l*3
发帖数: 2279 | 1 哥德尔不完备性定理及其一众衍生的定理我不懂. 但是我大概知道说的是什么意思.
哥德尔说: 如果你承认 "自然数" 这个概念 (某种无穷可列的概念), 那么你的体系必
定不完备.
但是我又看到有人说了, "实数体系" 和 "复数体系" 的完备性, 是可以证明的.
我想问一下, 如果我有这么一个体系, 他承认 "自然数", 并且承认 "幂集" ( 于是 "
实数" 作为 "自然数" 的幂集出现), 这种体系会不会一定是有矛盾的?
我感觉我这猜想靠谱呀.
你看现在我其实在说这么一件事情:
1. 如果你只讨论形式逻辑和 "有限" 的概念, 那你的体系是相容的和完备的.
2. 如果你在你的讨论中加入 "自然数" 的概念, 那你体系必然不完备, 且不能自证其
相容性.
我现在就想说:
3. 如果你进一步承认 "幂集", (从而承认 "实数" 的概念), 那你体系必然是有矛盾的
.
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懂数学的给看看, 我这个 "3" 靠谱不? 谢谢...! | Q***5
发帖数: 994 | 2 逻辑系统的完备和距离空间完备性是两个不同的概念。 | l*3
发帖数: 2279 | 3 我是看维基百科上说 <塔斯基（Tarski）证明了实数和复数理论都是完备的一階公理化
系统>
【在 Q***5 的大作中提到】
: 逻辑系统的完备和距离空间完备性是两个不同的概念。
| s**e
发帖数: 1834 | 4 Wiki 是个不完备的系统。
Just kidding.
【在 l*3 的大作中提到】
: 我是看维基百科上说 <塔斯基（Tarski）证明了实数和复数理论都是完备的一階公理化
: 系统>
| l*3
发帖数: 2279 | 5 维基百科还说: "欧几里得几何可以被一階公理化为一个完备的系统（事实上，欧几里
得的原创公理集已经非常接近于完备的系统。所缺少的公理是非常直观的，以至于直到
出现了形式化证明之后才注意到需要它们）"
【在 s**e 的大作中提到】
: Wiki 是个不完备的系统。
: Just kidding.
| l*****8
发帖数: 16949 | 6 这是个很有趣的问题。Tarski的系统我也是第一次听说。刚才做了点research,大概原
因如下：
第一，Tarski的关于实数的公理系统是个二阶逻辑系统，歌德儿定理不适用。
第二，自然数系统虽然是实数的一个子集，但自然数本身的性质并不比实数简单，很多
地方甚至更复杂。比如很多素数的性质，在实数里根本不是问题。因为自然数有整除问
题，实数域则没有这个问题。 | j********x
发帖数: 2330 | 7 哥德尔的意思是不存在“完备”系统可以囊括所有一切系统吧
将问题局限到一定范围之内，系统本身是可以完备的，但是无法适用于系统之外；就比
如自然数无法用来描述实数。。。 | l*3
发帖数: 2279 | 8 不是这个意思.
哥德尔的意思是, 你的体系内只要承认 "自然数" 这一回事 (相当于你承认 "无穷" 这
一概念存在的合法性), 那么你体系本身就肯定不完备, 会存在一些命题可以在你体系
内表达出来, 但是无法证明其真伪.
和你说的那个不是一个概念.
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如果你进一步缩小体系的范围, 比如不承认 "无穷" 和 "递归" 的存在的合法性, 只讨
论有限个公理和其生成的命题公式, 那么体系应该是完备的.
【在 j********x 的大作中提到】
: 哥德尔的意思是不存在“完备”系统可以囊括所有一切系统吧
: 将问题局限到一定范围之内，系统本身是可以完备的，但是无法适用于系统之外；就比
: 如自然数无法用来描述实数。。。
| l*3
发帖数: 2279 | 9 我楼上说的也不严谨.
有时候你承认 "实数" 的合法性, 但是不承认实数的子集 "自然数" 的合法性的话, 那
体系也是没问题的 (貌似有人证明了).
关键的问题就是只要你承认 "自然数全体" 作为一个 "集合" 的合法性, 以及 "递归"
的概念, 那就会出现很大的问题.
也就是说如果你承认有这么一列东西 0, 1, 2, 3, ... 可以一直列下去, 并且他们可
以搁到一起组成一个集合, 那就会有很大的漏洞在里面.
【在 j********x 的大作中提到】
: 哥德尔的意思是不存在“完备”系统可以囊括所有一切系统吧
: 将问题局限到一定范围之内，系统本身是可以完备的，但是无法适用于系统之外；就比
: 如自然数无法用来描述实数。。。
| a*********e
发帖数: 3 | 10 http://math.stackexchange.com/questions/151000/tarskis-decidabi
【在 l*3 的大作中提到】
: 哥德尔不完备性定理及其一众衍生的定理我不懂. 但是我大概知道说的是什么意思.
: 哥德尔说: 如果你承认 "自然数" 这个概念 (某种无穷可列的概念), 那么你的体系必
: 定不完备.
: 但是我又看到有人说了, "实数体系" 和 "复数体系" 的完备性, 是可以证明的.
: 我想问一下, 如果我有这么一个体系, 他承认 "自然数", 并且承认 "幂集" ( 于是 "
: 实数" 作为 "自然数" 的幂集出现), 这种体系会不会一定是有矛盾的?
: 我感觉我这猜想靠谱呀.
: 你看现在我其实在说这么一件事情:
: 1. 如果你只讨论形式逻辑和 "有限" 的概念, 那你的体系是相容的和完备的.
: 2. 如果你在你的讨论中加入 "自然数" 的概念, 那你体系必然不完备, 且不能自证其
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