r*********n
发帖数: 4553 | 1 【 以下文字转载自 EE 讨论区 】
发信人: rainbowrain (rainbowrain), 信区: EE
标 题: 问一个概率的问题
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jan 29 19:54:15 2008)
已知x,y是独立的均值为0，方差为a^2的正态分布
r=(x^2-y^2)/sqrt(x^2+y^2),
q=2xy/sqrt(x^2+y^2),
那么r,q的joint pdf是多少？ | f******y
发帖数: 2971 | 2 这个好像有公式吧。
【在 r*********n 的大作中提到】
: 【 以下文字转载自 EE 讨论区 】
: 发信人: rainbowrain (rainbowrain), 信区: EE
: 标 题: 问一个概率的问题
: 发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jan 29 19:54:15 2008)
: 已知x,y是独立的均值为0，方差为a^2的正态分布
: r=(x^2-y^2)/sqrt(x^2+y^2),
: q=2xy/sqrt(x^2+y^2),
: 那么r,q的joint pdf是多少？
| m****d
发帖数: 331 | 3 use 2-2 transformation, calculating Jacobi matrix first.
I assume that there is a unique solution to x,y to that group equation.hehe.
..
【在 r*********n 的大作中提到】
: 【 以下文字转载自 EE 讨论区 】
: 发信人: rainbowrain (rainbowrain), 信区: EE
: 标 题: 问一个概率的问题
: 发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jan 29 19:54:15 2008)
: 已知x,y是独立的均值为0，方差为a^2的正态分布
: r=(x^2-y^2)/sqrt(x^2+y^2),
: q=2xy/sqrt(x^2+y^2),
: 那么r,q的joint pdf是多少？
| i********e
发帖数: 31 | 4 the denominator is (x^2+y^2) or sqrt(x^2+y^2)?
if the denominator is (x^2+y^2), take a look at
http://www.youtube.com/watch?v=xLH_Rg03-dM
or google
http://en.wikipedia.org/wiki/Box-Muller_transform
【在 r*********n 的大作中提到】
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: 发信人: rainbowrain (rainbowrain), 信区: EE
: 标 题: 问一个概率的问题
: 发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jan 29 19:54:15 2008)
: 已知x,y是独立的均值为0，方差为a^2的正态分布
: r=(x^2-y^2)/sqrt(x^2+y^2),
: q=2xy/sqrt(x^2+y^2),
: 那么r,q的joint pdf是多少？
| r*********n
发帖数: 4553 | 5 it's the square root of x^2+y^2
【在 i********e 的大作中提到】
: the denominator is (x^2+y^2) or sqrt(x^2+y^2)?
: if the denominator is (x^2+y^2), take a look at
: http://www.youtube.com/watch?v=xLH_Rg03-dM
: or google
: http://en.wikipedia.org/wiki/Box-Muller_transform
| r*********n
发帖数: 4553 | 6 我的思路是这样的，先求出r,q的joint CDF，然后求导就可以得到PDF
因为XY独立正太，所以其联合联合概率密度函数很好求，困难的是根据：
(x^2-y^2)/sqrt(x^2+y^2)
这两个不等式，把r,q看成是参数，解出一个闭合的曲线。如果能得到这个闭合的曲线
，那么用XY的joint PDF在这个闭合曲线形成的面上面积分，就可以得到CDF
这是最常规的思路，但是就是得不到那个闭合曲线 | e**********n
发帖数: 359 | 7 Let z = x+iy, then z^2 = (r+iq)*|z|, define w = r+iq,
then w = |z| (z/|z|)^2, its distribution is rotationally symmetric and only
depends on |z|.
Also |w|^2 = |z|^2, so P(|w|
Therefore, w and z have identical distribution.
r and q are two independent normal random variables with variance a^2. | y*w
发帖数: 238 | 8 7楼思路正解，这是一个旋转变换
你先做这道题你就明白了
r = x cos(theta) - y sin(theta)
q = x sin(theta) + y cos(theta)
x,y独立正态，theta为常数，r，q就是旋转theta角的2维独立分布，当然也是独立分布
你这道题可以被改编为如下的面试题：
2D面上有N个点，是2维独立正太分布，现在把
（1）每个点的幅角加30度
（2）每个点的幅角加倍
以后，这N个点是什么分布？
【在 r*********n 的大作中提到】
: 我的思路是这样的，先求出r,q的joint CDF，然后求导就可以得到PDF
: 因为XY独立正太，所以其联合联合概率密度函数很好求，困难的是根据：
: (x^2-y^2)/sqrt(x^2+y^2): 这两个不等式，把r,q看成是参数，解出一个闭合的曲线。如果能得到这个闭合的曲线
: ，那么用XY的joint PDF在这个闭合曲线形成的面上面积分，就可以得到CDF
: 这是最常规的思路，但是就是得不到那个闭合曲线
| r*********n
发帖数: 4553 | 9 thx
已经解出来了，r,q都是独立的N(0,a^2) RV， | i********e
发帖数: 31 | 10 Let z = x+yi, \rho = abs(z) = |z|, \theta = arg(z)
case A:
z -> z^2/|z|^2: (\rho,\theta) -> (1, 2\theta)
case B:
z -> z^2/|z|: (\rho,\theta) -> (\rho, 2\theta)
fact I:
if z ~ complex normal, then
\theta ~ uniform distribution on the unit circle [0, 2\pi)
fact II:
the uniform distribution on the unit circle is
translation and scale invariant
【在 r*********n 的大作中提到】
: it's the square root of x^2+y^2
| m********g
发帖数: 46 | 11 Consider the transformation:
(x,y) -> (\rho, \theta) -> (r,q)
r=\rho*cos(2\theta)
q=\rho*sin(2\theta)
Then Jacobi(r,q)/(x,y)=2. It means that r,q are independent with the same
joint distribution as x,y. |
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