作中提到】
: 好久不来 还有这剧情。。奥数推到咋样了
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