S*E
发帖数: 3662 | 1 请教一道作业题。
已知A和B是Hilbert空间上的闭算子，满足AB-BA=I，I是恒等算子。
是否可能A或B是有界算子？如何证明？ |
Q******g
发帖数: 607 | 2 [x,p]=i
but x and p are unbounded.
【在 S*E 的大作中提到】
: 请教一道作业题。
: 已知A和B是Hilbert空间上的闭算子，满足AB-BA=I，I是恒等算子。
: 是否可能A或B是有界算子？如何证明？
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g****c
发帖数: 20 | 3 lz意思是不是就是要证ab不可能是有界算子？
【在 Q******g 的大作中提到】
: [x,p]=i
: but x and p are unbounded.
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M********t
发帖数: 588 | 4 这偏数学了点吧……
谁先说说闭算子和有界算子的定义？
【在 S*E 的大作中提到】
: 请教一道作业题。
: 已知A和B是Hilbert空间上的闭算子，满足AB-BA=I，I是恒等算子。
: 是否可能A或B是有界算子？如何证明？
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e**********n
发帖数: 359 | 5 我猜一定不是有界的。略去许多细节不说，对于一般的非对易算子，可以在一定条件下
证明：
< (\Delta A)^2> <(\Delta B)^2> >= |<[A,B]>|^2/4。
现在此不等式右端为1／4，只要取平均的态充分接近B的某个本征态，则A的“误差”必
然可以任意大。所以A不可能是有界的。
具体的例子如位置，动量，产生，湮灭都不是有界算符。 |
S*E
发帖数: 3662 | 6 就是要证明A和B都不是有界算子。
【在 g****c 的大作中提到】
: lz意思是不是就是要证ab不可能是有界算子？
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S*E
发帖数: 3662 | 7 要么就把闭算子改成自共轭算子好了，即存在特征谱的分解。
【在 M********t 的大作中提到】
: 这偏数学了点吧……
: 谁先说说闭算子和有界算子的定义？
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Q*T
发帖数: 263 | 8 Just recall how you prove that momentum is the generator of
translation group.
You can do similar things to A or B to show that their
eigenvalues are not bounded.
【在 S*E 的大作中提到】
: 请教一道作业题。
: 已知A和B是Hilbert空间上的闭算子，满足AB-BA=I，I是恒等算子。
: 是否可能A或B是有界算子？如何证明？
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b*****d
发帖数: 271 | 9 Tr[AB-BA]=Tr[AB]-Tr[BA]=Tr[AB]-Tr[AB]=0
while Tr[I] != 0
done.
【在 S*E 的大作中提到】
: 请教一道作业题。
: 已知A和B是Hilbert空间上的闭算子，满足AB-BA=I，I是恒等算子。
: 是否可能A或B是有界算子？如何证明？
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M********t
发帖数: 588 | 10 ?do you mean AB-BA can not be I?
【在 b*****d 的大作中提到】
: Tr[AB-BA]=Tr[AB]-Tr[BA]=Tr[AB]-Tr[AB]=0
: while Tr[I] != 0
: done.
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e**********n
发帖数: 359 | 11 Good only if trace is well defined, but trace may not exist for bounded
operators on an infinite dimensional
space.
【在 b*****d 的大作中提到】
: Tr[AB-BA]=Tr[AB]-Tr[BA]=Tr[AB]-Tr[AB]=0
: while Tr[I] != 0
: done.
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R*********r
发帖数: 1855 | 12 闭图像定理：Banach空间到Banach空间的闭线性算子是连续的。
在整个Hilbert空间上有定义的连续线性算子必定是有界的。 |
R*********r
发帖数: 1855 | 13 例子：H=l^2，A_{ij}=i*\delta_{i+1,j}，B_{ij}=\delta_{i,j+1}，A是闭算子，B有界，满足AB-BA=I。
注意这里的A对H中的元x={1,1/2,1/3,……}是没有定义的。 |
e**********n
发帖数: 359 | 14 A，B 类似于湮灭，产生算子。这些算子并不是在全空间上有定义的。当然首先要确定
什么是全空间，除了平方可积，还有
别的条件，比如有限能量。
有界，满足AB-BA=I。
【在 R*********r 的大作中提到】
: 例子：H=l^2，A_{ij}=i*\delta_{i+1,j}，B_{ij}=\delta_{i,j+1}，A是闭算子，B有界，满足AB-BA=I。
: 注意这里的A对H中的元x={1,1/2,1/3,……}是没有定义的。
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R*********r
发帖数: 1855 | 15 你没看明白这两条定理意味着什么。
1. 闭图像定理：Banach空间到Banach空间的闭线性算子是连续的。
2. 在整个Hilbert空间上有定义的连续线性算子必定是有界的。
如果你坚持要求在整个Hilbert空间上都有定义，又是闭的，那么这样的算子必定是有
界的，原题无需用到AB-BA=I即可证明。
反过来说，无界线性算子的定义域不可能是Hilbert空间，也就是说定义域不可能是完
备的，作为原始Hilbert空间的子空间不是闭子空间。
【在 e**********n 的大作中提到】
: A，B 类似于湮灭，产生算子。这些算子并不是在全空间上有定义的。当然首先要确定
: 什么是全空间，除了平方可积，还有
: 别的条件，比如有限能量。
:
: 有界，满足AB-BA=I。
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C********n
发帖数: 6682 | 16 nod
你说的对
【在 R*********r 的大作中提到】
: 你没看明白这两条定理意味着什么。
: 1. 闭图像定理：Banach空间到Banach空间的闭线性算子是连续的。
: 2. 在整个Hilbert空间上有定义的连续线性算子必定是有界的。
: 如果你坚持要求在整个Hilbert空间上都有定义，又是闭的，那么这样的算子必定是有
: 界的，原题无需用到AB-BA=I即可证明。
: 反过来说，无界线性算子的定义域不可能是Hilbert空间，也就是说定义域不可能是完
: 备的，作为原始Hilbert空间的子空间不是闭子空间。
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e**********n
发帖数: 359 | 17 你没看明白原题的目的，尽管其叙述有问题，但作为一道物理习题，显然问的是广义的
不确定性原理。
闭算子无关紧要，楼主已经把条件修改过了。
如果作为一道数学习题，就象你说的，不需要AB-BA=I的条件，只问你知不知道这两条
定理，是不是太小儿科了？
【在 R*********r 的大作中提到】
: 你没看明白这两条定理意味着什么。
: 1. 闭图像定理：Banach空间到Banach空间的闭线性算子是连续的。
: 2. 在整个Hilbert空间上有定义的连续线性算子必定是有界的。
: 如果你坚持要求在整个Hilbert空间上都有定义，又是闭的，那么这样的算子必定是有
: 界的，原题无需用到AB-BA=I即可证明。
: 反过来说，无界线性算子的定义域不可能是Hilbert空间，也就是说定义域不可能是完
: 备的，作为原始Hilbert空间的子空间不是闭子空间。
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Q*T
发帖数: 263 | 18 The original question only requires "closed operator".
Here the meaning of "closed" is totally different from the
definition of "closure" for a set or vector space.
It is absolutely OK that an operator is closed, and in the
same time not defined everywhere on Hilbert space, but only
densely defined.
Such operator could be unbounded.
【在 R*********r 的大作中提到】
: 你没看明白这两条定理意味着什么。
: 1. 闭图像定理：Banach空间到Banach空间的闭线性算子是连续的。
: 2. 在整个Hilbert空间上有定义的连续线性算子必定是有界的。
: 如果你坚持要求在整个Hilbert空间上都有定义，又是闭的，那么这样的算子必定是有
: 界的，原题无需用到AB-BA=I即可证明。
: 反过来说，无界线性算子的定义域不可能是Hilbert空间，也就是说定义域不可能是完
: 备的，作为原始Hilbert空间的子空间不是闭子空间。
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R*********r
发帖数: 1855 | 19 正常Hilbert空间里的算子A、B里有任何一个是自共轭算子时都不能满足AB-BA=I
假设 A|a>=a{a>，a是实数，则==0=，矛盾
A=x，B=p/i能满足是因为=\delta(x-x')，数学上实际不能叫Hilbert空间
【在 S*E 的大作中提到】
: 要么就把闭算子改成自共轭算子好了，即存在特征谱的分解。
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e**********n
发帖数: 359 | 20 所以只谈本征值而不是自共轭。要真的搞清楚x，p、|x>, |p>非要用道点广义函数和偏
微分方程里的东西。一般的题目猜
到出题的人要问什么就万事大吉了，不用钻牛角尖。
【在 R*********r 的大作中提到】
: 正常Hilbert空间里的算子A、B里有任何一个是自共轭算子时都不能满足AB-BA=I
: 假设 A|a>=a{a>，a是实数，则==0=，矛盾
: A=x，B=p/i能满足是因为=\delta(x-x')，数学上实际不能叫Hilbert空间
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C********n
发帖数: 6682 | 21 这些东西有本书讲的比较细
Quantum Field Theory for Mathematicians
by robin ticciati
【在 e**********n 的大作中提到】
: 所以只谈本征值而不是自共轭。要真的搞清楚x，p、|x>, |p>非要用道点广义函数和偏
: 微分方程里的东西。一般的题目猜
: 到出题的人要问什么就万事大吉了，不用钻牛角尖。
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