E*****T
发帖数: 1193 | 1 考虑g:[0,infinity)-R为连续增函数。问题：是否存在f:[0,infinity)-R可微函数，使
得f'/f^2趋近于0（当未知数趋于无穷时）且f>=g.
我在构造反例时本想取f为初等函数（因为初等函数都满足f'/f^2趋于0），但是后来了
解到譬如Ackermann function比任何elementary function增幅都大。
不知道这个问题属于哪个领域，感谢任何建议指导。 |
G******i
发帖数: 163 | |
B********e
发帖数: 10014 | 3 我也觉得应该是对的
加上个正单调光滑函数，然后mollify一下
至于lim y'/y^2=0, 貌似任何正光滑单调函数，
如果要定义在整个R上必然满足这个性质（如果这个limit存在）。
也就是说不可能limit 是正数
否则y被c/(c-ky) bounds, 必然blow up在有线点
【在 G******i 的大作中提到】
: 应该是对的吧
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y**k
发帖数: 222 | |
E*****T
发帖数: 1193 | 5 可能出现inf lim y'/y^2=0 但sup lim y'/y^2>0的情况。分段定义函数即可找到反例。
【在 B********e 的大作中提到】
: 我也觉得应该是对的
: 加上个正单调光滑函数，然后mollify一下
: 至于lim y'/y^2=0, 貌似任何正光滑单调函数，
: 如果要定义在整个R上必然满足这个性质（如果这个limit存在）。
: 也就是说不可能limit 是正数
: 否则y被c/(c-ky) bounds, 必然blow up在有线点
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E*****T
发帖数: 1193 | |
B********e
发帖数: 10014 | 7 Defining things piecewisely has nothing to do with limit behavior
Idea was given: from y'/y**2>1 why can u get?
A ffunction larger than 1/(1-x) can't be defined on whole line
例。
【在 E*****T 的大作中提到】
: 可能出现inf lim y'/y^2=0 但sup lim y'/y^2>0的情况。分段定义函数即可找到反例。
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B********e
发帖数: 10014 | 8 I emphasized 'if the limit exists'.
If so, inf=sup
例。
【在 E*****T 的大作中提到】
: 可能出现inf lim y'/y^2=0 但sup lim y'/y^2>0的情况。分段定义函数即可找到反例。
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E*****T
发帖数: 1193 | 9 极限不一定存在，这就是题目的困难之处。
【在 B********e 的大作中提到】
: I emphasized 'if the limit exists'.
: If so, inf=sup
:
: 例。
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f*****s
发帖数: 95 | 10 令 h = 1/f. 则 h' = (1/f)' = -f'/f^2. 答案应该很清楚，就是可以。 |
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I***e
发帖数: 1136 | 11 why the limit exists on (1/f)'? why can't it have small yet infinitely many
spikes up to 1?
【在 f*****s 的大作中提到】
: 令 h = 1/f. 则 h' = (1/f)' = -f'/f^2. 答案应该很清楚，就是可以。
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f*****s
发帖数: 95 | |
E*****T
发帖数: 1193 | 13 没看明白你想干啥，这个h连增函数都不是。
h趋于0也不代表h'趋于0.
【在 f*****s 的大作中提到】
: 令 h = 1/f. 则 h' = (1/f)' = -f'/f^2. 答案应该很清楚，就是可以。
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f*****s
发帖数: 95 | 14 你把g倒一下不就行了。构造的话可以reduce成离散点的问题，存在性应该是显见的。 |
s*****e
发帖数: 115 | 15
Do you mean that f'(x)/f^2(x) -> 0 as x -> infinity?
Isn't this a trivial example:
g(x) = 1-exp(-x)
f(x) = 2-exp(-x)
Perhaps I am missing some point here.
【在 E*****T 的大作中提到】
: 考虑g:[0,infinity)-R为连续增函数。问题：是否存在f:[0,infinity)-R可微函数，使
: 得f'/f^2趋近于0（当未知数趋于无穷时）且f>=g.
: 我在构造反例时本想取f为初等函数（因为初等函数都满足f'/f^2趋于0），但是后来了
: 解到譬如Ackermann function比任何elementary function增幅都大。
: 不知道这个问题属于哪个领域，感谢任何建议指导。
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E*****T
发帖数: 1193 | 16 My question is: for any increasing function g, does there exist a
differentiable increasing function f>g such that and f'/f^2 goes to 0 as x
goes to infinity? In your example, f'/f^2 goes to 0.
【在 s*****e 的大作中提到】
:
: Do you mean that f'(x)/f^2(x) -> 0 as x -> infinity?
: Isn't this a trivial example:
: g(x) = 1-exp(-x)
: f(x) = 2-exp(-x)
: Perhaps I am missing some point here.
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E*****T
发帖数: 1193 | 17 我不认为是显然的，而且不是离散点应该是离散区间。
【在 f*****s 的大作中提到】
: 你把g倒一下不就行了。构造的话可以reduce成离散点的问题，存在性应该是显见的。
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E*****T
发帖数: 1193 | 18 我问过两个老师，一个微分几何的老师没有想法，一个计算数学的老师告诉了我可以极
快增长的ackermann function, 但也没有解决我的问题。
我的问题就是：对于某个增函数g,g可能不满足g'/g^2趋于0，
譬如 g=n-1 on [n-1, n-1/n^2]
g linear on [n-1/n^2,n]
但是我觉得总存在f>g,使得f'/f^2趋于0.
进一步，对任意s>1,总存在f>g使得f'/f^s趋于0.
可能相关的经典问题：总存在elementary function大于任意primitive recursive
function.但这种问题没有研究导数的变化。我想知道，是否总存在{f:f'/f^2趋于0}中
的函数，大于给定的任意连续函数。 |
f*****s
发帖数: 95 | 19 为啥要曲里拐弯呢？等价的问题是：
有 g>0 单调减，问是否有可微f, 使 0 < f < g, 且 lim f' = 0. 这难道不显然吗？ |
E*****T
发帖数: 1193 | 20 不显然。
【在 f*****s 的大作中提到】
: 为啥要曲里拐弯呢？等价的问题是：
: 有 g>0 单调减，问是否有可微f, 使 0 < f < g, 且 lim f' = 0. 这难道不显然吗？
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G******i
发帖数: 163 | 21 顶
【在 f*****s 的大作中提到】
: 为啥要曲里拐弯呢？等价的问题是：
: 有 g>0 单调减，问是否有可微f, 使 0 < f < g, 且 lim f' = 0. 这难道不显然吗？
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G******i
发帖数: 163 | 22 他那个简化后的提法，你以前有没有考虑过？如果没有的话，先认真考虑一下别人的建议
【在 E*****T 的大作中提到】
: 不显然。
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f*****s
发帖数: 95 | 23 OK. 好人做到底。Consider the piecewise linear function h connecting points (
n, g(n+1)/2) for integer n. Clearly,0 0 except it is not
differentiable at x=n. So we just smooth the corner at each breaking point
at n to make it smooth everywhere. This can be done as we already leave an (
g(n)-g(n+1)/2) > 0 gap at each vertex. |
g****t
发帖数: 31659 | 24 agree
【在 f*****s 的大作中提到】
: 为啥要曲里拐弯呢？等价的问题是：
: 有 g>0 单调减，问是否有可微f, 使 0 < f < g, 且 lim f' = 0. 这难道不显然吗？
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g****t
发帖数: 31659 | 25 不用这么复杂吧,
就是手画一个1/g,然后证明在1/g和x轴之间存在另一条线.
不需要明确构造出来.
OK. 好人做到底。Consider the piecewise linear function h connecting points (
n, g(n+1)/2) for integer n. Clearly,0 0 except it is not
differentiable at x=n. So we just smooth the corner at each breaking point
at n to make it smooth everywhere. This can be done as we already leave an (
g(n)-g(n+1)/2) > 0 gap at each vertex.
【在 f*****s 的大作中提到】
: OK. 好人做到底。Consider the piecewise linear function h connecting points (
: n, g(n+1)/2) for integer n. Clearly,0 0 except it is not
: differentiable at x=n. So we just smooth the corner at each breaking point
: at n to make it smooth everywhere. This can be done as we already leave an (
: g(n)-g(n+1)/2) > 0 gap at each vertex.
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l*3
发帖数: 2279 | 26 为什么初等函数都满足f'/f^2趋于0?
y=x^(-3) 怎么破?
【在 E*****T 的大作中提到】
: 考虑g:[0,infinity)-R为连续增函数。问题：是否存在f:[0,infinity)-R可微函数，使
: 得f'/f^2趋近于0（当未知数趋于无穷时）且f>=g.
: 我在构造反例时本想取f为初等函数（因为初等函数都满足f'/f^2趋于0），但是后来了
: 解到譬如Ackermann function比任何elementary function增幅都大。
: 不知道这个问题属于哪个领域，感谢任何建议指导。
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l*3
发帖数: 2279 | 27 楼主你这个问题好难.
我先问一下啊, 你说因为初等函数都满足f'/f^2趋于0 这虽然是错的.
不过我想你的本意应该是 "任何单增趋于无穷大的初等函数"
我想问一下, "任何单增趋于无穷大的初等函数都满足f'/f^2趋于0" 这个怎么证明呢?
【在 E*****T 的大作中提到】
: 考虑g:[0,infinity)-R为连续增函数。问题：是否存在f:[0,infinity)-R可微函数，使
: 得f'/f^2趋近于0（当未知数趋于无穷时）且f>=g.
: 我在构造反例时本想取f为初等函数（因为初等函数都满足f'/f^2趋于0），但是后来了
: 解到譬如Ackermann function比任何elementary function增幅都大。
: 不知道这个问题属于哪个领域，感谢任何建议指导。
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y**k
发帖数: 222 | 28 把初等函数一个个列出来证明。
?
【在 l*3 的大作中提到】
: 楼主你这个问题好难.
: 我先问一下啊, 你说因为初等函数都满足f'/f^2趋于0 这虽然是错的.
: 不过我想你的本意应该是 "任何单增趋于无穷大的初等函数"
: 我想问一下, "任何单增趋于无穷大的初等函数都满足f'/f^2趋于0" 这个怎么证明呢?
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l*3
发帖数: 2279 | 29 你这个问题, 我觉得是可以做到的.
严格证明写起来太长了, 你看我思路对不对:
我们用 y'= epsl * y^2 (初值是y(a)=b,) 可以解出来一系列一次反比函数.
然后这每个函数都是在有限区域内blow up的,
但是你可以取每一段的函数值都足够大来构造你所要的函数, 这样函数值超过g是没有
问题的, 然后因为你只要求所构造的函数 "可微分", 这样你在拼接的地方用一次函数
把他们连起来就行了.
【在 E*****T 的大作中提到】
: 考虑g:[0,infinity)-R为连续增函数。问题：是否存在f:[0,infinity)-R可微函数，使
: 得f'/f^2趋近于0（当未知数趋于无穷时）且f>=g.
: 我在构造反例时本想取f为初等函数（因为初等函数都满足f'/f^2趋于0），但是后来了
: 解到譬如Ackermann function比任何elementary function增幅都大。
: 不知道这个问题属于哪个领域，感谢任何建议指导。
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l*3
发帖数: 2279 | 30 在拼接的地方可以用光滑算子, 同时仍旧可以证明打磨后的函数满足你要的那个f'/f^2
趋于0的性质.
主要是用到了这个命题:
若f1(x)≥f2(x), f1'≥f2'
那么定义f3 = f1(x)*(1-phi(x)) + f2(x)*phi(x) (其中phi(x)是打磨函数)
必有: f3'≤f1'
这样就甚至可以找出C∞的满足你要求的函数了.
【在 E*****T 的大作中提到】
: 考虑g:[0,infinity)-R为连续增函数。问题：是否存在f:[0,infinity)-R可微函数，使
: 得f'/f^2趋近于0（当未知数趋于无穷时）且f>=g.
: 我在构造反例时本想取f为初等函数（因为初等函数都满足f'/f^2趋于0），但是后来了
: 解到譬如Ackermann function比任何elementary function增幅都大。
: 不知道这个问题属于哪个领域，感谢任何建议指导。
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l*3
发帖数: 2279 | 31 我做错了.
我似乎不能说明这么构造的函数可以一直延续到整个正半轴上去. |
l*3
发帖数: 2279 | 32 cool!
(
(
【在 f*****s 的大作中提到】
: OK. 好人做到底。Consider the piecewise linear function h connecting points (
: n, g(n+1)/2) for integer n. Clearly,0 0 except it is not
: differentiable at x=n. So we just smooth the corner at each breaking point
: at n to make it smooth everywhere. This can be done as we already leave an (
: g(n)-g(n+1)/2) > 0 gap at each vertex.
|
l*3
发帖数: 2279 | 33 你说的太简单了, 你画一个试试?
你得证明你确实能够一直画下去, 直到画满整个实轴.
画法是很关键的.
(
(
【在 g****t 的大作中提到】
: 不用这么复杂吧,
: 就是手画一个1/g,然后证明在1/g和x轴之间存在另一条线.
: 不需要明确构造出来.
:
: OK. 好人做到底。Consider the piecewise linear function h connecting points (
: n, g(n+1)/2) for integer n. Clearly,0 0 except it is not
: differentiable at x=n. So we just smooth the corner at each breaking point
: at n to make it smooth everywhere. This can be done as we already leave an (
: g(n)-g(n+1)/2) > 0 gap at each vertex.
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l*3
发帖数: 2279 | 34 发现一个问题,
你好像没有说明你构造出来的函数f是满足f'->0的.
(
(
【在 f*****s 的大作中提到】
: OK. 好人做到底。Consider the piecewise linear function h connecting points (
: n, g(n+1)/2) for integer n. Clearly,0 0 except it is not
: differentiable at x=n. So we just smooth the corner at each breaking point
: at n to make it smooth everywhere. This can be done as we already leave an (
: g(n)-g(n+1)/2) > 0 gap at each vertex.
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l*3
发帖数: 2279 | 35 sry, plz ignor 34楼.
(
(
【在 g****t 的大作中提到】
: 不用这么复杂吧,
: 就是手画一个1/g,然后证明在1/g和x轴之间存在另一条线.
: 不需要明确构造出来.
:
: OK. 好人做到底。Consider the piecewise linear function h connecting points (
: n, g(n+1)/2) for integer n. Clearly,0 0 except it is not
: differentiable at x=n. So we just smooth the corner at each breaking point
: at n to make it smooth everywhere. This can be done as we already leave an (
: g(n)-g(n+1)/2) > 0 gap at each vertex.
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E*****T
发帖数: 1193 | 36 非常感谢！我觉得做法准确无误！
(
(
【在 f*****s 的大作中提到】
: OK. 好人做到底。Consider the piecewise linear function h connecting points (
: n, g(n+1)/2) for integer n. Clearly,0 0 except it is not
: differentiable at x=n. So we just smooth the corner at each breaking point
: at n to make it smooth everywhere. This can be done as we already leave an (
: g(n)-g(n+1)/2) > 0 gap at each vertex.
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E*****T
发帖数: 1193 | 37 多谢你的考虑。你说的这个问题我只是考虑了一下未严格证明。粗略说来，初等函数是
有限复合或加减乘除一些有特定形式的函数。而这些特定函数本身都具有周期性或单调
性。所以把最后一步复合或运算归纳分析一下我觉得就能得到。
?
【在 l*3 的大作中提到】
: 楼主你这个问题好难.
: 我先问一下啊, 你说因为初等函数都满足f'/f^2趋于0 这虽然是错的.
: 不过我想你的本意应该是 "任何单增趋于无穷大的初等函数"
: 我想问一下, "任何单增趋于无穷大的初等函数都满足f'/f^2趋于0" 这个怎么证明呢?
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B********e
发帖数: 10014 | 38 this is nice
(
(
【在 f*****s 的大作中提到】
: OK. 好人做到底。Consider the piecewise linear function h connecting points (
: n, g(n+1)/2) for integer n. Clearly,0 0 except it is not
: differentiable at x=n. So we just smooth the corner at each breaking point
: at n to make it smooth everywhere. This can be done as we already leave an (
: g(n)-g(n+1)/2) > 0 gap at each vertex.
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B********e
发帖数: 10014 | 39 hehe,对这个特殊g， f=x+1 不就行吗
【在 E*****T 的大作中提到】
: 我问过两个老师，一个微分几何的老师没有想法，一个计算数学的老师告诉了我可以极
: 快增长的ackermann function, 但也没有解决我的问题。
: 我的问题就是：对于某个增函数g,g可能不满足g'/g^2趋于0，
: 譬如 g=n-1 on [n-1, n-1/n^2]
: g linear on [n-1/n^2,n]
: 但是我觉得总存在f>g,使得f'/f^2趋于0.
: 进一步，对任意s>1,总存在f>g使得f'/f^s趋于0.
: 可能相关的经典问题：总存在elementary function大于任意primitive recursive
: function.但这种问题没有研究导数的变化。我想知道，是否总存在{f:f'/f^2趋于0}中
: 的函数，大于给定的任意连续函数。
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