d***u
发帖数: 19 | 1 You flip a fair coin 100 times; for each flip if you get head you win $2,
if you get tail you pay $1. You start with a capital of $50 and if you
lose all your money before the end of the game you have to stop playing.
What is the expected value of this game?
有什么巧妙的解决方法吗？谢谢:) |
d*j
发帖数: 13780 | 2 读一下绿皮书吧 。。。
这个是经典老题目了
【在 d***u 的大作中提到】
: You flip a fair coin 100 times; for each flip if you get head you win $2,
: if you get tail you pay $1. You start with a capital of $50 and if you
: lose all your money before the end of the game you have to stop playing.
: What is the expected value of this game?
: 有什么巧妙的解决方法吗？谢谢:)
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d***u
发帖数: 19 | 3 啥是绿皮书呀？。。。
【在 d*j 的大作中提到】
: 读一下绿皮书吧 。。。
: 这个是经典老题目了
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d*j
发帖数: 13780 | |
d***u
发帖数: 19 | 5 thanks
看了，可是没有找到这个题目啊：（
记得在很多地方都见过这个题目，不过面完之后回来翻了半天，都没有找到解答。您能
再多给些提示
么？
【在 d*j 的大作中提到】
: http://mitbbs.com/article1/Quant/31177335_3_1.html
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d*j
发帖数: 13780 | 6 这个就是 gambler ruin 吧 。。。
我记得绿皮书里面有详细的推导的
或者是 drunk man ? 不过那个是每次只能一步的， 很简单
【在 d***u 的大作中提到】
: thanks
: 看了，可是没有找到这个题目啊：（
: 记得在很多地方都见过这个题目，不过面完之后回来翻了半天，都没有找到解答。您能
: 再多给些提示
: 么？
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d***u
发帖数: 19 | 7 和gambler ruin不太一样。gambler ruin的停止条件是资产为0，或到达某一个给定值。
这道题的停止条件是资产为0，或者赌博次数达到100。所以不知道怎么算呢。
【在 d*j 的大作中提到】
: 这个就是 gambler ruin 吧 。。。
: 我记得绿皮书里面有详细的推导的
: 或者是 drunk man ? 不过那个是每次只能一步的， 很简单
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A***l
发帖数: 302 | 8 Wonder whether it has a close form solution.
A simple estimate is 50 + (0.5*2-0.5*1)*100 = 100 since the problem of ruin
is essentially 0.
【在 d***u 的大作中提到】
: You flip a fair coin 100 times; for each flip if you get head you win $2,
: if you get tail you pay $1. You start with a capital of $50 and if you
: lose all your money before the end of the game you have to stop playing.
: What is the expected value of this game?
: 有什么巧妙的解决方法吗？谢谢:)
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k*******d
发帖数: 1340 | 9 的确和Gamble Ruin不一样，我想试的方法是定义Mn = t^Sn，求出t让Mn是个
Martingale.
然后用Optional Stopping Theorem,但是这样只能求出E[M\tau]，然后怎么求E[S\tau]
呢？这是个非线性的关系。。。不会做了 |
k*******a
发帖数: 772 | 10 我觉得可以估算 在第n次的时候，钱<=0的概率
因为初始有50块钱， 所以n<50的时候，概率=0
n>50的时候，假设n1是出现-1的次数，那么钱数=50-n1+2*(n-n1)=50+2n-3n1
钱<=0的概率也就是n1>=(50+2n)/3的概率
因为n>50，所以n1本来是binomial分布的可以近似为normal分布
mean=n/2, SD=sqrt(n)/2
所以P(n1>(50+2n)/3)=P(z>(50/3+n/6)/SD)=P(z>100/3/sqrt(n)+sqrt(n)/3)
100/3/sqrt(n)+sqrt(n)/3>=20/3=6.67
所以P
对于每个n，钱数<0的概率小于 1.28e-11
于是，可以计算假设投完100次，对于每个n，钱数都大于0的概率
(1-P)^50=1-50*P
也就是说，中途退出的概率为 1-(1-50P)=50P=50*1.28e-11，忽略不计
这样就简单了 E(50+x1+x2+...+x100)=100 |
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G********d
发帖数: 10250 | 11 估算。。。。
你以为买菜啊
【在 k*******a 的大作中提到】
: 我觉得可以估算 在第n次的时候，钱<=0的概率
: 因为初始有50块钱， 所以n<50的时候，概率=0
: n>50的时候，假设n1是出现-1的次数，那么钱数=50-n1+2*(n-n1)=50+2n-3n1
: 钱<=0的概率也就是n1>=(50+2n)/3的概率
: 因为n>50，所以n1本来是binomial分布的可以近似为normal分布
: mean=n/2, SD=sqrt(n)/2
: 所以P(n1>(50+2n)/3)=P(z>(50/3+n/6)/SD)=P(z>100/3/sqrt(n)+sqrt(n)/3)
: 100/3/sqrt(n)+sqrt(n)/3>=20/3=6.67
: 所以P: 对于每个n，钱数<0的概率小于 1.28e-11
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k*******a
发帖数: 772 | 12 那你觉得算出来一个100.00000001的值和估算为100比有更多意义吗
【在 G********d 的大作中提到】
: 估算。。。。
: 你以为买菜啊
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G********d
发帖数: 10250 | 13 有
【在 k*******a 的大作中提到】
: 那你觉得算出来一个100.00000001的值和估算为100比有更多意义吗
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d***u
发帖数: 19 | 14 挺有道理的。
It seems that a close form is too difficult to get.
【在 k*******a 的大作中提到】
: 我觉得可以估算 在第n次的时候，钱<=0的概率
: 因为初始有50块钱， 所以n<50的时候，概率=0
: n>50的时候，假设n1是出现-1的次数，那么钱数=50-n1+2*(n-n1)=50+2n-3n1
: 钱<=0的概率也就是n1>=(50+2n)/3的概率
: 因为n>50，所以n1本来是binomial分布的可以近似为normal分布
: mean=n/2, SD=sqrt(n)/2
: 所以P(n1>(50+2n)/3)=P(z>(50/3+n/6)/SD)=P(z>100/3/sqrt(n)+sqrt(n)/3)
: 100/3/sqrt(n)+sqrt(n)/3>=20/3=6.67
: 所以P: 对于每个n，钱数<0的概率小于 1.28e-11
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d*j
发帖数: 13780 | 15 yeah .. you are right
I didnot read the entire problem .....
sorry for the misleading
值。
【在 d***u 的大作中提到】
: 和gambler ruin不太一样。gambler ruin的停止条件是资产为0，或到达某一个给定值。
: 这道题的停止条件是资产为0，或者赌博次数达到100。所以不知道怎么算呢。
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V******t
发帖数: 35 | 16 This one should have a closed form solution. You can think this is a knock-
out option pricing for random walk underlier (instead of GBM). |
s****p
发帖数: 19 | 17 Let X_1, X_2, .... be the sequence representing the money you win/lose each
time. Take t>0 s.t. (e^t+e^(-2t))/2=1. t=0.4 is a estimation. Then
e^(-tS_n) is a martingale, where S_n=X_1+...+X_n. By Doob's inequality,
P(min S_n <= -50) <=e^{-50t} ~ e^{-20} ~ 0.
So actually the ruin value of -50 is negligible and you can safely value the
game at 100. |
w*******x
发帖数: 489 | 18 感觉只能写个表达式。
如果在第n次被kick out，那么期望值会减掉（100-n)*probability
所以答案是
100 － 50*(1/2)^50 - (100-53) * 50 * (1/2)^53 - (100-56)*[(100-53-1)*50/2]*
(1/2)^56 - ....
99.999999.....
【在 d***u 的大作中提到】
: You flip a fair coin 100 times; for each flip if you get head you win $2,
: if you get tail you pay $1. You start with a capital of $50 and if you
: lose all your money before the end of the game you have to stop playing.
: What is the expected value of this game?
: 有什么巧妙的解决方法吗？谢谢:)
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