s***c
发帖数: 1926 | 1 在三角形ABC中,D 是BC的中点
分别以ABAC为一边,向三角形ABC内部作直角三角形ABEACF
大风 2014-4-24 22:01:27
,使角ABE=角ACF,连接DEDF,求证:DE=DF |
m****g
发帖数: 80 | 2 这个用复数或者向量很容易，综合方法做辅助线还没有想出。
【在 s***c 的大作中提到】
: 在三角形ABC中,D 是BC的中点
: 分别以ABAC为一边,向三角形ABC内部作直角三角形ABEACF
: 大风 2014-4-24 22:01:27
: ,使角ABE=角ACF,连接DEDF,求证:DE=DF
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d****o
发帖数: 32610 | 3 MFD==NED
【在 s***c 的大作中提到】
: 在三角形ABC中,D 是BC的中点
: 分别以ABAC为一边,向三角形ABC内部作直角三角形ABEACF
: 大风 2014-4-24 22:01:27
: ,使角ABE=角ACF,连接DEDF,求证:DE=DF
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e******d
发帖数: 5 | 4 设AB、AC中点分别为G、H， 可知：
1）EG=AG=BG=DH
2） FH=AH=CH=DG
又：
角EGD=180-角A-2*角ABE
角DHF=180-角A-2*角ACF
所以：
3）角EGD = 角DHF
由 1）2）3）===》 三角形DFH 全等于 三角形 EDG ===》DE = DF。
QED |
l**k
发帖数: 45267 | 5 ft,三角形DFH 全等于三角形EDG 这个结论不对
【在 e******d 的大作中提到】
: 设AB、AC中点分别为G、H， 可知：
: 1）EG=AG=BG=DH
: 2） FH=AH=CH=DG
: 又：
: 角EGD=180-角A-2*角ABE
: 角DHF=180-角A-2*角ACF
: 所以：
: 3）角EGD = 角DHF
: 由 1）2）3）===》 三角形DFH 全等于 三角形 EDG ===》DE = DF。
: QED
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s*****r
发帖数: 11545 | 6 Three basic rules:
c^2=a^2+b^2-2abcosC
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
sinC=c/2R
Solution:
(FD)^2
= (CF)^2+(a/2)^2-2(CF)(a/2)cos(C-X)
=(bcosX)^2+(a/2)^2-2(bcosX)(a/2)(cosCcosX+sinCsinX)
=(bcosX)^2+(a/2)^2-2(bcosX)(a/2)((a^2+b^2-c^2)/2abcosX+(c/2R)sinX))
=a^2/4+(b^2+c^2-a^2)(cosX)^2/2-abcsinX/2R
(ED)^2
=(BE)^2+(a/2)^2-2(BE)(a/2)cos(B-X)
=(ccosX)^2+(a/2)^2-2(ccosX)(a/2)(cosBcosX+sinBsinX)
=(ccosX)^2+(a/2)^2-2(ccosX)(a/2)((a^2+c^2-b^2)/2accosX+(b/2R)sinX))
=a^2/4+(b^2+c^2-a^2)(cosX)^2/2-abcsinX/2R
So, FD=ED |
b*******8
发帖数: 37364 | |
s*****r
发帖数: 11545 | 8 sorry for missing cosX above 2R
【在 s*****r 的大作中提到】
: Three basic rules:
: c^2=a^2+b^2-2abcosC
: cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
: sinC=c/2R
: Solution:
: (FD)^2
: = (CF)^2+(a/2)^2-2(CF)(a/2)cos(C-X)
: =(bcosX)^2+(a/2)^2-2(bcosX)(a/2)(cosCcosX+sinCsinX)
: =(bcosX)^2+(a/2)^2-2(bcosX)(a/2)((a^2+b^2-c^2)/2abcosX+(c/2R)sinX))
: =a^2/4+(b^2+c^2-a^2)(cosX)^2/2-abcsinX/2R
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s***c
发帖数: 1926 | 9 可行，以发包子
【在 s*****r 的大作中提到】
: sorry for missing cosX above 2R
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l*****i
发帖数: 20533 | 10 对的吧
【在 l**k 的大作中提到】
: ft,三角形DFH 全等于三角形EDG 这个结论不对
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b**k
发帖数: 3472 | 11 三角形ABC是什么三角形？任意三角形？如果是等腰三角形的话很好证吧
【在 s***c 的大作中提到】
: 在三角形ABC中,D 是BC的中点
: 分别以ABAC为一边,向三角形ABC内部作直角三角形ABEACF
: 大风 2014-4-24 22:01:27
: ,使角ABE=角ACF,连接DEDF,求证:DE=DF
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t********t
发帖数: 1070 | 12 当然对。eastwind的证明完全正确。
【在 l**k 的大作中提到】
: ft,三角形DFH 全等于三角形EDG 这个结论不对
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t********t
发帖数: 1070 | 13 是什么三角形对证明无影响。eastwind的证明是正确的。
【在 b**k 的大作中提到】
: 三角形ABC是什么三角形？任意三角形？如果是等腰三角形的话很好证吧
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s***c
发帖数: 1926 | 14 第一个做出来，5个包子
【在 d****o 的大作中提到】
: MFD==NED
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s***c
发帖数: 1926 | 15 详细过程，马上发包子
【在 e******d 的大作中提到】
: 设AB、AC中点分别为G、H， 可知：
: 1）EG=AG=BG=DH
: 2） FH=AH=CH=DG
: 又：
: 角EGD=180-角A-2*角ABE
: 角DHF=180-角A-2*角ACF
: 所以：
: 3）角EGD = 角DHF
: 由 1）2）3）===》 三角形DFH 全等于 三角形 EDG ===》DE = DF。
: QED
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d****o
发帖数: 32610 | 16 多谢！
【在 s***c 的大作中提到】
: 详细过程，马上发包子
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t********t
发帖数: 1070 | 17 大蝌蚪的数学表示不严谨，应该是 MFD==NDE或MDF==NED.
【在 s***c 的大作中提到】
: 第一个做出来，5个包子
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t***h
发帖数: 5601 | 18 利用这个方法可以证明: 角EDF = 2*角ABE = 2*角ACF
反过来, 如果能直接证明上式, 也可以用它来证明: 角EDG = 角DFH, 角FDH = 角DEG.
【在 e******d 的大作中提到】
: 设AB、AC中点分别为G、H， 可知：
: 1）EG=AG=BG=DH
: 2） FH=AH=CH=DG
: 又：
: 角EGD=180-角A-2*角ABE
: 角DHF=180-角A-2*角ACF
: 所以：
: 3）角EGD = 角DHF
: 由 1）2）3）===》 三角形DFH 全等于 三角形 EDG ===》DE = DF。
: QED
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K*****2
发帖数: 9308 | 19 大蝌蚪把辅助线都画出来了，还不会做的那几乎就是弱智 |
t***h
发帖数: 5601 | |
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t***h
发帖数: 5601 | 21 以D为原点, BC为实轴建立坐标系, 设 A=a+bi, B=c, C=-c
向量CA=a+c+bi, 向量BA=a-c+bi, 设 \theta = 角ABE = 角ACF
向量CF = (a+c+bi)*e^{-i\theta}*\cos\theta
向量BE = (a-c+bi)*e^{i\theta}*\cos\theta
F = (a+c+bi)*e^{-i\theta}*\cos\theta - c
= [a\cos^2\theta + b\sin\theta\cos\theta - c\sin^2\theta] +
[b\cos^2\theta - (a+c)\sin\theta\cos\theta] i
E = (a-c+bi)*e^{i\theta}*cos\theta + c
= [a\cos^2\theta - b\sin\theta\cos\theta + c\sin^2\theta] +
[b\cos^2\theta + (a-c)\sin\theta\cos\theta] i
展开计算可得 |F|^2 = |E|^2
【在 m****g 的大作中提到】
: 这个用复数或者向量很容易，综合方法做辅助线还没有想出。
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t***h
发帖数: 5601 | 22 还可以计算
F = E * e^{2i\theta} = E * (\cos2\theta + i\sin2\theta)
从而证明: 角EDF = 2*\theta
【在 t***h 的大作中提到】
: 以D为原点, BC为实轴建立坐标系, 设 A=a+bi, B=c, C=-c
: 向量CA=a+c+bi, 向量BA=a-c+bi, 设 \theta = 角ABE = 角ACF
: 向量CF = (a+c+bi)*e^{-i\theta}*\cos\theta
: 向量BE = (a-c+bi)*e^{i\theta}*\cos\theta
: F = (a+c+bi)*e^{-i\theta}*\cos\theta - c
: = [a\cos^2\theta + b\sin\theta\cos\theta - c\sin^2\theta] +
: [b\cos^2\theta - (a+c)\sin\theta\cos\theta] i
: E = (a-c+bi)*e^{i\theta}*cos\theta + c
: = [a\cos^2\theta - b\sin\theta\cos\theta + c\sin^2\theta] +
: [b\cos^2\theta + (a-c)\sin\theta\cos\theta] i
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p**********6
发帖数: 3408 | 23 没有。现代欧几里德平面几何公理系统是完备的。也就是说，只要你能写出一个命题，
理论上说（实际当然要看解题者水平），就必定有一个证明，可以证明这个命题是对的
，或者这个命题的否命题是对的。
【在 b*******8 的大作中提到】
: 有没有无法用辅助线解决，只能靠解析证明的题目？
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