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发帖数: 1828 | 1 标准差（Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（
statistical dispersion）上的测量。标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体
间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：
1. 为非负数值，
2. 与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所
差别。其公式如下所列。
标准差的观念是由卡尔·皮尔逊 (Karl Pearson)引入到统计中。
目录
[隐藏]
* 1 阐述及应用
* 2 标准差的定义及简易计算公式
o 2.1 标准计算公式
o 2.2 简化计算公式
o 2.3 随机变量的标准差计算公式
o 2.4 样本标准差
o 2.5 连续随机变量的标准差计算公式
o 2.6 标准差的性质
* 3 范例
* 4 正态分布的规则
* 5 标准差与平均值之间的关系
* 6 几何学解释
* 7 外部链接
[编辑] 阐述及应用
简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标
准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值
较接近平均值。
例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二个集
合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值
集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准
差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较
），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值
范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离
过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定
，风险亦较小。
[编辑] 标准差的定义及简易计算公式
[编辑] 标准计算公式
假设有一组数值X_1, X_2, \cdots, X_N（皆为实数），其平均值为：
\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i.
此组数值的标准差为：
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}.
[编辑] 简化计算公式
上述公式可以变换为一个较简单的公式：
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \mu^2}.
上述代数变换的过程如下：
\begin{align} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2 & = {} \sum_{i=1}^N (x_i^2 - 2
x_i\mu + \mu^2) \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \left(2 \mu \sum
_{i=1}^N x_i\right) + N\mu^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2 \
mu (N\mu) + N\mu^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2N\mu^2 + N\
mu^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - N\mu^2. \end{align}
[编辑] 随机变量的标准差计算公式
一随机变量 X 的标准差定义为：
\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\
operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}.
须注意并非所有随机变量都具有标准差，因为有些随机变量不存在期望值。 如果随机
变量 X 为 x_1, \cdots, x_n 具有相同机率，则可用上述公式计算标准差。
[编辑] 样本标准差
在真实世界中，除非在某些特殊情况下，找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大
多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。
从一大组数值X_1, \cdots, X_N当中取出一样本数值组合 x_1, \cdots, x_n : n < N
，常定义其样本标准差：
s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} .
样本方差 s2 是对总体方差σ2的无偏估计。 s 中分母为 n - 1 是因为 \left( x_i -
\bar{x} \right) 的自由度为 n − 1 ，这是由于存在约束条件 \sum_{i=1}^{N
}\left(x_i - \bar{x}\right) = 0 。
[编辑] 连续随机变量的标准差计算公式
概率密度为 p(x) 的连续随机变量 x 的标准差是：
\sigma = \sqrt{\int (x-\mu)^2 \, p(x) \, dx}
其中
\mu = \int x \, p(x) \, dx
[编辑] 标准差的性质
对于常数 c 和随机变量 X 和 Y：
σ(X + c) = σ(X)
\sigma(cX)=c\cdot\sigma(X)
\sigma(X+Y) = \sqrt{ \sigma^2(X) + \sigma^2(Y) + 2\cdot\mbox{cov} (X,Y)}
其中： cov(X,Y) 表示随机变量 X 和 Y 的协方差。
[编辑] 范例
这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为 { 5, 6, 8, 9 } ：
第一步，计算平均值 \overline{x}
\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i.
n = 4 （因为集合里有 4 个数），分别设为：
x_1 = 5\,\!
x_2 = 6\,\!
x_3 = 8\,\!
x_4 = 9\,\!
\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i 用 4 取代 N
\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right )
\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( 5 + 6 + 8 + 9 \right )
\overline{x}= 7 此为平均值。
第二步，计算标准差 \sigma\,\!
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}
\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - \overline{x})^2}
用 4 取代 N
\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2} 用 7 取代 \
overline{x}
\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (x_1 - 7)^2 + (x_2 - 7)^2 + (x_3 - 7)
^2 + (x_4 - 7)^2 \right ] }
\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (5 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (
9 - 7)^2 \right ] }
\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 \right ) }
\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( 4 + 1 + 1 + 4 \right ) }
\sigma = \sqrt{\frac{10}{4}}
\sigma = 1.5811\,\! 此为标准差。
[编辑] 正态分布的规则
深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率
为全部数值之 68% 。 根据正态分布，两个标准差之内（深蓝，蓝）的比率合起来为
95% 。根据正态分布，三个标准差之内（深蓝，蓝，浅蓝）的比率合起来为 99% 。
在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的机率分布。若其假设正确，则约
68% 数值分布在距离平均值有 1 个标准差之内的范围，约 95% 数值分布在距离平均
值有 2 个标准差之内的范围，以及约 99.7% 数值分布在距离平均值有 3 个标准差之
内的范围。称为 "68-95-99.7 rule"。
[编辑] 标准差与平均值之间的关系
一组数据的平均值及标准差常常同时作为参考的依据。从某种意义上说，如果用平均值
来考量数值的中心的话，则标准差也就是对统计的分散度的一个"自然"的测度。因为由
平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。较确切的叙述为：设 X_1, \
cdots, X_N为实数，定义函数
\sigma(r) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - r)^2}
使用微积分或者通过配方法，不难算出 σ(r) 在下面情况下具有唯一最小值：
r = \overline{x}
[编辑] 几何学解释
从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 n 维空间的一个点到一条直线的距离
的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，X1,X2,X3。它们可以在3维空间中确
定一个点 P = (X1,X2,X3)。想像一条通过原点的直线 L = {(r, r, r) : r \in \
mathbb{R}}。如果这组数据中的3个值都相等，则点 P 就是直线 L 上的一个点，P 到
L 的距离为0, 所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点 P 作垂线 PR 垂直于 L，
PR 交 L 于点 R，则 R 的坐标为这3个值的平均数：
R = (\overline{x},\overline{x},\overline{x})
运用一些代数知识，不难发现点 P 与点 R 之间的距离(也就是点 P 到直线 L 的距离)
是\sigma \sqrt{3}。在 n 维空间中，这个规律同样适用，把3换成 n 就可以了。
[编辑] 外部链接
* Standard Deviation Calculator 标准差计算器（英文） | z**c
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