x******g
发帖数: 318 | 1 xn=sin(f(1))+sin(f(2))+sin(f(3))+```+sin(f(n)),n=1,2,```.问{xn}是否有界．
f(x)=a0+a1x+a2x^2+...amx^m为一个实系数m次多项式. |
C********n
发帖数: 6682 | 2 显然不一定
令 f(x)=a0
【在 x******g 的大作中提到】
: xn=sin(f(1))+sin(f(2))+sin(f(3))+```+sin(f(n)),n=1,2,```.问{xn}是否有界．
: f(x)=a0+a1x+a2x^2+...amx^m为一个实系数m次多项式.
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x******g
发帖数: 318 | 3 问题不是问你一定不一定
而是问在什么情况有界，什么情况下无界
当f(x)是一次函数时，是平凡的，以为可以直接出来简单的表达式来
所以现在第一个不平凡的情况就是2次的
比如讲f(x)=x^2
xn是不是有界呢?
【在 C********n 的大作中提到】
: 显然不一定
: 令 f(x)=a0
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a****h
发帖数: 19 | 4 kick!
我本来还是很幸福的，自从看到你这个问题以后我就觉得不舒服。
可是我又解不出！
【在 x******g 的大作中提到】
: 问题不是问你一定不一定
: 而是问在什么情况有界，什么情况下无界
: 当f(x)是一次函数时，是平凡的，以为可以直接出来简单的表达式来
: 所以现在第一个不平凡的情况就是2次的
: 比如讲f(x)=x^2
: xn是不是有界呢?
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l*****e
发帖数: 65 | 5
．
x_n is bounded if and only if x_n=0 for all n. This happens if and only if
f(n) \in Integer*\pi.
proof(sketch): x_n is bounded if sin(f(n))->0 as n approaches infinity.
That means f(n)/ \pi -> integers when n is sufficiently large.
lemma1:if 实系数m次多项式f(x) satisfies f(n)-> Intergers when n is large,
then
a_i are rational numbers.
proof: Induction on the degree m of f(x) and consider a new polynomial
f(x+1)-f(x) with degree m-1.
Lemma2: if a rational [polynomial f(x) st. f(n)-> integer for n
【在 x******g 的大作中提到】
: 问题不是问你一定不一定
: 而是问在什么情况有界，什么情况下无界
: 当f(x)是一次函数时，是平凡的，以为可以直接出来简单的表达式来
: 所以现在第一个不平凡的情况就是2次的
: 比如讲f(x)=x^2
: xn是不是有界呢?
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x******g
发帖数: 318 | 6 我还没有看过程
不过结论不对，实际上对于绝大多数f(x)为一次函数的情况
我们可以证明x_n是有界的，其实我们可以把x_n的明显表达式(非求和形式的)求出来
利用复数的乘法即可
【在 l*****e 的大作中提到】
:
: ．
: x_n is bounded if and only if x_n=0 for all n. This happens if and only if
: f(n) \in Integer*\pi.
: proof(sketch): x_n is bounded if sin(f(n))->0 as n approaches infinity.
: That means f(n)/ \pi -> integers when n is sufficiently large.
: lemma1:if 实系数m次多项式f(x) satisfies f(n)-> Intergers when n is large,
: then
: a_i are rational numbers.
: proof: Induction on the degree m of f(x) and consider a new polynomial
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l*****e
发帖数: 65 | 7
重看了一下原题。 我只证了x_n收敛当且仅当x_n恒等于0。 对x_n有界我什么都没说，
嘻嘻。
【在 x******g 的大作中提到】
: 我还没有看过程
: 不过结论不对，实际上对于绝大多数f(x)为一次函数的情况
: 我们可以证明x_n是有界的，其实我们可以把x_n的明显表达式(非求和形式的)求出来
: 利用复数的乘法即可
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T*******x
发帖数: 8565 | 8
也不错了。
不过你本来是要证明f(n)/Pi --> integers，可是你的lemma里说的都是f(n)。
我想到个问题。比如最简单的情况：f(n)=n，我们能证明原级数是有界的，（用复数）。
但是我们能不能证明这个：{n-[n/Pi]*Pi | n \in Z} is dense in [0,Pi]？
[n/Pi]表示小于等于n/Pi的最大整数。也就是说n除以Pi之后剩下的不足Pi的部分
可以几乎是0到Pi之间的任意数。
这个题挺有意思的（我是说原题），我就等大家解决了:)
【在 l*****e 的大作中提到】
:
: 重看了一下原题。 我只证了x_n收敛当且仅当x_n恒等于0。 对x_n有界我什么都没说，
: 嘻嘻。
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x******g
发帖数: 318 | 9 据我所知
似乎有下面的结论：f(x)为一个整系数多项式(非常数)
f(n)/a的小数部分是均匀分布
(a是无理数)
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 也不错了。
: 不过你本来是要证明f(n)/Pi --> integers，可是你的lemma里说的都是f(n)。
: 我想到个问题。比如最简单的情况：f(n)=n，我们能证明原级数是有界的，（用复数）。
: 但是我们能不能证明这个：{n-[n/Pi]*Pi | n \in Z} is dense in [0,Pi]？
: [n/Pi]表示小于等于n/Pi的最大整数。也就是说n除以Pi之后剩下的不足Pi的部分
: 可以几乎是0到Pi之间的任意数。
: 这个题挺有意思的（我是说原题），我就等大家解决了:)
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s*m
发帖数: 34 | 10
You mean sin1+sin2+sin3+... is bounded?
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 也不错了。
: 不过你本来是要证明f(n)/Pi --> integers，可是你的lemma里说的都是f(n)。
: 我想到个问题。比如最简单的情况：f(n)=n，我们能证明原级数是有界的，（用复数）。
: 但是我们能不能证明这个：{n-[n/Pi]*Pi | n \in Z} is dense in [0,Pi]？
: [n/Pi]表示小于等于n/Pi的最大整数。也就是说n除以Pi之后剩下的不足Pi的部分
: 可以几乎是0到Pi之间的任意数。
: 这个题挺有意思的（我是说原题），我就等大家解决了:)
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T*******x
发帖数: 8565 | 11
说，
）。
是啊。这个级数是bounded的。
证明是把sin(n)表示成e的复指数形式，可以证明这个复数级数的模有界。
【在 s*m 的大作中提到】
:
: You mean sin1+sin2+sin3+... is bounded?
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x******g
发帖数: 318 | 12 有这样一个结论
p(x)是一个实系数多项式,至少有一个系数是无理数
(常数项不算)
那么{p(n)}在[0,1]上均匀分布
虽然这个结论很强，但是似乎并不能对有界无界做出什么推断
【在 x******g 的大作中提到】
: xn=sin(f(1))+sin(f(2))+sin(f(3))+```+sin(f(n)),n=1,2,```.问{xn}是否有界．
: f(x)=a0+a1x+a2x^2+...amx^m为一个实系数m次多项式.
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x******g
发帖数: 318 | 13 程序的结果x（n）是波浪形的，和x*sin（x）的图形类似
其中f(x)=x^2,x^3
【在 x******g 的大作中提到】
: xn=sin(f(1))+sin(f(2))+sin(f(3))+```+sin(f(n)),n=1,2,```.问{xn}是否有界．
: f(x)=a0+a1x+a2x^2+...amx^m为一个实系数m次多项式.
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T*******x
发帖数: 8565 | 14
那么x(n)应该是无界的了？因为x*sin(x)是无界的。
【在 x******g 的大作中提到】
: 程序的结果x（n）是波浪形的，和x*sin（x）的图形类似
: 其中f(x)=x^2,x^3
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x******g
发帖数: 318 | 15 可以做这样的猜测
但是程序只是验证了一定范围内的有限情况而已，并不能算作证明的
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 那么x(n)应该是无界的了？因为x*sin(x)是无界的。
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