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发帖数: 22479 | 1 历史上，中国数学和欧洲数学都有辉煌的成就，但它们走过的却是两条截然不同的道路
。若要归根溯源的话，还得从公元前的事情开始说起。
记得我小时候学习负数时，老师说，负数的意思就是不但没有，还欠人家。当时我就觉
得纳闷：这并不能成为负数存在的理由啊！我可以直接说我欠人家10块钱， 干吗非要
说我手里有负10块钱呢？这么想来，承认有一种数比0更小，这确实怎么看怎么荒谬。
或许正因为如此，直到17世纪，欧洲数学家们才慢慢体会到在数 学中引入负数的好处
，并逐步接受负数的概念。
《九章算术》与负数的提出
然而，中国古代早就用起了负数。汉代数学著作《九章算术》的第八章《方程》里介绍
了一种用数阵来解决实际问题的方法。这种方法的基本思想就是利用对比来消 除未知
的数量。例如，已知6头牛、2头猪、4只羊的价钱，又已知6头牛、3头猪、9只羊的价钱
，两者相比便能得出1头猪和5只羊的价钱。但是，如果我们已 知的是6头牛、2头猪、4
只羊的价钱，以及6头牛、3头猪、3只羊的价钱，两者相比会得出什么和什么的价钱呢
？《九章算术》的处理办法是，认为两者相比就 会得出1头猪和负1只羊的价钱。《九
章算术》系统地阐明了已有的数与负数相加相减时的规则，让解题过程不但可以顺利进
行下去，而且最后得出的结果也是正确 的。
我们不知道《九章算术》的作者是怎样想到这个概念的。《九章算术》里面只讲了方法
，没有更多的解释和说明。人们究竟是如何接受这个新奇而荒诞的概念的呢？或许这背
后的动机极其简单：反正这个东西管用。在这种实用主义精神的支持下，中国成为了历
史上第一个提出负数的国家。
这种精神在《九章算术》里还有很多体现。比方说，《九章算术》的这九章并非严格地
按照所涉及的知识划分，更多地则是按照题目的应用场景进行划分。例如，第 一章《
方田》主要讲解田地面积的计算问题，第二章《粟米》则主要讲解粮食交易的计算问题
。另外，《九章算术》里的所有理论都是在具体的题目中反映的。《九 章算术》里共
有246道题目，每道题目后面都附有答案，多数题目后面还附带了算法。所有题目全都
取自实际生活，例如《方程》一章虽然专讲数阵解题，但所有 讲解全都是以猪牛、鸡
犬、禾稻等物为背景的。
从《九章算术》到《四元玉鉴》
《九章算术》毫无疑问是对中国数学发展影响最大的著作。后人的数学著作大多沿袭了
其应用题问答式体例，或在其实用主义精神的影响下，在图形丈量、数值计算、方程求
解等实际应用领域都取得了的高深造诣。
元朝统一全国后，南北数学相互借鉴，元代数学家朱世杰遍读南北数学著作，最终于
1303年写成《四元玉鉴》一书，让中国传统数学达到了巅峰。
《四元玉鉴》里的题目有多复杂呢？来看两个例子吧。《勾股测望》一章里的第2题说
的是：一座圆城的东南西北四面各有一城门，如果甲从南门出发继续向南走 15步后站
住，乙从东门出发继续向东走40步后正好能看见甲，那么圆城一周有多长？朱世杰根据
题意列出了一个四次方程，并解得圆城半径为60步，圆城一周 则约为1里。
《果垛叠藏》一章里的第20题说的是：有一个三角形的果子垛，另有一个四角形的果子
垛，两垛共计211个果子；如果三角果垛最底层的果子数量跟四角果垛最 底层的果子数
量相同，那么两个果子垛各有多少层？所谓三角果垛，就是各层果子数量分别为1, 3,
6, ...的四面体形垛子；所谓四角果垛，就是各层果子数量分别为1, 4, 9, ...的金字
塔形垛子。为了解决这个问题，我们首先得知道1+3+6+...和1+4+9+...的公式，然后还
得列出相应的二元三次方程组并求解。朱世 杰把这一切重新整理成了一个一元六次方
程，并解得了正确的答案：三角果垛8层，四角果垛6层。
《几何原本》与公理化方法
在《九章算术》成书之际，地中海沿岸也在诞生着另一种不一样的数学。公元前300年
左右，古希腊数学家欧几里得（Euclid）系统地总结了当时的数学成 果，并以一种极
其严谨的方式编成了《几何原本》（Elements）一书。与《九章算术》不同的是，《几
何原本》里列出的不是一个个实际的问题，而是一个 个抽象的结论，并且每一个结论
后面都附有严格的证明。
为了证明一个圆最多只能和另一个圆交于两点，我们首先需要定义，什么是圆，什么是
相交，等等。在证明的时候，我们可能需要用到一些更基本的结论；而这些更 基本的
结论，也都应该有它们自己的证明。当然，我们无法永无止境地去问为什么，因而结论
的正确性最终将会依赖于一些最基本的、无需证明的公理，例如“整体 大于它的部分
”等等。这种由若干公理和定义出发，逐渐搭起整个数学系统的方法，就叫做“公理化
方法”（axiomatic method）。《几何原本》对数学发展最为深远的影响，不是告诉了
人们数学中的结论需要证明，而是向人们展示了如何构建一个严谨的数学系统。
正是基于这两种不同的出发点，使中国与欧洲数学在发展之初就走上了迥异的道路。 | P****R
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