z*********e
发帖数: 10149 | 1 一组勾股数a^2+b^2=c^2
一定能有sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
或者
sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数 | l*******s
发帖数: 7316 | 2 假设p是a,b,c的最大公约数。
(a/p)^2 + (b/p)^2 = (c/p)^2
a/p, b/p, c/p 没有公约数。
如果能证明一定能有sqrt((c/p+b/p)/2)和sqrt((c/p-b/p)/2)同时为整数
或者 sqrt((c/p+a/p)/2)和sqrt((c/p-a/p)/2)同时为整数
也就证明了
一定能有sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
或者 sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
也就是说问题转换为
对任意一组没有公约数的勾股数a^2+b^2=c^2
一定能有 sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
或者 sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
a,b中一定有一个是奇数。
如果都是偶数，那从c也必定是偶数，与a,b,c没有公约数相矛盾。
不失一般性的假定a是奇数。
b^2 = c^2 - a^2= (c+a)(c-a)
c+a=m
c-a=n
现在需要证明b是偶数.
(
大概可以用反证法：
如果b也是奇数，那从c^2是偶数，c也必定是偶数。
还没想好怎么证明，明天继续
）
假设已经证明了b是偶数，继续后面的证明。
b是偶数，a是奇数，所以c是奇数。
m,n都是偶数。
m/2 和 n/2 没有公约数。
如果m/2 和 n/2之间有公约数k，
那么c=m/2+n/2， a=m/2-n/2 和 b也都有约数k，
与a,b,c没有公约数相矛盾。
m/2 * (n/2) = (b/2)^2
并且m/2 和 n/2 没有公约数， 所以m/2 和n/2一定是平方数。
【在 z*********e 的大作中提到】
: 一组勾股数a^2+b^2=c^2
: 一定能有sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
: 或者
: sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
| z*********e
发帖数: 10149 | 3 不错，奖励一个包子
【在 l*******s 的大作中提到】
: 假设p是a,b,c的最大公约数。
: (a/p)^2 + (b/p)^2 = (c/p)^2
: a/p, b/p, c/p 没有公约数。
: 如果能证明一定能有sqrt((c/p+b/p)/2)和sqrt((c/p-b/p)/2)同时为整数
: 或者 sqrt((c/p+a/p)/2)和sqrt((c/p-a/p)/2)同时为整数
: 也就证明了
: 一定能有sqrt((c+b)/2)和sqrt((c-b)/2)同时为整数
: 或者 sqrt((c+a)/2)和sqrt((c-a)/2)同时为整数
: 也就是说问题转换为
: 对任意一组没有公约数的勾股数a^2+b^2=c^2
| l*******s
发帖数: 7316 | 4 多谢包子，昨天太晚了，先睡了。现在把缺的一段证明补上。
如果a奇数，b一定是偶数.
反证法：
如果b也是奇数，那从c^2是偶数，c也必定是偶数。
用以下关系表达a,b,c
a=2d+1, b=2e+1, c=2f
d,e,f都是整数。
所以
(2d+1)^2 + (2e+1)^2 = (2f)^2
4d^4 + 4d + 4e^2 + 4e +2 = 4f^2
同时除以2
2d^4 + 2d + 2e^2 + 2e +1 = 2f^2
左边是奇数，右边是偶数，矛盾。
【在 z*********e 的大作中提到】
: 不错，奖励一个包子
| l*******s
发帖数: 7316 | 5 虽然证明了，总觉得不够漂亮。哪位高手给个更漂亮的证明。
我双黄包奖励。
【在 z*********e 的大作中提到】
: 不错，奖励一个包子
| l*******s
发帖数: 7316 | 6 术版真的冷清了，这么好的题没人做。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 虽然证明了，总觉得不够漂亮。哪位高手给个更漂亮的证明。
: 我双黄包奖励。
| v*******e
发帖数: 11604 | 7 网上有答案，zhihu.com/question/49541637
是他的问题证明过程中的一个中间结果。
: 术版真的冷清了，这么好的题没人做。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 术版真的冷清了，这么好的题没人做。
| z*********e
发帖数: 10149 | 8 你可以直接假设是primitive Pythagorean triple，就是3个数没有公因子，
然后这个奇偶性部分用modulo 算数是很明显的结果
a = 1 mod 4
b = 1 mod 4
then a^2 + b^2 = 2 mod 4，c一定不会是整数
另外wikipedia上有一些很有趣的结果
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Elementary_properties_of_
primitive_Pythagorean_triples
Exactly one of a, b is odd; c is odd.
Exactly one of a, b is divisible by 3.
Exactly one of a, b is divisible by 4.
Exactly one of a, b, c is divisible by 5.
【在 l*******s 的大作中提到】
: 多谢包子，昨天太晚了，先睡了。现在把缺的一段证明补上。
: 如果a奇数，b一定是偶数.
: 反证法：
: 如果b也是奇数，那从c^2是偶数，c也必定是偶数。
: 用以下关系表达a,b,c
: a=2d+1, b=2e+1, c=2f
: d,e,f都是整数。
: 所以
: (2d+1)^2 + (2e+1)^2 = (2f)^2
: 4d^4 + 4d + 4e^2 + 4e +2 = 4f^2
| l*******s
发帖数: 7316 | 9 很有意思。
：你可以直接假设是primitive Pythagorean triple，就是3个数没有公因子，
： | n******r
发帖数: 718 | 10 只要a,b,c互质，那么a,b,c一定可以写成
m^2-n^2,2mn,m^2+n^2的形式。
令b=m^2-n^2,c=m^2+n^2,就行了。 | | | z*********e
发帖数: 10149 | 11 我本来是在想这个问题，然后发现要解决这个问题需要证明原题
【在 n******r 的大作中提到】
: 只要a,b,c互质，那么a,b,c一定可以写成
: m^2-n^2,2mn,m^2+n^2的形式。
: 令b=m^2-n^2,c=m^2+n^2,就行了。
| v*******e
发帖数: 11604 | 12 都告诉你们了知乎有答案，就在上面我给的链接里；你们还讨论个啥劲啊，嫌脑细胞没
地方用？ | n******r
发帖数: 718 | 13 你的原题没有a，b，c互质的条件，是可以举出反例的。比如9，12，15。
【在 z*********e 的大作中提到】
: 我本来是在想这个问题，然后发现要解决这个问题需要证明原题
| z*********e
发帖数: 10149 | 14 嗯，你说的对，奖励一个包子
【在 n******r 的大作中提到】
: 你的原题没有a，b，c互质的条件，是可以举出反例的。比如9，12，15。
| l*******s
发帖数: 7316 | 15 这几个命题的证明也挺有意思。
Exactly one of a, b is odd; c is odd.
这个在前面帖子里已经证明了
Exactly one of a, b is divisible by 3.
任何一个整数都必须是 3n，3n+1，3n-1, 中的一种。
如果a，b都不是3的倍数，那么 a^2 + b^2 一定是属于3n-1，
c不是3的倍数。
所以 c+a， c-a中个数中必定有一个是3的倍数。
所以 b^2 是3的倍数。矛盾。
Exactly one of a, b is divisible by 4.
假设a，b中 a为奇数，b为偶数。
b^2 = c^2 - a^2
两个奇数的平方差一定是8的倍数，所以b一定是4的倍数。
Exactly one of a, b, c is divisible by 5.
假设a为奇数，b为4的倍数。 c为为奇数。
如果a，或c中任何一个是5的倍数，则命题成立。
如果a，c都不是5的倍数，则a,c必定是以下两类数中的一同一类。
第一类 10n±1, 也就是10进制中尾数为1或9的数。
(10n ± 1)^2 =100n^2 ± 20n +1
第二类 10m±3, 也就是10进制中尾数为3或7的数。
(10m ± 3)^2 =100m^2 ± 60m +9
如果a，c分属这两类数。
c^-a^2的尾数一定是2或8
而b是4的倍数， b^2的尾数只能是0，4，6。 矛盾。
因为a,c同属这两类数中的一类，所以c^2-a^2是10的倍数，
所以b是10的倍数，也就是5的倍数。命题成立。
primitive_Pythagorean_triples
Exactly one of a, b is odd; c is odd.
Exactly one of a, b is divisible by 3.
Exactly one of a, b is divisible by 4.
Exactly one of a, b, c is divisible by 5.
【在 z*********e 的大作中提到】
: 嗯，你说的对，奖励一个包子
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