w*********l
发帖数: 1337 | 1 谁能帮我证明一下对于连续变量X, Y
E(X+Y) = E(X) + E（Y）？
先谢谢了。
手头没有概率书，翻了翻网上的资料，一般都不给出证明。自己想了半天没想出来怎么
证。 | C******t
发帖数: 72 | 2 E(X+Y)=integ[integ[(X+Y)f(x,y)dxdy]]=integ[integ(x)f(x,y)dxdy]+inte[integ(y)
f(x,y)dxdy]=integ[xf(x)dx]+integ[yf(y)dy]=E(x)+E(y) | w*********l
发帖数: 1337 | 3 挺有道理的，不过integ[integ(x)f(x,y)dxdy]+inte[integ(y)f(x,y)dxdy]=integ[xf(
x)dx]+integ[yf(y)dy]
不知道有没有严格的证明。我能想象dxdy是一块小面积，那f(x,y)dxdy从y方向上积起
来就是整个长条的密度乘以dx。
不过就是这么想还是有点太大白话了，不知道怎么用数学语言描述。
y)
【在 C******t 的大作中提到】
: E(X+Y)=integ[integ[(X+Y)f(x,y)dxdy]]=integ[integ(x)f(x,y)dxdy]+inte[integ(y)
: f(x,y)dxdy]=integ[xf(x)dx]+integ[yf(y)dy]=E(x)+E(y)
| w*********l
发帖数: 1337 | 4 还有阿，我也不知道如果X是Y的函数，还能不能这样简单从两个方向分别积分。
xf(
【在 w*********l 的大作中提到】
: 挺有道理的，不过integ[integ(x)f(x,y)dxdy]+inte[integ(y)f(x,y)dxdy]=integ[xf(
: x)dx]+integ[yf(y)dy]
: 不知道有没有严格的证明。我能想象dxdy是一块小面积，那f(x,y)dxdy从y方向上积起
: 来就是整个长条的密度乘以dx。
: 不过就是这么想还是有点太大白话了，不知道怎么用数学语言描述。
:
: y)
| C******t
发帖数: 72 | 5 1.) int(f(x,y)dy)=f(x);
2.) if y=g(x), then you need only intergrate dx. | s*****n
发帖数: 2174 | 6 这个东西的严格证明, 要用到测度论, 里面涉及到Fubini变换.
如果不要求严格, 二楼的证明就可以了. | w*********l
发帖数: 1337 | 7 对。我想要的其实是这种严格的证明。二楼的证明其实更像是个intuition。
不知道fubini变换是什么，看了一下fubini定理，好像就是说收敛的话积分顺序不重要。
我觉得我的坎儿其实就在这。如果有这个结论给我时间给我纸笔估计我能证出来。：）
【在 s*****n 的大作中提到】
: 这个东西的严格证明, 要用到测度论, 里面涉及到Fubini变换.
: 如果不要求严格, 二楼的证明就可以了.
| y*****y
发帖数: 98 | 8 If you don't know any measure theory, you can not "prove" it. It's nothing
about calculation. It's about concept. | s*****n
发帖数: 2174 | 9 找本测度论和概率的书, 书上一定有这个的证明.
有了Lebesgue积分基本概念和定理(积分收敛+Fubini定理)以后,
这个东西的证明顶多2,3行.
如果你不懂测度论, 对积分的理解还限于Riemann积分的高度,
你不可能自己把这个东西严格证明出来.
要。
【在 w*********l 的大作中提到】
: 对。我想要的其实是这种严格的证明。二楼的证明其实更像是个intuition。
: 不知道fubini变换是什么，看了一下fubini定理，好像就是说收敛的话积分顺序不重要。
: 我觉得我的坎儿其实就在这。如果有这个结论给我时间给我纸笔估计我能证出来。：）
| w*********l
发帖数: 1337 | 10 没学过测度论。原来数学分析讲的积分就是黎曼积分，我觉得还挺严格的。后面多元微
积分我觉得就好多都handwave了。
我估计找本测度论看看应该差不多。
谢谢了。
【在 s*****n 的大作中提到】
: 找本测度论和概率的书, 书上一定有这个的证明.
: 有了Lebesgue积分基本概念和定理(积分收敛+Fubini定理)以后,
: 这个东西的证明顶多2,3行.
: 如果你不懂测度论, 对积分的理解还限于Riemann积分的高度,
: 你不可能自己把这个东西严格证明出来.
:
: 要。
| B****n
发帖数: 11290 | 11 在實分析的定義裡面 通常是先定義step function的積分 然後一般可積分的函數就是
取step function的積分的極限 用這種基本定義就可以證明積分是線性了 不需要用到
Fubini定理
但是如果你已經定義出積分 又有了Fubini定理 那當然可以用來證明了
【在 w*********l 的大作中提到】
: 谁能帮我证明一下对于连续变量X, Y
: E(X+Y) = E(X) + E（Y）？
: 先谢谢了。
: 手头没有概率书，翻了翻网上的资料，一般都不给出证明。自己想了半天没想出来怎么
: 证。
| s*****n
发帖数: 2174 | 12 光证明积分的线性是不够的, 那只是在同一测度空间内的可加关系.
关键是要说明X+Y, X 和 Y 三个不同的测度空间之间的联系和转换.
Fubini定理本身(积分交换顺序)的确不是证明这个东西所必需的.
但它隐含的X+Y和X测度空间的联系还是不可避免.
一般要分两步证明
(1). 如果E(X) 和 E(Y) 都存在, 则 E(X+Y) 也存在.
这个不难证, 绝对值不等式就可以.
(2). 证明E(X) + E(Y) 和 上面的 E(X+Y)相等. 这个要费点功夫了,
往往需要一系列引理. 最主要的就是要说明X+Y作为乘积空间里的函数,
与它对于一个子空间的内积函数具有相同的积分(相对于子空间的测度).
这个基本上等价于把Fubini定理最核心的东西给证了一遍.
【在 B****n 的大作中提到】
: 在實分析的定義裡面 通常是先定義step function的積分 然後一般可積分的函數就是
: 取step function的積分的極限 用這種基本定義就可以證明積分是線性了 不需要用到
: Fubini定理
: 但是如果你已經定義出積分 又有了Fubini定理 那當然可以用來證明了
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