o**a
发帖数: 76 | 1 Prove that any conformal mapping f: C->C can be written as
f=a*z+b for some complex number a,b, with "a" not equal to 0. |
o**a
发帖数: 76 | 2 不过exp(z)是不是conformal mapping呢？
它的导数在全平面都不等于0啊？
【在 o**a 的大作中提到】
: Prove that any conformal mapping f: C->C can be written as
: f=a*z+b for some complex number a,b, with "a" not equal to 0.
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T*******x
发帖数: 8565 | 3 我觉得原问题至少应该是要求onto，不onto还有什么意义了？
exp(z)不是onto
【在 o**a 的大作中提到】
: 不过exp(z)是不是conformal mapping呢？
: 它的导数在全平面都不等于0啊？
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o**a
发帖数: 76 | 4 嗯，应该是要求onto的
看了Gamelin的复变函数上的定义conformal mapping必须是one-to-one and onto的
如果这样，这道题可以这样证：
首先，无穷不可能是本性奇点
否则任给常数C,我们可以找到z_n->\infty，w_n=f(z_n)->C
考虑f的逆f^{-1}，则它在w=C处连续，所以w_n->C => z_n -> f^{-1}(C)，矛盾
其次，有个结论说如果f在全平面解析，并且无穷是f的一个非本性奇点的话，
则f是多项式
由于f是单射，所以f只能是一次多项式 a*z+b，证毕。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 我觉得原问题至少应该是要求onto，不onto还有什么意义了？
: exp(z)不是onto
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o**a
发帖数: 76 | 5 r.t.
【在 o**a 的大作中提到】
: 嗯，应该是要求onto的
: 看了Gamelin的复变函数上的定义conformal mapping必须是one-to-one and onto的
: 如果这样，这道题可以这样证：
: 首先，无穷不可能是本性奇点
: 否则任给常数C,我们可以找到z_n->\infty，w_n=f(z_n)->C
: 考虑f的逆f^{-1}，则它在w=C处连续，所以w_n->C => z_n -> f^{-1}(C)，矛盾
: 其次，有个结论说如果f在全平面解析，并且无穷是f的一个非本性奇点的话，
: 则f是多项式
: 由于f是单射，所以f只能是一次多项式 a*z+b，证毕。
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T*******x
发帖数: 8565 | 6 证明是对的。
conformal mapping没有必须是one-one吧？
onto是自然的要求，one-one是不要求的。
比如z^2就是C\{0}->C\{0}的conformal mapping.
【在 o**a 的大作中提到】
: 嗯，应该是要求onto的
: 看了Gamelin的复变函数上的定义conformal mapping必须是one-to-one and onto的
: 如果这样，这道题可以这样证：
: 首先，无穷不可能是本性奇点
: 否则任给常数C,我们可以找到z_n->\infty，w_n=f(z_n)->C
: 考虑f的逆f^{-1}，则它在w=C处连续，所以w_n->C => z_n -> f^{-1}(C)，矛盾
: 其次，有个结论说如果f在全平面解析，并且无穷是f的一个非本性奇点的话，
: 则f是多项式
: 由于f是单射，所以f只能是一次多项式 a*z+b，证毕。
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o**a
发帖数: 76 | 7 我又晕了。。。
到底conformal mapping需不需要one-one啊？
Ahlfors书上只说了导数不等于0
Gamelin书上说要one-one 和 onto ...
【在 T*******x 的大作中提到】
: 证明是对的。
: conformal mapping没有必须是one-one吧？
: onto是自然的要求，one-one是不要求的。
: 比如z^2就是C\{0}->C\{0}的conformal mapping.
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T*******x
发帖数: 8565 | 8 我同意Ahlfors :)
Gamelin的应该是conformal equivalence.
【在 o**a 的大作中提到】
: 我又晕了。。。
: 到底conformal mapping需不需要one-one啊？
: Ahlfors书上只说了导数不等于0
: Gamelin书上说要one-one 和 onto ...
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H****h
发帖数: 1037 | 9 两种定义都可以。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 我同意Ahlfors :)
: Gamelin的应该是conformal equivalence.
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o**a
发帖数: 76 | 10 它们等价吗？
【在 H****h 的大作中提到】
: 两种定义都可以。
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H****h
发帖数: 1037 | 11 不等价。
【在 o**a 的大作中提到】
: 它们等价吗？
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o**a
发帖数: 76 | 12
为什么说onto是自然的要求呢？
【在 T*******x 的大作中提到】
: 证明是对的。
: conformal mapping没有必须是one-one吧？
: onto是自然的要求，one-one是不要求的。
: 比如z^2就是C\{0}->C\{0}的conformal mapping.
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g*********g
发帖数: 4 | 13 Good question!
global 1-1 holomorphic => nonvanishing derivative (Using Rouche thm)
On Complex plane, the converse is the Jacobian Conjecture.
【在 o**a 的大作中提到】
: 它们等价吗？
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g*********g
发帖数: 4 | 14
That an analytic function is conformal means locally one-to-one, equivalently,
non-vanishing of derivative.
【在 o**a 的大作中提到】
: 它们等价吗？
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T*******x
发帖数: 8565 | 15 The converse is Jacobian Conjecture? 你能给推导一下吗？
因为我查了一下Jacobian Conjecture，看不出这个命题的逆命题
就是Jacobian Conjecture.但感觉它们确实很有关系，所以想
请你推导一下。Jacobian Conjecture我是第一次听说，觉得
它挺有意思，非常简单，但很神奇。
http://mathworld.wolfram.com/JacobianConjecture.html
【在 g*********g 的大作中提到】
: Good question!
: global 1-1 holomorphic => nonvanishing derivative (Using Rouche thm)
: On Complex plane, the converse is the Jacobian Conjecture.
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o**a
发帖数: 76 | 16 One of the professors in our dept who is former phd student of Ahlfors gave me
this definition:
A conformal map \Omega\to\Omega_1 is an
analytic homeomorphism onto \Omega_1.
【在 o**a 的大作中提到】
: 我又晕了。。。
: 到底conformal mapping需不需要one-one啊？
: Ahlfors书上只说了导数不等于0
: Gamelin书上说要one-one 和 onto ...
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T*******x
发帖数: 8565 | 17
me
嗯。有个清楚的定义就行。
【在 o**a 的大作中提到】
: One of the professors in our dept who is former phd student of Ahlfors gave me
: this definition:
: A conformal map \Omega\to\Omega_1 is an
: analytic homeomorphism onto \Omega_1.
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