s******y
发帖数: 28562 | 1 哎，我觉得你们几个吧，太拘泥于一些抽象的概念了，而根本没有理解胡总的题目是什
么意思。你这都说的什么呀？
胡总说的这个问题，在物理意义上其实就是这样的：
有一个数轴杆，上面刻了0，1，2，3，等等数字，同时也刻了无理数的点比方说Pi，e,
和根号2。姑且先把这个称为旧体系。由于你我都知道的原因，在这个体系里，无理数
的那些刻度是不能用上面的有理数来标定的。然后胡总的问题就是，如果选用其中一个
无理数（比方说Pi)来作为刻度，那么是否可以在这个度量的新体系里让另外一个旧体
系里的无理数的刻度变成有理数？我本来以为是有可能的，但是后来另外一个网友提醒
了一下之后我醒悟过来，觉得是凡是能够通过改换度量来转换成有理数的，都不是真正
的无理数（这个也是我支持的观点）。而在旧体系里面的自然数刻度，在新体系里突然
就变成无理数了。
至于你一直说的这个一个完整的数字体系不能没有1什么的，其实你是把旧体系里的有
理数和新体系里的有理数搞混淆了，你白白说了半天，其实都是针对一个错的靶在开枪
。我说的那个“原有的有理数会变成无理数”，其实是指在那个用原来的1做度量的体
系里的有理数，在用以前的那个Pi做度量... 阅读全帖 |
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l*********g
发帖数: 1729 | 2 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: laolongwang (老龙王), 信区: Military
标 题: 我关于无理数的重大猜想
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jul 1 22:43:43 2014, 美东)
最近对无理数特别感兴趣，没有事情做就思考了几天，想到下面这个有趣的“猜想”。
无理数：有无限不循环位数，我们是否可以把无理数这么分为2类呢?
第1类是纯粹比较“无理”，就是它的每位数变化之间毫无任何关系，这样就会有一个
好玩的现象。
就像丢硬币，每次之间的到底是正还是反都没有任何关系，即使概率再小，只要我们无
穷地抛，我们总可以在每个时刻得到连续10000个正面。那么，如果对于某些比较“无
理”得无理数，它们会不会具有像硬币类似的杂乱无章的性质？感觉越是杂乱无章，其
实越是有序越好研究。正因为硬币的杂乱无章，我们总可以得到10000个连续的正面；
正因为无理数的杂乱无章，我们是否可以得到任意的数字组合？比如，在圆周率pai的
展开里，我们是不是某个时刻会看到连续10000个1？或者是1234567890这个组合？感觉
只要足够的杂乱无章，... 阅读全帖 |
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l*********g
发帖数: 1729 | 3 最近对无理数特别感兴趣，没有事情做就思考了几天，想到下面这个有趣的“猜想”。
无理数：有无限不循环位数，我们是否可以把无理数这么分为2类呢?
第1类是纯粹比较“无理”，就是它的每位数变化之间毫无任何关系，这样就会有一个
好玩的现象。
就像丢硬币，每次之间的到底是正还是反都没有任何关系，即使概率再小，只要我们无
穷地抛，我们总可以在每个时刻得到连续10000个正面。那么，如果对于某些比较“无
理”得无理数，它们会不会具有像硬币类似的杂乱无章的性质？感觉越是杂乱无章，其
实越是有序越好研究。正因为硬币的杂乱无章，我们总可以得到10000个连续的正面；
正因为无理数的杂乱无章，我们是否可以得到任意的数字组合？比如，在圆周率pai的
展开里，我们是不是某个时刻会看到连续10000个1？或者是1234567890这个组合？感觉
只要足够的杂乱无章，任意组合都会在某个时刻出现。多么神奇啊？
第2类是比较“有理”。虽然它有无限不循环位数，但是它的这些数字有些联系，所以
不可能得到某些特定组合？比如是否可以证明11111这个组合不可能出现在根号2里？（
打个比方，我不知道是否对）
那么我们平时见到的无... 阅读全帖 |
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s******y
发帖数: 28562 | 4 你要这么说也没有错，原来的问题问的本来就是一个物理问题。就是在某个度量单位下
的无理数，换了另外一个单位来衡量是否会变成有理数。我的理解就是，除非那个新换
的单位就是这个无理数本身，否则在这个新单位内部的原来的无理数还是一个无理数，
虽然和以前的那个无理数的表面上的数值可能变了。比方说，原来的那个e的点，在用
Pi做单位（1）之后,在新体系内部的表面数值就成了e/Pi, 但是这个仍然是一个无理数。
这个问题也许问得不严格，但是如果你什么都要求别人先学了数论然后按照严格的定义
来问是不现实的。而且你们讨论半天，讨论的都不是别人原先问的问题。 |
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C**o
发帖数: 10373 | 5 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: OverCloud (天马行空), 信区: Military
标 题: Re: 一个直线上是不是除了有理数无理数就没别的了？
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Dec 6 21:53:34 2012, 美东)
实数连续性的奥秘
整数由小到大的变化是跳跃式的．从1跳到2，跨过了许多分数．有理数从1变到2，中间
似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白．其实有理数从
l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，例如．
有理数再添上无理数，凑成全体实数．我们说，实数是可以连续变化的．说变量x
从O变到1，是说x要取遍0到1之间的一切实数．
在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴．数轴上的每个
点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数可以连续变化，就是说
点可以在数轴上连续地运动．
如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？
设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截．这一刀一定会砍在某个点上，即
砍中了一个实数．如果能够砍在一个缝... 阅读全帖 |
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x******g
发帖数: 318 | 6 a1,..an,b1,...,bn均为整数,且对于任意的i≠j,不存在整数k,使得ai^k=aj，且存在
一个i，logai(bi)为无理数
则：loga1(b1)+loga2(b2)+...+logan(bn)为无理数?
这个问题是模仿[b][url=http://218.1.231.240/iqbbs/dispbbs.asp?boardID=9&ID=151306]无理数的和还是无理
数?[/url][/b]提出的，但我并不能从直觉上把握它,问题的叙述仅仅是去掉了一些显
然的例外情况,可能还有一些显然的例外被漏掉.为了验证一下这个猜想的合理性，大
家不妨先考虑一个最简单的问题：证明或否定,log2(p)+log3(q) (其中至少有一个是
无理数)是无理数. |
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m****d
发帖数: 12 | 7 正整数之正无理数次方为无理数的一个初等证明
摘要：例如要证明2^\pi为无理数，我们首先将\pi展开，得到两个形式：一个是
\pi=3.14159265...=3*1+1*1/10+1*1/25+1*1/1000+1*1/2000... (*)
一个是：
\pi=3.14159265...=3*1+1*1/10+1*4/100+1*1/1000+1*5/10000... (**)
显然，(*)和(**)是等价的。然后，证明：
2^\pi=
2^3*2^(1/10)*2^(1/25)*2^(1/100)*2^(1/2000)*2^(1/10000)*2^(-100000)*...
是由至多有限个正整数与无穷多个无理数之积，由数学归纳法可知，2^\pi也是一个无
理数。
引理：任何一个正无理数都可以表示为：
w=k_1*1+k_2*(1/2)+k_3*(1/3)+...，其中k_1是自然数，k_i=0或1或-1,i=2,3,...(1)
证明：
任何一个正无理数都可以表示成无限不循环小数的形式，即：
w=k_0*d_0+k_1*d_1 |
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O*******d
发帖数: 20343 | 8 好像记得以前学过，有理数不是连续的，因为中间有无理数，无理数也不是连续的，因
为中间有有理数，但实数是连续的，就是说有理数和无理数一起就是连续的，也就是说
一条直线上，只有有理数和无理数。 |
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O*******d
发帖数: 20343 | 9 实数连续性的奥秘
整数由小到大的变化是跳跃式的．从1跳到2，跨过了许多分数．有理数从1变到2，中间
似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白．其实有理数从
l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，例如．
有理数再添上无理数，凑成全体实数．我们说，实数是可以连续变化的．说变量x
从O变到1，是说x要取遍0到1之间的一切实数．
在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴．数轴上的每个
点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数可以连续变化，就是说
点可以在数轴上连续地运动．
如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？
设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截．这一刀一定会砍在某个点上，即
砍中了一个实数．如果能够砍在一个缝隙上，数轴就不算连续的了．
设数轴是从点A处被砍断的．这个点A在哪半截数轴上呢？答案是不在左半截上，就
在右半截上．这是因为点不可分割，又不会消失，所以不会两边都有，也不会两边都没
有．
从以上的假想中领会到所谓数轴的连续性，就是不管把它从什么地方分成两半截，
总... 阅读全帖 |
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m*****n
发帖数: 3575 | 10 建议你不要对自己完全不懂的两个领域发言
无理数存在，只存在于数学家自说自话的定义中
事实上，直接能对应现实数量的无理数是不存在的
三次数学危机就是驳的这个
最后无理数来个公理化体系，已经完全不要脸了，就是现实数量如何咱不管
无理数的定义就是一种规则，就是一种下棋方法
根号2是怎么定义的？
平方小于2的所有正有理数的集合
对，一个无理数得靠无穷个分数来聚合出来
这就是掩盖无理数在自然中根本不存在的文字游戏 |
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s******y
发帖数: 28562 | 11 当然有差别。比方说在这个体系内部，圆周率就不是无理数了，但是我们在自然数体系
里面定义的其他有理数和其他无理数，就会统统变成无理数。这个也就是其他网友想问
的问题的答案。
但是。成为无理数不等于他们就不存在了。这个似乎是你混淆的一个地方（？）
即使用Pi来进行标定，各种自然数，1,2,3什么的，仍然是客观存在的，仍然是可以运
算的，只不过不可以用Pi来作为度量准确标定而已。如果你高兴的话，可以用其他符号
比方说a,b,c来代表Pi体系内的1,2,3,一样可以。 |
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l*********g
发帖数: 1729 | 12 中学的时候，老师教过我们证明根号2是无理数，只是提到了圆周率pai是无理数，我自
己试着证明了一下，发现不会证明。这里有人有提示么？
或者是pai的平房，3次方，任意整数次方，任意（非零）有理数方是否都是无理数？如
何证明？
这可以作为一个好的课题供我消磨时间吗？ |
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y*j
发帖数: 3139 | 13 pi + e 是不是无理数到现在都不知道，还是open question.
如果你证明了，你就出名了。
：比如Pi的e次方，e的e次方，e的Pi次方，Pi的Pi次方。。。
：每个问题，是不是要构造一个独特的证明，还是有一般的证明方法？
：退化的问题，就是如何证明Pi是无理数，e是无理数，这里面最简单的了。 |
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b*******8
发帖数: 37364 | 14 但更多的无理数的无理数次方是无理数，几乎概率是1 |
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S*****n
发帖数: 4185 | 15 一说起无理数就是一堆奇葩的数学，其实不过是定义不同。
假如采用13进制，那1/13就是有理数，1/10反倒是无理数了。
无理数就是一个人为定义的结果，有什么好一惊一乍的？
数学果然很无聊。 |
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A**H
发帖数: 4797 | 16 你是不是说非圆弧的，平的直线的长度也可以是无理数？
我想了想，是不是娃的那段话里面假定了“只要是圆弧，那就是必须是无理数”，这样
一来，也就是说假定了圆周长是无理数，这就是循环论证了。。。 |
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a****l
发帖数: 8211 | 17 就算是错觉又有什么问题？关键在于，这里的小孩能准确的弄清楚无限不循环的是无理
数就已经不错了，如果能说的清楚为什么不能写成分数形式的是无理数就已经可以算数
学神童了。就算中国的小朋友数学学的好，能说清楚这个道理的也是极少比例的。就算
是中国顶级大学的理工科研究生博士生，能讲的清无理数的原理的估计也不多，几乎很
少有人的工作需要明白无理数的原理。所以说，错就错吧，反正几乎是不可能遇到这个
错误会导致任何问题的地方，如果这的确是一个错误的话。 |
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A**H
发帖数: 4797 | 18 请教学术版。。。
【 以下文字转载自 Parenting 讨论区 】
发信人: APHH (hutu), 信区: Parenting
标 题: 求教：今天娃问我，PI为什么是无理数
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Nov 28 23:12:40 2015, 美东)
今天晚上吃饭的时候和我儿子讨论了他正在研究的“质数推导公式”之后，儿子忽然说
他知道为什么派是无限的 --- 他还不知道无理数这个概念 --- 我自己从来没有想过这
个问题，所以就让儿子说来听听他的解释，见下。
既然圆面积是派啊平方，如果派是有限的（注，有理数），那么当年把无限小的一小截
圆弧放大的话，这一小截圆周那它应该是平的（直线），而不是圆弧。（注，换句话说
，也就是）因为圆周任何无限小的一小截圆弧都不是直线，所以派必须是无限的（注，
无理数）。
上面是解释，我觉得似乎有点道理，但是又觉得中间似乎有些没有完全连接起来。我放
了狗搜索了一下，找到这个：
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
但是我也不是很懂，没怎么学高数。。。:... 阅读全帖 |
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s******y
发帖数: 28562 | 19 哦！ 谢谢解释！ 这么说我原来的解释是不完善的。那么用一个无理数做数轴应该也不
能逼近另外一个无理数吧？
从这个意义上来说，无理数和质数是有共通之处的吧？ |
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s******y
发帖数: 28562 | 20 在我理解中，其他不是由π衍生来的无理数（比方说e）在π数轴上会仍然是无理数。
无理数和质数的共同性就是他们每一个都各自是一个独立的宇宙。 |
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H******7
发帖数: 34403 | 21 Pi如果是有理数，那1，2，3，4就是无理数，2Pi, 3Pi就是无理数X有理数当然就是无
理数，怎么可能？
换言之，如果Pi是有理数，那么 世界上可能就只有一个有理数，其他都是无理数 |
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z*********n
发帖数: 94654 | 22 我估计数学上有个术语，不知道是啥术语，也就是不同的无理数，不能是某个无理数简
单倍数
不想管的无理数之间能不能得出有理数，我看维基上说是不知道，这是不是个啥猜想啊
，啥皇冠明珠啊 |
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s******y
发帖数: 28562 | 23 我晕，我都已经说过了，必须是不同的无理数！比方说根号2和派之间那种。
你这个仍然是同一个无理数的衍生品，本质上还是同一个无理数！ |
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l*****8
发帖数: 16949 | 24 不对，和维数无关。有理数的问题不是不稠密，而是不完备。我提到柯西序列只是为了
说话严密一点。其实柯西序列就是收敛数列，比如1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,...这个序列
每一个数都是有理数，但它的极限是黄金分割比,是个无理数。所以必须拓展到无理数。
无理数理论上可以再拓展而仍然自洽，所谓非标准分析就是干这个的。但这个拓展类似
于非欧几何，不是必须的了。
transformation |
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o*******k
发帖数: 357 | 25 这个直觉将无限（极限）的概念和无限不循环小数连起来。 不过这个直觉是错的。
正多边形的周长也（应该都）是无理数 （假定圆半径为1， 多边形顶点到中心的距离
也是1）。
有理数和无理数是稠密的， 用这样的极限过程是没有办法直接区分一个数（像pi）是
无理数还是有理数的。
基本上， 证明一个数不是有理数都需要对这个极限过程有效的估计。（ 有这样的估计
，最后就变成0，1之间没有整数之类的结论。）
你的链接里Hermite的证明，有清晰的逻辑和过程， 你不需要知道具体的细节也大概能
看懂他的意思。
仅有一个极限过程，没有估计，是得不出来有理无理的结论的。 |
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j****c
发帖数: 19908 | 26 1、函数f(x)，当x为有理数时，f(x)=1；当x为无理数时，f(x)=0.
对f(x)在[0,1]上积分，等于多少？
2、函数f(x)，当x为有理数时，f(x)=0；当x为无理数时，f(x)=1.
对f(x)在[0,1]上积分，等于多少？ |
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d*****u
发帖数: 17243 | 27 其实无理数的一般证明很难的
比如pi+e是不是无理数？
就不那么好证明 |
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j****c
发帖数: 19908 | 28 无理数还分为代数数和超越数。
根号2是代数数，因为能由x^2=2求解得来
e pi是超越数，不能写成某个有理数方程的根
想不起来怎么证明某个无理数是不是超越数了 |
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d**********i
发帖数: 4877 | 29 关于18世纪你知道有二个在数学世界上鼎鼎有名的超越数。一个是圆周率3.1415...。
另一个是自然对数的底--- e/2.7181....。在这里要回答你的问题的确很难。 先来个
超越数证明假设 z满足 整数系数方程： F(x)=a0 +a1x+ a2x^2+....anx^n=0, (an≠0)
,但不满足更低次数的方程，这时就称z为n次代数数。 例如：√2 是一个2次代数数。
因为它满足 x^2 -2=0 ，但不满足一次方程。 2^(1/3)是一个3次代数数.... 而任何一
个 n>1 次代数数，都不可能是有理数， 因为有理数 必定满足 Qx-P=0 这个一次方程
。 而对于每一个无理数z 都能找到一个分母越来越大的有理数列 ： P1/Q1, P2/Q2 ..
.... 使得 Pr/Qr → z . 柳维尔断言 对于n>1次的任意代数数 z， 这样一个逼近，精
度必定达不到 1/(Qr)^(n+1), 即： | z - Pr/Qr |＞ 1/(Qr)^(n+1) -------(1) (1)
就是柳维尔定理 下面先来说明如何应用这个定理来 构造超越数。 取 Z =a1 10^-... 阅读全帖 |
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m***n
发帖数: 12188 | 30 有很多种证明方法，有的“复杂"（使用了现代数学手段）。有的简明直接，比如用初
等几何。如果派不是无理数，那圆就不是圆，而是多边形。
多边形走向无限，那就是圆；有理数走向无限（有限循环到无限循环），那就是无理数。 |
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b***y
发帖数: 14281 | 31 你可以这样定义，但是如果将来光速的测量精度提高了，你有两种选择，一种就是维持
1m的长度不变，修正m的定义，那么问题就是修正后的光速值和299792458的比值到底是
有理数还是无理数。或者你可以保持m的定义不变，那么问题就变成修正后的1m和现在
定义的1m的长度之比是有理数还是无理数，总之，问题本身是存在的，不会因为你定义
了就消失了。 |
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b***y
发帖数: 14281 | 32 这是谬论。随即取一段距离，如果对观测者A来说是无理数，对观测者B来说，只需要相
对速度合适，同样的距离就可以是有理数，根据相对性原理，无论对A还是对B，两者应
该得到相同的结论，所以无理数和有理数出现的概率必然相等。 |
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b*******8
发帖数: 37364 | 33 根号二，对数都很容易证明是无理数。
不放狗，没想出来如何证明圆周率是无理数。。。 |
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y*j
发帖数: 3139 | 34 你这个方法要证明两点：
质数的平方根是无理数
不同质数的平方根相乘仍然是无理数。
注意再多的举例也不能证明，因为质数的个数是无穷的。
：受不了你们了，你没考虑进位，也没考虑无限循环小数。
：正确的证明是用 UPF 素数分解唯一性 。。。 如果一个整数，分解成的素数不能成双
：成对，那么其根号不能被写成分数。 |
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s***h
发帖数: 487 | 35 我不想在老邢的器人傻叉帖子里浪费带宽。。。。。。
: 你这个方法要证明两点：
: 质数的平方根是无理数
: 不同质数的平方根相乘仍然是无理数。
: 注意再多的举例也不能证明，因为质数的个数是无穷的。
: ：受不了你们了，你没考虑进位，也没考虑无限循环小数。
: ：正确的证明是用 UPF 素数分解唯一性 。。。 如果一个整数，分解成
的素数
不能成双
: ：成对，那么其根号不能被写成分数。
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s***h
发帖数: 487 | 36 直边形状的是代数无理数 。。。 代数无理数本质上还是有限次操作 。。。 圆周率的
问题是超越数 。。。 |
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s***h
发帖数: 487 | 37 用函数导数也是隐含极限 。。。 反正证明圆周率是无理数，绕不开隐含的极限，否则
实数理论系统就塌了 。。。 当然具体证明我没看。圆周率不是根号数，是不是无理数
不影响大部分混日子马工吃饭。
: 下面油管里有个证明。在4分钟左右有一个小问题:"Reason:f(x) is polynomial
with
: integer coefficients". 这个提示是错的， however: 直接展开二项式 (a-b*x
)^n 可
: 以容易的证明 f(x) 的各阶导数在0点为整数。
: 其他的应该没问题了。
: https://www.youtube.com/watch?v=PgKmstECld0
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s***h
发帖数: 487 | 38 好吧，这个从逆向证明是不难的。也就是基于素数分解唯一性，来证明任何一个非整数
的分数的平方，其结果一定是一个非整数的分数。
这个很好证明，根据素数分解唯一性，任何非整数的分数，都可以唯一写成 (p1*p2*p3
*...*p_n)/(q1*q2*q3*...*q_n)，其中 p1 p2 ... q1 q2 均为质数，并且分子分母没
有相同的质因数，分母不为一 。。。 这样平方以后，其分子分母还是没有相同的质因
数，并且分母不为一 。。。 再根据素数分解唯一性，这不是一个整数。
然后根据以上结论（任何一个非整数的分数的平方，其结果一定是一个非整数的分数）
，得出一个整数的根号，不可能是一个非整数的分数。
而任何一个实数，要么是一个整数，要么是一个非整数分数，要么两者都不是（所谓的
无理数）。
所以得出一个整数的根号，要么是一个整数，要么是一个无理数。
QED |
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b*******8
发帖数: 37364 | 39 比如Pi的e次方，e的e次方，e的Pi次方，Pi的Pi次方。。。
每个问题，是不是要构造一个独特的证明，还是有一般的证明方法？
退化的问题，就是如何证明Pi是无理数，e是无理数，这里面最简单的了。 |
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D***I
发帖数: 1957 | 40 与希腊人不同，中国古代数学家是在开方(即解方程)的过程中遭遇无理数的. 最早记录
无理数发现的是《九章算术》. |
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A**H
发帖数: 4797 | 41 今天晚上吃饭的时候和我儿子讨论了他正在研究的“质数推导公式”之后，儿子忽然说
他知道为什么派是无限的 --- 他还不知道无理数这个概念 --- 我自己从来没有想过这
个问题，所以就让儿子说来听听他的解释，见下。
既然圆面积是派啊平方，如果派是有限的（注，有理数），那么当年把无限小的一小截
圆弧放大的话，这一小截圆周那它应该是平的（直线），而不是圆弧。（注，换句话说
，也就是）因为圆周任何无限小的一小截圆弧都不是直线，所以派必须是无限的（注，
无理数）。
上面是解释，我觉得似乎有点道理，但是又觉得中间似乎有些没有完全连接起来。我放
了狗搜索了一下，找到这个：
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
但是我也不是很懂，没怎么学高数。。。:( |
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G********r
发帖数: 3161 | 42 数学史中的故事，Hippasus以前被认为是发现无理数的鼻祖，那个年代没有无理数，据
传说，Pythagoreans派把他扔海里淹死了。呵呵。 |
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y********d
发帖数: 133 | 43 事实上是世上几乎所有的数都是无理数，无理数的数目是比有理数数目更高阶的无穷大
，听过下面这个笑话吗：
“好女孩就象有理数，理论上有无穷多，可你在数轴上任戳一个点，戳中有理数的几率
为零” |
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A**H
发帖数: 4797 | 44 这个“如果派不是无限不循环小数，那么肯定会存在一个多边形来表达圆”表达要漂亮
多了，而且有明显的数学意义，赞！
我猜想娃估计是这个意思。我可能理解成了他想表达无理数的意思，也许是有限小数和
无限小数的意思。综合各回帖，本版和学术版，娃这个想法有点意思，但是是错误的。
得让他自己去看看有理数无理数有限小数无限小数循环不循环。。。 |
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h*****m
发帖数: 1034 | 45 还在吵这个呀？ : )
严谨的数学定义是一回事，如何教给小孩是一回事，多大的小孩又是一回事。教育小孩
要与他的认知能力相适应。
如果你说的“小孩”是数学专业的学生，那自然不必说了。
可在另一贴里你第一次提出这个问题的时候，说的是小学里的“二逼老师”误人子弟。
那对于小学生你打算怎么解释“无理数“这个概念？还是说为了避免误导其中极小比例
可能成为数学家的学生，就根本就不讲。当别的孩子说圆周率是3.1415926...并用它来
计算圆周长时，你教的学生说“圆周率是一个无法用123这些数字表示的数"。那一种更
“误人子弟“？
用前沿的科学观念来说，小学中学学的那些科学知识全都不准确（或者说不严谨），要
说那些老师都是“二逼“，实在是不厚道啊不厚道。。
说到这，想起前两天儿子问我关于颜色的问题，我抓了一把各种颜色的cereal，让他把
除了绿色的都吃掉，然后告诉他说光里面有各种颜色的小粒粒，一个东西把其它颜色的
吸收了，只留下绿色的反射到我们眼睛里，我们就认为那个东西是绿色的。
跟小学老师讲无理数相比，我这不知道“二逼”到哪里去了啊，不禁汗流浃背。。。 |
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x***1
发帖数: 999 | 46 你这种定义，会产生很多问题：
孩子有可能问：不能表示为分数的数到底是一个什么样的数？
还有可能问：无理数和分数有什么区别？
还有可能问：不能表示为分数的数都是无理数数吗？
还有可能问：为什么无理数不能表示为分数？
还有可能问：sqrt2/2是分数吗？
还有可能问：Pi不就表示为分数之和了吗？
当然”无限不循环小数“对小孩也不好解释。 |
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h*****m
发帖数: 1034 | 47
不知道你自己有没有孩子，或者有没有教过小孩子。你教给孩子一个定义，不告诉他这
个东西是什么，只告诉他这个东西不是什么，他理解不了的。
对于小孩子来说，对数字的认知过程是，自然数，加减乘除，加减乘都没问题，得到的
都是整数，除法就会遇到除不尽的问题，所以引进小数，然后像1除以2，1除以4都好办
，1除以3就有点麻烦，总也除不尽，从“除不尽“就引申出一个娃版的“无限“概念，
要按着你的严谨定义，1/3=0.33333...都不能教了。可是对于小孩子来说，他就是要知
道这个数到底有多大。
然后，从有理数都是有限或无限循环小数的概念，告诉娃，还有一类小数，无限但不循
环，就是无理数，然后才是无理数不能表达成分数的形式。
不是我想怎么样，是小孩子想知道圆的周长“到底”是直径的多少倍，你总不能说就是
pi倍，而这个pi是没法写成数字的。对小孩来说，这句话等于白说。
老祖宗都清楚，还不是要算出来个近似的小数形式，要不然这个pi除了数学家们自娱自
乐，也没什么用处了。
不能说是偏见，只是以一种小孩能理解的方式进行数学科普。
嗯，你要是用大学的知识把这些概念都讲清楚了，小孩就不用上大学了。: )
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A**H
发帖数: 4797 | 49 我想了想，是不是娃的那段话里面假定了“只要是圆弧，那就是必须是无理数”，这样
一来，也就是说假定了圆周长是无理数，这就是循环论证了。。。 |
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l*******e
发帖数: 4009 | 50 有理数的定义还是没变，就是可以表示为两整数之商的数
不过改变了进制就会颠覆很多概念，比如整数的概念，这时候123都不是整数了，也不
是两整数之商，它们都是新进制下的“无理数”，而这时候π是个整数，当然是有理数
不过我觉得其他无理数还是依然无理 |
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