E***e
发帖数: 3430 | 1 从来没有被问过
int_0^T W(t) dt 和 int_0^T W^2(t) dt 的variance是多少这样的问题。
expectation貌似很好解因为积分可交换，可是variance咋办？
int_0^T W(t) dt 貌似可以用E(W^3)反推出来
int_0^T W^2(t) dt 貌似可以用E(W^4)反推出来
好像也都不是很简单
除了用黎曼和硬搞，有没有什么其他正经点的路数？ |
L*******t
发帖数: 2385 | 2 查Ito-Isometry
【在 E***e 的大作中提到】
: 从来没有被问过
: int_0^T W(t) dt 和 int_0^T W^2(t) dt 的variance是多少这样的问题。
: expectation貌似很好解因为积分可交换，可是variance咋办？
: int_0^T W(t) dt 貌似可以用E(W^3)反推出来
: int_0^T W^2(t) dt 貌似可以用E(W^4)反推出来
: 好像也都不是很简单
: 除了用黎曼和硬搞，有没有什么其他正经点的路数？
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L*******t
发帖数: 2385 | 3 啊没看完全你的问题，正好多涨一篇文章数。。
W^n的积分，和Expectation似乎都是可以交换的吧。。
【在 E***e 的大作中提到】
: 从来没有被问过
: int_0^T W(t) dt 和 int_0^T W^2(t) dt 的variance是多少这样的问题。
: expectation貌似很好解因为积分可交换，可是variance咋办？
: int_0^T W(t) dt 貌似可以用E(W^3)反推出来
: int_0^T W^2(t) dt 貌似可以用E(W^4)反推出来
: 好像也都不是很简单
: 除了用黎曼和硬搞，有没有什么其他正经点的路数？
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L*******t
发帖数: 2385 | 4 再涨一篇文章数，哈哈哈
这些integral是随机积分，比Riemann integral要更加一般一些。对于integrator是
bounded total variation的，是Lebesgue-Stieltjes type integral.
【在 L*******t 的大作中提到】
: 啊没看完全你的问题，正好多涨一篇文章数。。
: W^n的积分，和Expectation似乎都是可以交换的吧。。
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E***e
发帖数: 3430 | 5 简单说吧 Var(int_0^t W(s)ds) 不用黎曼和，怎么算？
【在 L*******t 的大作中提到】
: 啊没看完全你的问题，正好多涨一篇文章数。。
: W^n的积分，和Expectation似乎都是可以交换的吧。。
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E***e
发帖数: 3430 | 6 Isometry是针对伊藤积分的啊
这个问题是黎曼积分，dt不是dW(t)
怎么用Isometry？
【在 L*******t 的大作中提到】
: 查Ito-Isometry
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E***e
发帖数: 3430 | 7 补充一下：
我只是闲的D疼把以前见过的所有积分问题都捞出来总结在一起，
发现从来没人问过int_0^T W(t) dt 和 int_0^T W^2(t) dt 的variance
expectation有被问过，本学渣觉得积分交换即可解决。
不知variance是太简单了懒得问还是太麻烦了？ |
L*******t
发帖数: 2385 | 8 啊啊啊啊，我傻了。曲解了你的意思。
还有个方法一定灵，就是Monte Carlo。。。
我觉得黎曼和可以做，证明收敛也不是很难。
【在 E***e 的大作中提到】
: 简单说吧 Var(int_0^t W(s)ds) 不用黎曼和，怎么算？
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E***e
发帖数: 3430 | 9 应该不用烦Monte Carlo，
所以说除了黎曼和硬干，没啥其他高大上办法了。。。
【在 L*******t 的大作中提到】
: 啊啊啊啊，我傻了。曲解了你的意思。
: 还有个方法一定灵，就是Monte Carlo。。。
: 我觉得黎曼和可以做，证明收敛也不是很难。
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L*******t
发帖数: 2385 | 10 不知道了。。期待高人点破。。。
【在 E***e 的大作中提到】
: 应该不用烦Monte Carlo，
: 所以说除了黎曼和硬干，没啥其他高大上办法了。。。
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E***e
发帖数: 3430 | 11 想想应该也没太高大上的，就像 int_0^t x dx，能玩出啥花来。。。
【在 L*******t 的大作中提到】
: 不知道了。。期待高人点破。。。
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E***e
发帖数: 3430 | |
L*******t
发帖数: 2385 | 13 被他自己删掉了可能。。
：為什麼xiaojiya的回复看不到。。。 |
x******a
发帖数: 6336 | 14 Could you show me Riemann sum approach? Thanks.
【在 E***e 的大作中提到】
: 為什麼xiaojiya的回复看不到。。。
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a********e
发帖数: 5 | 15 1.把W_t写成ito积分，交换积分顺序，对dt积分，再用ito isometry弄ito积分
int_0^T W_t dt
= int_0^T int_0^t dW_u dt
= int_0^T (int_u^T dt) dW_u
= int_0^T (T-u) dW_u
Var = int_0^T (T-u)^2 du = T^3/3
2.比1.多一步，W^2 用ito lemma搞出 d(W_t)^2 = 2W_t dW_t + dt
即 (W_t)^2 = int_0^t 2 W_u dW_u + t 可以把t扔了，不影响var
所以 int_0^T (W_t)^2 dt = 2 int_0^T (int_u^T dt) W_u dW_u + (deterministic)
Var = 4 E[int_0^T (T-u)^2 (W_u)^2 du]
= 4 int_0^T (T-u)^2 u du
= T^4/3 |
L*******t
发帖数: 2385 | 16 大赞！学习了！
：1.把W_t写成ito积分，交换积分顺序，对dt积分，再用ito isometry弄ito积分
： |
E***e
发帖数: 3430 | 17 敬英雄一杯
第二題算出來不知為啥有點不一樣不過不重要了，回頭我再查查
【在 a********e 的大作中提到】
: 1.把W_t写成ito积分，交换积分顺序，对dt积分，再用ito isometry弄ito积分
: int_0^T W_t dt
: = int_0^T int_0^t dW_u dt
: = int_0^T (int_u^T dt) dW_u
: = int_0^T (T-u) dW_u
: Var = int_0^T (T-u)^2 du = T^3/3
: 2.比1.多一步，W^2 用ito lemma搞出 d(W_t)^2 = 2W_t dW_t + dt
: 即 (W_t)^2 = int_0^t 2 W_u dW_u + t 可以把t扔了，不影响var
: 所以 int_0^T (W_t)^2 dt = 2 int_0^T (int_u^T dt) W_u dW_u + (deterministic)
: Var = 4 E[int_0^T (T-u)^2 (W_u)^2 du]
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E***e
发帖数: 3430 | 18 手懶沒有具體算
W積分那個應該是寫成黎曼和就是一段段獨立的Gaussian increment
然後總和的variance就相當於每個variance加起來
最後取下極限
W^2積分那個類似道理但是好像變成Chi2了？
variance也是可以算的吧
感覺都不是很好玩就省下時間去鼓搗別的了
【在 x******a 的大作中提到】
: Could you show me Riemann sum approach? Thanks.
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L*******t
发帖数: 2385 | 19 也算我一杯。完全是HJM的那套做法。
我完全忘记了。
【在 E***e 的大作中提到】
: 敬英雄一杯
: 第二題算出來不知為啥有點不一樣不過不重要了，回頭我再查查
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E***e
发帖数: 3430 | 20 現在的感覺，就是再在業界用那些標準的模型結論，日復一日的混下去，早晚要腦死亡
。以後要強迫自己學一些有點難度的東西，哪怕是把上學時急功近利跳過的推倒證明啥
一一補上，也不能看著自己滑向腦死亡。。。
【在 L*******t 的大作中提到】
: 也算我一杯。完全是HJM的那套做法。
: 我完全忘记了。
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s*****u
发帖数: 164 | 21 E[int_0^T W(t) dt int_0^T W(u) du]
= int_0^T dt int_0^T du E[W(t)W(u)]
= int_0^T dt int_0^T du [t theta(u-t) + u theta(t-u)]
= int_0^T dt int_0^t u du + int_0^T du int_0^u t dt
= int_0^T (t^2/2) dt + int_0^T (u^2/2) du
= int_0^T t^2 dt
= T^3/3
theta is the heaviside function
【在 E***e 的大作中提到】
: 从来没有被问过
: int_0^T W(t) dt 和 int_0^T W^2(t) dt 的variance是多少这样的问题。
: expectation貌似很好解因为积分可交换，可是variance咋办？
: int_0^T W(t) dt 貌似可以用E(W^3)反推出来
: int_0^T W^2(t) dt 貌似可以用E(W^4)反推出来
: 好像也都不是很简单
: 除了用黎曼和硬搞，有没有什么其他正经点的路数？
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x******a
发帖数: 6336 | 22 I like avalanchee's approach. simonwu's approach is straightforward.
Another way is to apply Ito's Lemma to (X_s)^2 where X_s =int_0^s W(t)dt and
then to take Ito's integral of (X_s)^2 from 0 to T, you will find something
similar to simonwu's.
【在 E***e 的大作中提到】
: 手懶沒有具體算
: W積分那個應該是寫成黎曼和就是一段段獨立的Gaussian increment
: 然後總和的variance就相當於每個variance加起來
: 最後取下極限
: W^2積分那個類似道理但是好像變成Chi2了？
: variance也是可以算的吧
: 感覺都不是很好玩就省下時間去鼓搗別的了
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E***e
发帖数: 3430 | |
L*******t
发帖数: 2385 | 24 你到底在工作还是上学啊？
【在 E***e 的大作中提到】
: 感謝各位大牛，感覺學白上，唉
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L*******t
发帖数: 2385 | 25 赞各位大牛。
学习了。
这些帖子很有趣。
and
something
【在 x******a 的大作中提到】
: I like avalanchee's approach. simonwu's approach is straightforward.
: Another way is to apply Ito's Lemma to (X_s)^2 where X_s =int_0^s W(t)dt and
: then to take Ito's integral of (X_s)^2 from 0 to T, you will find something
: similar to simonwu's.
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