l*3
发帖数: 2279 | |
l*3
发帖数: 2279 | 2 注: 关于 "无穷集", 其标准定义是 "不是有限集的集合". 什么是有限集? 再往下说就
扯远了, 就按通常的理解吧, 即 "集合内元素的个数有限". |
l*3
发帖数: 2279 | 3 注2: 所谓 "元素个数有限" 的 "集合", 就是说存在一个自然数k, 使得该可以在该集
合和 {1,2,...,k}这个集合之间建立一一对应. |
l*3
发帖数: 2279 | 4 注3: 什么叫自然数k? 不扯远了, 就默认我们承认通常意义下的那种自然数就是我们要
讨论的自然数, 并且我们讨论的范围仅限于自然数. |
l*3
发帖数: 2279 | 5 好了我一时半会只能想出来这么多.
如果有人能很牛逼地 不用反证法证明 "素数有无穷多个", 那我佩服你. |
t*******r
发帖数: 22634 | 6 如果接受您这个定义，那俺同意您的观点。
但是码工可以不接受这个定义。。。请先证明一下证明“无穷多”必须引入“无穷集”
。。。
另外，牛顿和莱布尼兹向码工发来贺电。。。
【在 l*3 的大作中提到】
: 注: 关于 "无穷集", 其标准定义是 "不是有限集的集合". 什么是有限集? 再往下说就
: 扯远了, 就按通常的理解吧, 即 "集合内元素的个数有限".
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t*******r
发帖数: 22634 | 7 欧几里德在中学数学里太猖狂了。可以考虑关门，然后放牛顿和莱布尼兹。。。 |
l*3
发帖数: 2279 | 8 主流数学公理体系是这么定义的. 我也不敢乱讲.
【在 t*******r 的大作中提到】
: 如果接受您这个定义，那俺同意您的观点。
: 但是码工可以不接受这个定义。。。请先证明一下证明“无穷多”必须引入“无穷集”
: 。。。
: 另外，牛顿和莱布尼兹向码工发来贺电。。。
|
t*******r
发帖数: 22634 | 9 给英文名字是哪个公理体系啊。。。
【在 l*3 的大作中提到】
: 主流数学公理体系是这么定义的. 我也不敢乱讲.
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l*3
发帖数: 2279 | 10 ZFC吧?
其实我只学过康托的那种朴素集合论. 那里面是那么定义的.
公理集合论完全不懂. 不过估计定义不会比康托那一套的更复杂了吧.
【在 t*******r 的大作中提到】
: 给英文名字是哪个公理体系啊。。。
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m**x
发帖数: 8454 | 11 这样定义无穷多如何： 对于任意一个自然数N，集合中存在M个元素，且M>N
【在 t*******r 的大作中提到】
: 如果接受您这个定义，那俺同意您的观点。
: 但是码工可以不接受这个定义。。。请先证明一下证明“无穷多”必须引入“无穷集”
: 。。。
: 另外，牛顿和莱布尼兹向码工发来贺电。。。
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l*3
发帖数: 2279 | 12 公理化集合论的观点就是, 所谓 "无穷个", 是指某个集合的势不是任意一个自然数n
【在 t*******r 的大作中提到】
: 如果接受您这个定义，那俺同意您的观点。
: 但是码工可以不接受这个定义。。。请先证明一下证明“无穷多”必须引入“无穷集”
: 。。。
: 另外，牛顿和莱布尼兹向码工发来贺电。。。
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x*****p
发帖数: 1707 | 13 证明：我们知道2和3是素数。我定义 p_1 = 2, p_2 = 3, 对于k>2，我定义第k个素数p
_k为整数N_k = p_1*p_2*...*p_(k-1) + 1 最小的素因子。按这个定义，我们得到下面
的素数列。
p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 7, p_4 = 43, p_5 = 13, ...
由于这种构造必能得到与以前不同的素数，于是我们建立了一个素数列，并可和自然数
列一一对应。于是素数有无穷多个。
【在 l*3 的大作中提到】
: 不信你试试, 我保证给你找出证明中的错误.
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d******k
发帖数: 4295 | 14 你需要证明p_k是素数，又绕回到反证法
数p
【在 x*****p 的大作中提到】
: 证明：我们知道2和3是素数。我定义 p_1 = 2, p_2 = 3, 对于k>2，我定义第k个素数p
: _k为整数N_k = p_1*p_2*...*p_(k-1) + 1 最小的素因子。按这个定义，我们得到下面
: 的素数列。
: p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 7, p_4 = 43, p_5 = 13, ...
: 由于这种构造必能得到与以前不同的素数，于是我们建立了一个素数列，并可和自然数
: 列一一对应。于是素数有无穷多个。
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x*****p
发帖数: 1707 | 15 我定义的p_k是最小的素因子，当然是素数了，这也用反证？
【在 d******k 的大作中提到】
: 你需要证明p_k是素数，又绕回到反证法
:
: 数p
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m**x
发帖数: 8454 | 16 这个证明貌似没什么问题
数p
【在 x*****p 的大作中提到】
: 证明：我们知道2和3是素数。我定义 p_1 = 2, p_2 = 3, 对于k>2，我定义第k个素数p
: _k为整数N_k = p_1*p_2*...*p_(k-1) + 1 最小的素因子。按这个定义，我们得到下面
: 的素数列。
: p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 7, p_4 = 43, p_5 = 13, ...
: 由于这种构造必能得到与以前不同的素数，于是我们建立了一个素数列，并可和自然数
: 列一一对应。于是素数有无穷多个。
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d******k
发帖数: 4295 | 17 我又看错贴了，别debug别灌水要不得呀
【在 x*****p 的大作中提到】
: 我定义的p_k是最小的素因子，当然是素数了，这也用反证？
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x*****p
发帖数: 1707 | 18 请楼主指出我证明中的问题
【在 m**x 的大作中提到】
: 这个证明貌似没什么问题
:
: 数p
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C**********r
发帖数: 8189 | 19 debug对码工的内存要求还是蛮高的，还是不要multi task的好。
【在 d******k 的大作中提到】
: 我又看错贴了，别debug别灌水要不得呀
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s**e
发帖数: 1498 | 20 N_k是素数怎么办。
数p
【在 x*****p 的大作中提到】
: 证明：我们知道2和3是素数。我定义 p_1 = 2, p_2 = 3, 对于k>2，我定义第k个素数p
: _k为整数N_k = p_1*p_2*...*p_(k-1) + 1 最小的素因子。按这个定义，我们得到下面
: 的素数列。
: p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 7, p_4 = 43, p_5 = 13, ...
: 由于这种构造必能得到与以前不同的素数，于是我们建立了一个素数列，并可和自然数
: 列一一对应。于是素数有无穷多个。
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m**x
发帖数: 8454 | 21 p_k=N_k
【在 s**e 的大作中提到】
: N_k是素数怎么办。
:
: 数p
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s**e
发帖数: 1498 | 22 它应用了素数是无穷的这个结论吗？
【在 m**x 的大作中提到】
: p_k=N_k
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s**e
发帖数: 1498 | 23 mdmx人呢？
【在 s**e 的大作中提到】
: 它应用了素数是无穷的这个结论吗？
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s**e
发帖数: 1498 | 24 我嚼着这里有循环论证
【在 s**e 的大作中提到】
: mdmx人呢？
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x*****p
发帖数: 1707 | 25 N_k是素数，那p_k=N_k，因为N_k的最小的素因子p_k就是自己。
比如：N_3 = p_1 * p_2 + 1 = 7, then p_3 = N_3 = 7
【在 s**e 的大作中提到】
: N_k是素数怎么办。
:
: 数p
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m**x
发帖数: 8454 | 26 no
【在 s**e 的大作中提到】
: 它应用了素数是无穷的这个结论吗？
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s**e
发帖数: 1498 | 27 如果素数不是无穷的，p_k会停在某个finite数上，是吗？
【在 m**x 的大作中提到】
: no
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m**x
发帖数: 8454 | 28 不能用有穷或无穷的假设, 现在不是反正法或归谬法
【在 s**e 的大作中提到】
: 如果素数不是无穷的，p_k会停在某个finite数上，是吗？
|
m**x
发帖数: 8454 | 29 此证明构造的是一个一一对应的映射关系
或者说，证明了素数集和自然数集是同态的。不知道我表述得对不对，学的东西基本都
忘了。 |
w****g
发帖数: 727 | |
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s**e
发帖数: 1498 | 31 p_k为什么不会停在某个finite的数上？
【在 m**x 的大作中提到】
: 不能用有穷或无穷的假设, 现在不是反正法或归谬法
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n*****b
发帖数: 2235 | 32 by construction
for any k > 1 and j < k, p_k \neq p_j
since p_k divides p_1... p_{k-1} + 1 and p_j doesn't
【在 s**e 的大作中提到】
: p_k为什么不会停在某个finite的数上？
|
x*****p
发帖数: 1707 | 33 是的。自然数有多少个，素数就有多少个。根据这个构造方法，p_k不会停留在某个固
定的数上，因为每一次的构造，就找到一个与以前不一样的素数。
【在 m**x 的大作中提到】
: 此证明构造的是一个一一对应的映射关系
: 或者说，证明了素数集和自然数集是同态的。不知道我表述得对不对，学的东西基本都
: 忘了。
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m**x
发帖数: 8454 | 34 p_k肯定和之前的素数不同
【在 s**e 的大作中提到】
: p_k为什么不会停在某个finite的数上？
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s**e
发帖数: 1498 | 35 所以这个证法首先证明了素数有无穷多个，同时证明了它是可数集，明白了。
【在 n*****b 的大作中提到】
: by construction
: for any k > 1 and j < k, p_k \neq p_j
: since p_k divides p_1... p_{k-1} + 1 and p_j doesn't
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m**x
发帖数: 8454 | 36 说错了一点，是证明了素数的某个子集和自然数集同态
【在 m**x 的大作中提到】
: 此证明构造的是一个一一对应的映射关系
: 或者说，证明了素数集和自然数集是同态的。不知道我表述得对不对，学的东西基本都
: 忘了。
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s**e
发帖数: 1498 | 37 同态好像说群的，集合用势。
【在 m**x 的大作中提到】
: 说错了一点，是证明了素数的某个子集和自然数集同态
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c***x
发帖数: 1990 | 38 你终于露出了坏银的本质。
【在 s**e 的大作中提到】
: 同态好像说群的，集合用势。
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x*****p
发帖数: 1707 | 39 自然数集可以自然嵌入(单映射)到素数的子集合中，而素数子集可以自然嵌入到素数集
合中，而素数集合又可以自然嵌入到自然数集合中。所以最后自然数集和素数集是有相
同的基数。
【在 m**x 的大作中提到】
: 说错了一点，是证明了素数的某个子集和自然数集同态
|
m**x
发帖数: 8454 | 40 我同态是乱说的，google了一下才发现自己胡说八道。
【在 c***x 的大作中提到】
: 你终于露出了坏银的本质。
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d******k
发帖数: 4295 | 41 扩展一下，
有理数，整数，自然数，奇/偶数, 素/合数都是可数无穷,呵呵。
【在 x*****p 的大作中提到】
: 自然数集可以自然嵌入(单映射)到素数的子集合中，而素数子集可以自然嵌入到素数集
: 合中，而素数集合又可以自然嵌入到自然数集合中。所以最后自然数集和素数集是有相
: 同的基数。
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x******a
发帖数: 195 | |
l*3
发帖数: 2279 | 43 编辑掉, 待我看看.
数p
【在 x*****p 的大作中提到】
: 证明：我们知道2和3是素数。我定义 p_1 = 2, p_2 = 3, 对于k>2，我定义第k个素数p
: _k为整数N_k = p_1*p_2*...*p_(k-1) + 1 最小的素因子。按这个定义，我们得到下面
: 的素数列。
: p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 7, p_4 = 43, p_5 = 13, ...
: 由于这种构造必能得到与以前不同的素数，于是我们建立了一个素数列，并可和自然数
: 列一一对应。于是素数有无穷多个。
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f*******i
发帖数: 1049 | 44 没问题
数p
【在 x*****p 的大作中提到】
: 证明：我们知道2和3是素数。我定义 p_1 = 2, p_2 = 3, 对于k>2，我定义第k个素数p
: _k为整数N_k = p_1*p_2*...*p_(k-1) + 1 最小的素因子。按这个定义，我们得到下面
: 的素数列。
: p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 7, p_4 = 43, p_5 = 13, ...
: 由于这种构造必能得到与以前不同的素数，于是我们建立了一个素数列，并可和自然数
: 列一一对应。于是素数有无穷多个。
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l*3
发帖数: 2279 | 45 呵呵.. 是这样的, 与 "自然数集" 等势, 并不是 "无穷集" 的概念．
请进一步证明: "自然数集是无穷集"
否则你的证明不全.
数p
【在 x*****p 的大作中提到】
: 证明：我们知道2和3是素数。我定义 p_1 = 2, p_2 = 3, 对于k>2，我定义第k个素数p
: _k为整数N_k = p_1*p_2*...*p_(k-1) + 1 最小的素因子。按这个定义，我们得到下面
: 的素数列。
: p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 7, p_4 = 43, p_5 = 13, ...
: 由于这种构造必能得到与以前不同的素数，于是我们建立了一个素数列，并可和自然数
: 列一一对应。于是素数有无穷多个。
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s**e
发帖数: 1498 | 46 差不多得了，用dedekind的定义很容易证了。。
【在 l*3 的大作中提到】
: 呵呵.. 是这样的, 与 "自然数集" 等势, 并不是 "无穷集" 的概念．
: 请进一步证明: "自然数集是无穷集"
: 否则你的证明不全.
:
: 数p
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s*****n
发帖数: 2174 | 47 你这个理由站不住脚吧,
素数集是自然数集的子集.
你一方面让证明素数集是无穷集, 而另一方面又不承认自然数集是无穷集.
【在 l*3 的大作中提到】
: 呵呵.. 是这样的, 与 "自然数集" 等势, 并不是 "无穷集" 的概念．
: 请进一步证明: "自然数集是无穷集"
: 否则你的证明不全.
:
: 数p
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l*3
发帖数: 2279 | 48 我不知道自然数是不是无穷集呀?
我只想让证明素数是无穷集.
就算自然数是无穷集 (不是有穷集), 那我又不知道有穷集的子集是不是一定是有穷集,
没人给我证明过呀.
【在 s*****n 的大作中提到】
: 你这个理由站不住脚吧,
: 素数集是自然数集的子集.
: 你一方面让证明素数集是无穷集, 而另一方面又不承认自然数集是无穷集.
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t*******r
发帖数: 22634 | 49 有穷集的子集是无穷集。。。这个想法很牛叉啊。。。让我先去
翻翻多重宇宙论，或者 tmd 素数维度超弦理论，看看能不能证明。。。
集,
【在 l*3 的大作中提到】
: 我不知道自然数是不是无穷集呀?
: 我只想让证明素数是无穷集.
: 就算自然数是无穷集 (不是有穷集), 那我又不知道有穷集的子集是不是一定是有穷集,
: 没人给我证明过呀.
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C**********r
发帖数: 8189 | 50
笑喷了……
【在 t*******r 的大作中提到】
: 有穷集的子集是无穷集。。。这个想法很牛叉啊。。。让我先去
: 翻翻多重宇宙论，或者 tmd 素数维度超弦理论，看看能不能证明。。。
:
: 集,
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l*3
发帖数: 2279 | 51 "有穷集合的子集是有穷子集" 是集合论中很基本的一个定理.
证明也很长. 你觉得好笑, 那是因为你不懂朴素集合论中 "有穷", "无穷" 的概念.
而且即便我承认 "有穷集合的子集是有穷集合" , 你也不能说我让证明素数集是无穷,
就默认自然数集也无穷吧?
我只能说 : 如果自然数集不是无穷集, 那么自然数集是有穷集. 那么自然数集的子集
必然是有穷集, 于是你说 "你让我证明素数是无穷集, 一定暗含了自然数集是无穷集"
是有道理的.
不过这里面已经开始出现 "如果自然数集不是无穷集" 这种表述了, 反证法的嫌疑.
【在 t*******r 的大作中提到】
: 有穷集的子集是无穷集。。。这个想法很牛叉啊。。。让我先去
: 翻翻多重宇宙论，或者 tmd 素数维度超弦理论，看看能不能证明。。。
:
: 集,
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l*3
发帖数: 2279 | 52 我的要求实在是有点无理取闹.
首先我说 "无穷集" 的定义是 "不和任何有限集等势"
所以要想用定义来验证A是无穷极, 那就必须 "假设A和某个有限集B等势, 然后推出矛
盾"
从这个角度来说, 我干了一件非常没意思的事情. |
t*******r
发帖数: 22634 | 53 俺去查了一下 ZFC 里面的无穷集，其实 ZFC 里面的把自然数集合
定义为无穷集。
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
按照 ZFC 的定义，其实计算机图论都是无穷集，一样是递归产生
的东西。
但是计算机图论几乎从来不讨论有穷无穷。我有时候觉得（当然可能
是偏见），有穷无穷之对纯数学有意义，对信息学意义不大。因为信
息学本质上是在某种自动机上面跑，有多少内存时间，能跑多大程序。
信息学更关心 big O()，而不是有穷无穷。
不过也好，现在我知道计算机的图论/LR文法等等，ZFC 的观点都是
无穷集。。。不过对图论编程可能是 totally pointless 。。。
,
"
【在 l*3 的大作中提到】
: "有穷集合的子集是有穷子集" 是集合论中很基本的一个定理.
: 证明也很长. 你觉得好笑, 那是因为你不懂朴素集合论中 "有穷", "无穷" 的概念.
: 而且即便我承认 "有穷集合的子集是有穷集合" , 你也不能说我让证明素数集是无穷,
: 就默认自然数集也无穷吧?
: 我只能说 : 如果自然数集不是无穷集, 那么自然数集是有穷集. 那么自然数集的子集
: 必然是有穷集, 于是你说 "你让我证明素数是无穷集, 一定暗含了自然数集是无穷集"
: 是有道理的.
: 不过这里面已经开始出现 "如果自然数集不是无穷集" 这种表述了, 反证法的嫌疑.
|
l*3
发帖数: 2279 | 54 哦, 你这个链接里说的是 "无穷公理", 不是 "无穷集合的定义", 不要搞混了.
你这个链接里的无穷公理, 是这么个意思: (看附图)
其中并未说到 "什么是无穷集", 只是说 "我们承认递归集存在的合理性"
同样的, 自然数集合也并不是被定义为 "无穷集", 无穷公理只是说 (同时需要用到
Axiom schema of specification): 自然数集确实是一个 "我们承认其合法性" 的集合
.
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺去查了一下 ZFC 里面的无穷集，其实 ZFC 里面的把自然数集合
: 定义为无穷集。
: http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
: 按照 ZFC 的定义，其实计算机图论都是无穷集，一样是递归产生
: 的东西。
: 但是计算机图论几乎从来不讨论有穷无穷。我有时候觉得（当然可能
: 是偏见），有穷无穷之对纯数学有意义，对信息学意义不大。因为信
: 息学本质上是在某种自动机上面跑，有多少内存时间，能跑多大程序。
: 信息学更关心 big O()，而不是有穷无穷。
: 不过也好，现在我知道计算机的图论/LR文法等等，ZFC 的观点都是
|
t*******r
发帖数: 22634 | 55 I see. Thanks!
【在 l*3 的大作中提到】
: 哦, 你这个链接里说的是 "无穷公理", 不是 "无穷集合的定义", 不要搞混了.
: 你这个链接里的无穷公理, 是这么个意思: (看附图)
: 其中并未说到 "什么是无穷集", 只是说 "我们承认递归集存在的合理性"
: 同样的, 自然数集合也并不是被定义为 "无穷集", 无穷公理只是说 (同时需要用到
: Axiom schema of specification): 自然数集确实是一个 "我们承认其合法性" 的集合
: .
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x*****p
发帖数: 1707 | 56 上回我给你玩定义，这回你给我玩定义。打平。
【在 l*3 的大作中提到】
: 哦, 你这个链接里说的是 "无穷公理", 不是 "无穷集合的定义", 不要搞混了.
: 你这个链接里的无穷公理, 是这么个意思: (看附图)
: 其中并未说到 "什么是无穷集", 只是说 "我们承认递归集存在的合理性"
: 同样的, 自然数集合也并不是被定义为 "无穷集", 无穷公理只是说 (同时需要用到
: Axiom schema of specification): 自然数集确实是一个 "我们承认其合法性" 的集合
: .
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m**x
发帖数: 8454 | 57 这没什么道理。按你这么说，所有东西都要证明一遍，因为你总是可以追根溯源直到其
中某个证明用到了反证法。你干脆说除了公理什么定义都不能用得了。
【在 l*3 的大作中提到】
: 呵呵.. 是这样的, 与 "自然数集" 等势, 并不是 "无穷集" 的概念．
: 请进一步证明: "自然数集是无穷集"
: 否则你的证明不全.
:
: 数p
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m**x
发帖数: 8454 | 58 true, you have reached your goal. haha
【在 x*****p 的大作中提到】
: 上回我给你玩定义，这回你给我玩定义。打平。
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m**x
发帖数: 8454 | 59 断言: 只从公理出发，不用反证法, 不可能证明 "素数集是一个无穷集" |
m**x
发帖数: 8454 | 60 如果某人拿出自己的证明推翻以上结论，估计数学大拿都可以过来拜码头了。 |
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s**e
发帖数: 1498 | 61 你是真的没学过公理集合论。
【在 l*3 的大作中提到】
: 哦, 你这个链接里说的是 "无穷公理", 不是 "无穷集合的定义", 不要搞混了.
: 你这个链接里的无穷公理, 是这么个意思: (看附图)
: 其中并未说到 "什么是无穷集", 只是说 "我们承认递归集存在的合理性"
: 同样的, 自然数集合也并不是被定义为 "无穷集", 无穷公理只是说 (同时需要用到
: Axiom schema of specification): 自然数集确实是一个 "我们承认其合法性" 的集合
: .
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l*3
发帖数: 2279 | 62 上次你那显然没玩好. 后来怎么不见动静了? 我让你说清楚为什么我那种定义不能判定
出一个数是不是我定义的 "素数", 你怎么半天说不出来?
至于定义出来的素数是不是通常意义下的素数, 那个在我原帖171楼有说明.
【在 x*****p 的大作中提到】
: 上回我给你玩定义，这回你给我玩定义。打平。
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l*3
发帖数: 2279 | 63 是真没学过.
哪里说错了? 求指出.
【在 s**e 的大作中提到】
: 你是真的没学过公理集合论。
|
s**e
发帖数: 1498 | 64 无穷公理定义了自然数集的存在，没有它，zfc中别的公理无法证明自然数集的存在。
这里，定义无穷是没有必要的。自然数集存在了，并有它的一切性质，包括了所谓无穷。
你这个帖子里洋洋得意的说不用反证法就不能定义无穷，无外乎在朴素集合论里，无穷
集是基于有限集的反例定义的。我说的对吗？
但是在zfc里，无穷是不需要定义的，他只是符合无穷公理的集合的一个性质而已。
还有，不用反例也可以定义无穷，比如dedekind的定义，不是一目了然吗？
【在 l*3 的大作中提到】
: 是真没学过.
: 哪里说错了? 求指出.
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z***e
发帖数: 5600 | 65 直接在构造中取P_k+1为（Pk, 最小素因子】区间中的最小素数，就可以得到Pk恰好是
第k个素数，直接得到一一对应
【在 x*****p 的大作中提到】
: 自然数集可以自然嵌入(单映射)到素数的子集合中，而素数子集可以自然嵌入到素数集
: 合中，而素数集合又可以自然嵌入到自然数集合中。所以最后自然数集和素数集是有相
: 同的基数。
|
l*3
发帖数: 2279 | 66 引用------
但是在zfc里，无穷是不需要定义的，他只是符合无穷公理的集合的一个性质而已。
-----结束引用
不一定.
你看看这个集合符合无穷公理里面说的归纳集的性质吗?:
{0,2,4,6,8,...}
所有偶数放在一起组成的集合就不是归纳集, 但仍旧是无穷集.
所以无穷集当然是需要定义的. 无穷公理本身并不陈述无穷集的定义, 只是承认归纳集
存在的合法性.
归纳集都是无穷集, 无穷集不一定都是归纳集.
素数集同样也不是归纳集.
你这叫学过公理集合论? 学过也是一知半解... 还不如我这没学过的.
引用-----
还有，不用反例也可以定义无穷，比如dedekind的定义，不是一目了然吗？
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戴德金的定义确实可以直接验证出来, 但是戴德金的这个定义叙述并不简单, 而且即便
你把 "可以和自己的某个真子集等势的集合" 称为无穷集合, 那你首先也得说明 "有穷
集合不能和自己的任意一个真子集等势", 否则这个定义就和常理不符, 没有意义. 而
"有穷集合不能和自己的任意一个真子集等势" 这一点, 并不是 "显然" 的.
事实上, 我学的朴素集合论里就是通过证明以上命题 "有穷集合不能和自己的任意真子
集等势", 然后再根据 N 和 2*N等势才进一步推出N是无穷集的.
我仍然认为, 把 "非有穷" 的集合定义为 "无穷", 是最朴素最纯粹的定义方式. 不过
这个仁者见仁智者见智了, 你不认同也无所谓. 但是你那个关于 "无穷" 和 "无穷公理
" 间关系的看法, 充分暴露了你的公理化集合论学的也不咋地.
穷。
【在 s**e 的大作中提到】
: 无穷公理定义了自然数集的存在，没有它，zfc中别的公理无法证明自然数集的存在。
: 这里，定义无穷是没有必要的。自然数集存在了，并有它的一切性质，包括了所谓无穷。
: 你这个帖子里洋洋得意的说不用反证法就不能定义无穷，无外乎在朴素集合论里，无穷
: 集是基于有限集的反例定义的。我说的对吗？
: 但是在zfc里，无穷是不需要定义的，他只是符合无穷公理的集合的一个性质而已。
: 还有，不用反例也可以定义无穷，比如dedekind的定义，不是一目了然吗？
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