e*******n
发帖数: 4912 | 1 1.在这个系列里我打算写一些我在各种文章和书中看到的八卦
希望能博大家一笑
有一次littlewood问hardy,为什么他每次到一个旅馆就会把镜子用毛巾盖起来?
回答是:因为他长得太丑了
2.Hadamard,Jacques去意大利Bologna开1928年国际数学家大会,期间要坐火车去一个地
方
车厢里有很多人在聊天,他觉得十分累,就出了道困难的数学题,众人思考这道题,
车厢里马上安静下来了,于是Hadamard就可以睡觉了
3.Bourbaki是一个法国数学家的集体代名词
Bourbaki的第一篇文章发表在comptes Rendus(法国科学院的一个杂志)上
在1949年Journal of symbolic logic上的一篇文章
"Foundations of mathematics for the working mathematican"
中,Bourbaki教授的地址是University of Nancago
一个杜撰的地址,分别是Nancy和Chicago(weil在那里)前后组合
1940年,Boas,Ralph(MR的主编)曾经在Encyclopa... 阅读全帖 |
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v**********m
发帖数: 5516 | 2 Sir Karl Raimund Popper, CH FRS[1] FBA (28 July 1902 – 17 September 1994)
was an Austro-British[2] philosopher and a professor at the London School of
Economics.[3] He is regarded as one of the greatest philosophers of science
of the 20th century;[4][5] he also wrote extensively on social and
political philosophy.
Popper is known for his attempt to repudiate the classical observationalist
/ inductivist form of scientific method in favour of empirical falsification
. He is also known for his oppo... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 3 我觉得实话实说，对于大部分人，也包括我自己，一辈子也不需要真正搞懂
Banach-Tarski paradox 和 Axiom of Choice。
对于大部分人，也包括我自己，所需要的，是老老实实把中学数学里面 “有理数/
无理数/实数/虚数/复数” 基础给搞搞明白，不要经常出现 “法兰西是培根”
就足够了。。。而对于 Banach-Tarski paradox，就当武侠泛读看看，跟中小
学数学内容类比一下，大致知道个意思就可以了。。。古人云：“光阴是用来虚度
的，不是用来纠结纯数问题的。”
而对于 Banach-Tarski paradox，如果跟中小学数学类比的话，也就是相当于
在 Euclidean geometry measurement 的时候，任何画出来的线段长度不能上
虚数，即使是中间过程。。。原因是即使中间过程里画出来的线段上虚数，也会
有 Euclidean geometric system don't agree with itself 而导致
absurdity 的实在而明确的风险。。。举个例子的风险比如直角三角形的直角
跑到另一个地方去了，导致欧几里德得的第四... 阅读全帖 |
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s***h
发帖数: 487 | 4 Banach-Tarski paradox 之 Costco 切西瓜问题的诡异之处，是在于切成五块的切面，
也就是 manifold，跟普通家用切西瓜的切面，的巨大差别。
其实普通家用西瓜刀的切面，也就啊马工说的 binary partition function (choice
function)，在严格实数集上，也是 non-definable 的，或者说该图灵机刹不住车。
但区别在于，如果我们把普通西瓜刀在严格实数集上，看成一个逐次无限逼近的
approximate solution sequence ，或者成为牛逼顿可逼近，那么这个可无限逼近的
sequence 的
每一点都是图灵可停机的，只是序列太长。
但 Banach-Tarski paradox 的切面嘛，喝喝喝喝喝喝喝！！
: 简单的说就是实数集上所有硬射的 axiom of choice 的 choice
function 都是
non-
: definable 的，但不是所有的 non-definable choice function 的硬射
，都会
造成
: Banach-Tarski... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 5 解释一下就是，这并不是说 Banach-Tarski paradox 的证明本身是
扯。。。恰恰相反，Banach-Tarski paradox 在纯数（for its own
sake）的 context 下，不仅不是扯，而且是一个重要的玩意儿。。。
证明 Geometry measurement cannot take in non-measurable set,
even in the middle step。（当然还有其他不同的解决方案）。
另一方面，如果有人试图带着 Banach-Tarski paradox 和 Axiom
of Choice 去 Costco 拍西瓜，那确实要看看是不是还记得那条
"axiom of absurdity"。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 6 当然，我觉得有人会问，那么二义性定义的 "(无穷) * (无穷)" 装得进希尔伯特无限
旅馆，形成可测集，就不会发生 Banach–Tarski paradox 的几何测量不守恒的悖论。
。。但 ( 2 ^ (无穷) ) 装不进希尔伯特无限旅馆，有可能形成不可测集，有可能会发
生 Banach–Tarski paradox 的几何测量不守恒的悖论。。。怎么会这么巧？
其实说白了，这个还是二义性的屁股决定脑袋的问题。。。cantor 测度论的初衷，是
用无限的无维度的实数点，拼个一维的数轴。然后用无限的一维的数轴，来拼个二维的
高中解析几何平面。。。我们的空间维度上升是乘法，而不是指数。。。所以。。。我
说的 the paradox of space-time 的问题是，数学是时空中的艺术。。。即使理论数
学家觉得时空不存在，但其实还是在潜移默化的背景里，看不见的 the fabric of
cosmos，从而看不见地 guide 了二义性本身。
因。
tree
finite |
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t******l
发帖数: 10908 | 7 你说的是工程数学上不可能。
但纯数学上也不能完全排出可能（类似 Banach–Tarski paradox 的不守恒现象），这
个原因是纯数学至少可以不管你工程数学的定义或公式，而是回到最初的定义从零开始。
就拿你刚才说的 0 到 1 的均匀分布，纯数学得回到最初定义，也就是 every member
in this set is symmetric，或者说概率相等。
然后因为这个是实数区间，就需要回到 cantor 最初的对实数的 infinity
permutations of infinite decimals 的定义，或者说，无穷深度的二叉树（或者十叉
树）。。。而概率就得回到该树上所有满足条件的叶子（在无穷深度），除以所有可能
的叶子（也在无穷深度）。。。这导致铺天盖地的不可计算数（undecidable）。。。
我不知道如何用集合论证明最终结果是 1，或者能不能证明出最终结果是 1。。。但是
由于无穷无尽的不可计算数（undecidable）的存在，出现类似 Banach–Tarski
paradox 的不守恒现象，也不是没有可能的。
当然这是超过 AIME 的高端数学，本... 阅读全帖 |
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f***y
发帖数: 4447 | 8 https://m.toutiao.com/i6499743832802853390/
1973年，匈牙利数学家 László Fejes Tóth 在 Exploring a Planet 一文中提出了
球带猜想（Zone Conjecture）[1]。该猜想描述了如果一个单位球面被几个球带完全覆
盖，它们的宽度总和至少为 π。44年过去了，以色列理工学院（Technion）的中国数
学家姜子麟和莫斯科物理技术学院（MIPT）的 Alexandr Polyanskii 终于证明了
Fejes Tóth 的猜想，其结果发表于GAFA数学杂志 [2]。他们的证明对于离散几何非常
重要。
○ László Fejes Tóth 猜想。半径为1的单位球体被等宽的区域覆盖。所有区域的
宽度总和的最小值是π。每个区域用不同颜色标记。| 图片来源：MIPT
离散几何学（Discrete Geometry）研究的是点、线、圆、多边形和其他几何对象的组
合性质。例如它会考虑如下问题：在一个球的周围，最多能摆放多少个相同尺寸的球在
它周围？或者，在平面上，如何以最密集的方式排放相同大小的圆？又或者在空间... 阅读全帖 |
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s***h
发帖数: 487 | 9 而回到你说的 一点紧致 问题，既然你加入了一个点，那在这个点周围一圈就一定存在
一个切面，想想这个切面 manifold 是啥样子咧？
: Banach-Tarski paradox 之 Costco 切西瓜问题的诡异之处，是在于切成
五块的
切面，
: 也就是 manifold，跟普通家用切西瓜的切面，的巨大差别。
: 其实普通家用西瓜刀的切面，也就啊马工说的 binary partition
function (
choice
: function)，在严格实数集上，也是 non-definable 的，或者说该图灵机
刹不住
车。
: 但区别在于，如果我们把普通西瓜刀在严格实数集上，看成一个逐次无限
逼近的
: approximate solution sequence ，或者成为牛逼顿可逼近，那么这个可
无限逼
近的
: sequence 的
: 每一点都是图灵可停机的，只是序列太长。
: 但 Banach-Tarski paradox 的切面嘛，喝喝喝喝喝喝喝！！
: |
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s***h
发帖数: 487 | 10 严格实数集上的 binary partition choice function 是 non-definable 的，直观的
看就是两个实数有可能相等。而判断任意两个实数是不是相等的图林机，没法停机。
: Banach-Tarski paradox 之 Costco 切西瓜问题的诡异之处，是在于切成
五块的
切面，
: 也就是 manifold，跟普通家用切西瓜的切面，的巨大差别。
: 其实普通家用西瓜刀的切面，也就啊马工说的 binary partition
function (
choice
: function)，在严格实数集上，也是 non-definable 的，或者说该图灵机
刹不住
车。
: 但区别在于，如果我们把普通西瓜刀在严格实数集上，看成一个逐次无限
逼近的
: approximate solution sequence ，或者成为牛逼顿可逼近，那么这个可
无限逼
近的
: sequence 的
: 每一点都是图灵可停机的，只是序列太长。
: 但 Banach-Tarski paradox 的... 阅读全帖 |
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a**a
发帖数: 416 | 11 发信人: ukim (一天天长大), 信区: Science
标 题: Heroes in My Heart (57)
发信站: BBS 水木清华站 (Sat Jun 1 11:27:37 2002)
中国有句古话说名师出高徒，说的是你如果和高手一起切磋，整日耳濡目染，会不知不
觉学到很多很多东西。大多数数学家的老师都是很牛的数学家的，可能Gauss和Newton这
样的人除外，他们不需要老师的。
有一个故事说有一个人试图画出Lefschetz的数学后代家族树，几个月后，他就不得不放
弃，因为根本找不到一张足够大的纸，这是一个指数增长的典型例子。越是这种大数学
家，他的学生一般来说越多，受到他影响的人也就越多。
再譬如说在Berkeley的一次逻辑学的会议上，Tarski请Sierpinski的学生举一下手，大
部分人都举了手，然后Tarski请Sierpinski的学生和学生的学生举手，所有人都举了手
。这两个人都是波兰的最最著名的数学家。
最后我列举一下一些数学家的师承，这个不完全，其实是很不完全，希望大家补充的说
：
Dirichlet是Riemann的老师
Wi |
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l*****8
发帖数: 16949 | 12 这是个很有趣的问题。Tarski的系统我也是第一次听说。刚才做了点research,大概原
因如下：
第一，Tarski的关于实数的公理系统是个二阶逻辑系统，歌德儿定理不适用。
第二，自然数系统虽然是实数的一个子集，但自然数本身的性质并不比实数简单，很多
地方甚至更复杂。比如很多素数的性质，在实数里根本不是问题。因为自然数有整除问
题，实数域则没有这个问题。 |
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p******e
发帖数: 1151 | 13 我来贡献下我的两分钱吧（我只懂点Lebesgue 测度和点点测度论）。
我觉得你将两个概念搞混了， 一个是无穷集合的势（cardinality）， 一个是集合的
测度(measure)。
one to one and onto map 和集合的势密切相关， 但是和集合的测度几乎没有关系。
一点典型的例子就是R包含不可测集， 显然这个集合是和R等势的。
问题是什么是测度呢， 基本上就是测量长度， 体积等等的推广。 所以测度差不多意
味着
it can be measured by human being in a reasonable way. In other words, one
can divide a set into smaller regular pieces and add them up. that leads to
（Lebesgue/abstract） integral etc. One can naturally go further and then
Borel sets/algebra becomes a natural extension.
But one n... 阅读全帖 |
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p******e
发帖数: 1151 | 14 I think I have made myself very clear but apparently you did not agree.
I will try another time and it is my last post for this topic. If I am
understood well, what I said implies that the answer to your question is "NO
".
A measure theory (whatever you call, probability etc) needs to satisfy
obvious axiom such as
m(A+B)=m(A)+m(B) etc. (A, B has no intersection). (A nice generalization is
countable additivity)---that is what we mean it is the generalization of
measuring length and volume.
If one... 阅读全帖 |
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A***s
发帖数: 389 | 15 呵呵，仿照space大虾的爱情无理学的学时余墨，贴上来博大家一璨而已
，胡说八道的地方，还请别见怪。
常常有gg报怨，mm忽然变心，这是为什么呢？(参见本bbs的Love版、
Family版)
其实是因为gg不懂mm的心....
有的gg抗议了：她的一颗心，我全知道！
这就是这个gg的不对了，当年Riemann就是这样建立了对mm的心思的
记录、跟踪、求导、预测和积分的方法，但事实证明Riemann的工作
是不够的！
Lebesgue发现了，有一种集合叫作“不可测集”，它的基本性质就是
：如果以一个包含此不可测集合E的集合A以及一个包含E的补集的集
合B来逼近她的话，A和B始终有交集！而且交集的体积还有正的下限！
进一步，Banach和Tarski于1924年发现了，假设mm的心思是一个球的
话，它整体上是可测的，这就是gg们失败的大部份根源所在：被整体
欺骗了！
因为，其实mm的心思又可以再细分，比如收入、情调、身体、长相、
宠爱、事业等等，而Banach和Tarski发现，如果把mm的心思这个球分
成这六个部份的话，竟然每个部份都是不可测的！
比如说，mm对你收入的要求，就只能以“ |
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t******l
发帖数: 10908 | 16 我实在的说，靠 paper 吃饭的理论数学家，跟靠马 code 吃饭的屌丝小马工，所站的
立场是不一样的。
靠马 code 的小马工，是无法直接认可 Banach-Tarski paradox。。。因为这个等于承
认实数集的存在，以及承认 axiom of choice 的存在，而证明的容积不守恒，而证明
了所有 geometric measurement 都不能保持守恒。。。马工会问，我证明东西的意义
何在？如果不能保证证明的东西在客户的案例上不出错。
所以我斗嘴的结果，就是能明示阐述现代数学以上类型的悖论的的红线在哪里。。。哪
些证明马工实践上可以接受。。。而另一些证明马工实践上就不用管。。。我现在更新
这个红线的地方为：现代数学里不可用停机判定的香浓无限信息量悖论。。。也就是只
要不出现不可用停机判定的香浓无限信息量，其证明在马工实践上就有效。。。反之就
是理论数学工作者发 paper 吃饭，无论哪种结论都不影响马工马 code 吃饭。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 17 绝大部分实用理论所依赖的实数集，本质上是 "单个数的信息量不能为无穷大的实数子
集"。。。一个最明显的例子就是高中解析几何，虽然号称实数集合，但实际题目里所
有的坐标点（cut），都是有限信息量的 cut。。。永远不会出现随便一来的无限信息
量的 Dedekind 闭着眼睛胡乱 cut。。。而这保证所有几何测量都守恒，而理论上不会
出现 Costco 开西瓜悖论 Banach–Tarski paradox。
所以香浓实际上只用来理论数学家实数集的子集，虽然也口口声声说是实数集。。。费
加罗的理发师悖论说，这就是人类语言的二义性。
: 又是你瞎编的概念。香农啥时候否认过实数。他的信息论就是建基在实数上的。
如果不
: 是香农妖，的确无限可能。
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t******l
发帖数: 10908 | 18 我之所以要 "单个数的信息量不能为无穷大的实数"，或者 "能表达成
有限自动蹦蹦机的有限信息量“，本质上是我无法接受 Costco 开西瓜悖论
Banach–Tarski paradox 讥讽漫画里面的那句 "I told you don't use
axiom of choice!"。。。因为我不能接受在决定用不用 axiom of choice 之前
，先开车去希尔伯特查经班转一圈。。。而且希尔伯特查经班也有时候公说公有理娘说
娘有力的，没有一个统一的规则说这 axiom of choice 到底许用不许用。。。
: 绝大部分实用理论所依赖的实数集，本质上是 "单个数的信息量不
能为无穷大的
实数子
: 集"。。。一个最明显的例子就是高中解析几何，虽然号称实数集合
，但实际题
目里所
: 有的坐标点（cut），都是有限信息量的 cut。。。永远不会出现随便一
来的无
限信息
: 量的 Dedekind 闭着眼睛胡乱 cut。。。而这保证所有几何测量都守恒， |
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t******l
发帖数: 10908 | 19 公理集合论一样有 Costco 开西瓜之 Banach–Tarski paradox 几何测量无法守
恒的悖论。。。只不过民科把悖论当成悖论。。。而理论数学系象牙塔把悖论叫做神的
旨意。只要能从公理（或者说，圣经）导出，就不是悖论而是神的旨意。。。本质上就
是希尔伯特查经班的做派。
: 这可不好说。各种悖论都是民间数学家的挚爱 |
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t******l
发帖数: 10908 | 20 我前面已经说了有 Costco 开西瓜之 Banach–Tarski paradox 几何测量无法守恒的悖
论。。。当然你也可以认为这不是悖论，本来在 ZFC set theory 框架下，几何测量就
不能守恒。。。或者说你也可以认为这不是悖论，只要这时不许我用 axiom of choice
好了，啥时能用啥时不能用你们查经班说了算。。。反正只要你们查经班是 上帝 the
rule maker，这世上就根本没悖论这个词。
跟查经班斗嘴，心真的很累。。。
: 好吧，没有悖论说大了，是没发现悖论。你要说你发现了一个，你就成名了。
: 行。
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s***h
发帖数: 487 | 21 好吧，数学系的不懂得普通非数学系要尽可能避免无限上的操作 。。。 因为你们纯数
学根子上有悖论，比如 Banach–Tarski paradox，普通人无法确定你们涉及无限
的逻
辑即使形式上正确，实质上是不是能 apply to 实际，还是只能是你们纯数学 for its
own sake 自己玩自己，俗称手淫！！
这个许多根号数不能表达为分数，根本用不到无限，你生生套一个无限 。。。 正常人
（非纯数系）的第一个问题就是，这个证明是不是本质上是形而上学，离开纯数系就没
有任何实际意义 。。。 这个问题就得想上两三天。
: 你想得太复杂了。你大概很久没在草稿纸上用竖式算小数的乘积了。
: 称得上小数的，至少小数点以后有一位吧？然后相乘，小数点后面至少两
位。如
果最后
: 一位变不了零的话，小数点后面就还是两位啊。
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s***h
发帖数: 487 | 22 简单的说就是实数集上所有硬射的 axiom of choice 的 choice function 都是 non-
definable 的，但不是所有的 non-definable choice function 的硬射，都会造成
Banach-Tarski paradox 之 Costco 一个大西瓜切成五块，拼成两个大西瓜也就算了，
每一个还跟原来的西瓜一样大一样重 ！！
只有诡异的西瓜切法才会造成这样的问题。
: 你这个有点跑远了。不存在这个问题啊。
: 另外你definable或者undefinable choice function你的理解恐怕不对。
你似乎
把无穷
: 集合到无穷集合之间的映射都理解成undefinable了。这个不对。你要愿
意的话
就先解
: 释一下你说的definable和undefinable choice function。咱们可以比较
严格的
讨论。
: 不愿意也行，那咱们就高来高去，谈谈感觉，我觉得可能也有启发。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 23 我贴这个 Banach-Tarski paradox 的目的不是钻理论纯数的牛角尖。。。我贴
这个的目的是想想一下那个 “applicable” vs “for its own sake” 的分界线
到底咋个划分。
当然我发这个线程的也是顺便嘲笑旁边那个 “我知道你知道天外飞仙知道，所以
外国游客一句大家都知道，大家突然想不开统统报销” 的 (intuitively-wise)
absurdity。。。娘的我在那边线程白费口舌半天没用，气死我了。。。
既然那谁谁谁不是喜欢 absurdity 么？那我干脆在这里给一个 utterly absurd
and utterly visual 的 “Costco 大西瓜，切成五块，然后拼出来两只西瓜不算，
关键每只还跟原来的西瓜一样大一样重”。。。这不还 mathematically proved？
。。。这下那谁谁谁该怀疑人生了吧。这不仅是哥们昨天买了几只西瓜的问题。哥
们上次聚众烧烤吃了几串羊肉丸子，这可是胃会不会撑爆会不会去 ER 的现实的问
题啊。
隔壁楼那谁谁谁哥们不是喜欢 absurdity 么？。。。来来来，这里确保您感受一下
u... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 24 进一步有争议的说，纯数学自身都没有完美的解决 intuition 的问题，比如 Costco
大西瓜问题（Banach-Tarski paradox / Axiom of Choice）至今还依赖马工的各种补
丁凑合过日子。。。（当然如果连守恒定律都不要了的话，那也不需要补丁。。。但
Piaget 老先生的水杯测试铁定不过了，估计要被 Piaget 老先生敲个弱智的图章关进
CalTech 疯人院确保不闹事！// run ）。
所以 Andrew Lloyd Webber 先知很多年前在音乐剧 Evita 里就曾经写道：
Deductions are illusions
They are not the solutions they promised to be
The answer was here all in the space-time
I love intuitions and hope you love intuitions too
http://www.youtube.com/watch?v=giB7Ye-ar5M |
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t******l
发帖数: 10908 | 25 语言有二义性，我觉得你说的 perception 好比是大脑为自己创建的 simulated
reality，就好比通常说的 “imagine there is a ball in the sky, and then
imagine use Banach-Tarski paradox to duplicate it to two balls“。。。
：perception 是大脑对sensory information 进行process的过程和结果。
：用你的理解来说，是combination of explicit memory and implicit memory |
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t******l
发帖数: 10908 | 26 回到实际问题，我觉得是 constructivism 对该顺序的模型有问题，导致在 Concrete
Operation 和 Formal Operation 以同样的方式来 spiral。
而争议的说，如果新潮模型是对的，那么在 algebra 1 之前 spiral 属于 algebra 2
的 parabola 之类的，我觉得这时合理的方式应该是更接近传统填鸭式（feed
information）（也就是先当看小说知道一下，或者背下来也成），而不是现代构建式/
启发式。（当然单调重复训练还是改改）。
因为这就好比一个婴儿在婴儿车里看周围的人类世界，而有人心血来潮要启发出个
Banach-Tarski paradox 啥的。但是人家婴儿连最最基本的概念还没有，启发个屁！！
先塞个奶瓶别饿坏了是正道！！这也包括去 playground 多玩玩，信息上也被饿着。至
于是不是从踢皮球循循诱导启发出 “从牛二定理得出超级射门姿势啥的”，我觉得还
不如把时间花在多摸几下球，多踢几脚球。话糙理不糙！！ |
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t******l
发帖数: 10908 | 27 根据“新潮认知心理学理论”，大部分人的思维本质上确实是浆糊，或多或少的差别。
本质上因为我们不是 logic-driven 的，而是 intuition-driven 的。
或者实战的例子，你觉得初中 pre-algebra 阶段的娃娃，能 “真正理解” 抛物线是
“光滑” 的么？如果不能 “真正理解”，那我觉得陶渊明式的 “半懂不懂” 的浆糊
，就是好的。
或者下到 toddler 班小娃蹬三轮，你觉得 toddler 班小娃，能 “真正理解” 三轮的
轮子和龙头是如何运作的么？如果不能 “真正理解”，那我觉得陶渊明式的 “半懂不
懂” 的浆糊，就是好的。
或者上到 Banach-Tarski paradox，你觉得我这样的数学白痴马工，这辈子能哪怕就那
么一点点 “真正理解” Axiom of Choice 为啥能把 Costco 大西瓜切成两个么？如
果这辈子都不能哪怕就那么一点点 “真正理解”，那我觉得陶渊明式的 “半懂不懂”
的浆糊，就是好的。
三段够排比了应该。。。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 28 如果不相信这个 the curse of "phonological abstract thinking" is "loss
contact of the real"，那让我们从上面题目解法里面的 power set 开始，往 unreal
一路向西不回头：
power set 跟 axiom of choice 有直接关系。
[quote]
Another equivalent axiom only considers collections X that are essentially
powersets of other sets:
For any set A, the power set of A (with the empty set removed) has a choice
function.
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
[/quote]
然后 axiom of choice 直接导致 Costco 大西瓜 Banach-Tarski paradox。。。于是
从此就一路向西再也区分不了 real vs unr... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 29 其实争论到这里，我觉得都不需要对量子力学说的微观时空不是无限连续的表示直观上
无法接受了。
实际上，如果允许微观时空可以无限连续的话，直观上可以不接受量子力学薛定谔猫倒
是省事了。。。但这样一来，得接受希尔伯特教的旅馆悖论不算，还要接受 Costco 拍
西瓜大悖论 the Banach-Tarski paradox (I told you don't use axiom of
choice on real numbers！)。。。我觉得直观上还不如接受量子力学薛定谔猫更简单
明了呢，一只小猫有啥可怕？。。。
：进一步说，前面这个实数定义中的 “数轴上的点”，或者其隐含的 “geometric
：measurable”，其背后是 the completeness & continuous of real numbers。 |
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发帖数: 1 | 31 Tarski proved that Euclidean geometry is consistent, complete, and decidable
.
See his article "What is Elementary Geometry?" The Axiomatic Method, with S
pecial Reference to Geometry and Physics (1959): 16-29, at Page on Corelab
https://www.quora.com/Is-Euclidean-geometry-inconsistent
东西
德尔 |
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w**********5
发帖数: 1741 | 32 把大象装进冰箱里！
一 数学家的办法
把大象放到冰箱里的分析学方法
1）先把大象微分，然后把它放到冰箱里，再在冰箱里把它积分。
2）重新定义冰箱或者大象的测度（如Radon测度）。
3）用Banach-Tarski定理。
把大象放到冰箱里的代数学方法
1）先证明大象的每一部分都可以放到冰箱里。
2）再证明冰箱对加法封闭。
把大象放到冰箱里的拓扑学方法
1）让大象把冰箱吞了，再把冰箱从里到外翻出来。
2）把冰箱做成Klein瓶。
把大象放到冰箱里的线性代数方法
1）把大象的基先放进去，再在冰箱里张成空间。
2）把大象作奇异值分解，去掉大于冰箱维数所对应的特征值，由剩余特征向量即可恢
复出一头可以放进冰箱之中的大象。
把大象放到冰箱里的集合论方法
1）冰箱 = {大象}
2）大象和冰箱的内部有相同的势。
把大象放到冰箱里的复分析方法
1）把冰箱放在原点，大象放在单位圆之外，作反演变换。
把大象放到冰箱里的数值计算方法
1）把大象的尾巴放进去，剩余部分当作余项处理。
2）用最快的Pentium解决这个问题。
把大象放到冰箱里的统计学方法
1）取大象的尾巴作样本。
糟糕的统计学方法
1）不停地... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 33 或者在数学模型上，这个完全无粘滞导致超级流动性液体，导致鸭璞不划，跟实数连续
性（无限可分）有一定关系（因为都是基于实数的模型）。
打个不恰当的比方，这个跟理论数学里的 Banach–Tarski paradox 有点异曲同工之处
。。。
但自然里的水，分到水分子咋都不能再分了（指流体力学）。。。
：完全严格的都不行，都是近似。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 34 或者打个比方说，好比不能因为 Banach–Tarski paradox 的存在，就干脆 AMC 12 的
几何面积体积题就干脆统统不做算了。。。虽然这本质也是数学老师说不许用 axiom
of choice 就只好不用，物理老师说不准用绝对零粘滞也一样，本质上都属于高中大学
老师们的霸王条款。。。但天顶星人说，这 8 billions 猴子搞出来的理论就是这么漏
洞百出也没啥办法，能凑合着用就不错了。。。
：或者在数学模型上，这个完全无粘滞导致超级流动性液体，导致鸭璞不划，跟实数连
续性（无限可分）有一定关系（因为都是实数模型）。 |
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f*******y
发帖数: 8358 | 35 你没明白我在说什么。欧拉方程的连续条件是速度散度是零。白努力方程是欧拉方程的
一个特殊情况。没人说近似不可以用。只是你这种近似法，我看傻眼了。
: 或者打个比方说，好比不能因为 Banach–Tarski paradox 的存在，就干脆 AMC
12 的
: 几何面积体积题就干脆统统不做算了。。。虽然这本质也是数学老师说不许用
axiom
: of choice 就只好不用，物理老师说不准用绝对零粘滞也一样，本质上都属于高
中大学
: 老师们的霸王条款。。。但天顶星人说，这 8 billions 猴子搞出来的理论就是
这么漏
: 洞百出也没啥办法，能凑合着用就不错了。。。
: ：或者在数学模型上，这个完全无粘滞导致超级流动性液体，导致鸭璞不划，跟
实数连
: 续性（无限可分）有一定关系（因为都是实数模型）。
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t******l
发帖数: 10908 | 36 小孔上方的速度，以及速度的旋度，对能量守恒的影响很小，忽略不计，所以近似成白
努力。。。一般物理里面物质不灭不去违反的。
当然理论数学家的 Banach–Tarski paradox 连物质不灭都无所谓了其实。
：我说的是不存在粘滞力的情况下，你也要有物质守恒啊。。。
：所以白努力方程根本没法用。 |
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f*******y
发帖数: 8358 | 37 我一直反对用白努力方程，因为白努力方程是从欧拉方程来的。欧拉方程的推导要用到
质量守恒。对于不可压缩流体，质量守恒等价于速度散度为零。你这里速度散度都不为
零了，还用白努力方程难道不是搞笑?
: 小孔上方的速度，以及速度的旋度，对能量守恒的影响很小，忽略不计，所以近
似成白
: 努力。。。一般物理里面物质不灭不去违反的。
: 当然理论数学家的 Banach–Tarski paradox 连物质不灭都无所谓了其实。
: ：我说的是不存在粘滞力的情况下，你也要有物质守恒啊。。。
: ：所以白努力方程根本没法用。
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L******k
发帖数: 2945 | 38 我觉得三体这3本书唯一说得通的理论是黑暗森林，用社会学解fermi paradox还是挺有
新意的，其他什么降维啊，改变光速啊都不可能，所以我觉得大家不需要take他们very
希瑞私利。当然，这不影响书的好看。
edit,如果真的能降维，有一个坏处是有些公理不同维不一样，比如Banach-Tarski
paradox只在三维以上工作，所以2维就不能复制地球了
熵。 |
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E*****m
发帖数: 25615 | 39 你是說 Banach–Tarski Theorem 沒有證明，只要求人盲目的相信？
我必須推崇你是比windmind 更高級一點的無窮大, 趣味也更高級。 |
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C*******r
发帖数: 10345 | 40 数理逻辑学家，也是道家。写了好几本普及逻辑的读物，都很有趣味。amazon有他的书
卖。
Raymond Merrill Smullyan (born May 25, 1919)[1] is an American mathematician
, concert pianist, logician, Taoist philosopher, and magician. Born in Far
Rockaway, New York, his first career (like Persi Diaconis a generation later
) was stage magic. He then earned a BSc from the University of Chicago in
1955 and his Ph.D. from Princeton University in 1959. He is one of many
logicians to have studied under Alonzo Church.
Born in Far Rockaway, New York, h... 阅读全帖 |
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b**g
发帖数: 335 | 42 建议你去看一下这本书"Consequences of the Axiom of Choice"
or http://consequences.emich.edu/conseq.htm
并不是只有分析里才用到选择公理(著名例子是banach-tarski paradox及non-
measurable
set)
代数里也有...例如: 每个non-trivial交换环都有maximal ideal,
每个向量空间都有basis, 每个field都有代数闭包..等等 |
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c*******v
发帖数: 2599 | 43 你说的这本书我看过，
我知道分析之外也很常用左恩引理。
但这和我的论点没关系。
建议你去看一下这本书"Consequences of the Axiom of Choice"
or http://consequences.emich.edu/conseq.htm
并不是只有分析里才用到选择公理(著名例子是banach-tarski paradox及non-
measurable
set)
代数里也有...例如: 每个non-trivial交换环都有maximal ideal,
每个向量空间都有basis, 每个field都有代数闭包..等等 |
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A*******r
发帖数: 768 | 44 1。数学上，冯诺依曼一点都没说错，就是个Tarski不动点嘛。纳什那个两页的证明也
采用了这个思路。类似的还有冯诺依曼和摩根的合作，经济部分都是摩根弄得。
本来就是两个不同层次的东西。退一万步讲：学经济的跑去跟学数学的讲边际成本如何
如何不就这反应？
2。纳什本身也是个很好的数学家 |
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S*********N
发帖数: 6151 | 46
reassembled
我也不明白。
但跟道家的由无到有，由一生二类似。
无，不可测；但聚集起来，就可以。 |
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a***g
发帖数: 2761 | 48 最初的来源是一个单位球被剖分为六片
然后可以用这六片再合并成两个球
通俗的讲就是这样
在具体就不好说了
对了
这个在三维以上欧式空间才行 |
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a**********m
发帖数: 1 | 49 是否inflationary function implies monotone function, 或者反过来monotone
function implies inflationaryfunction？
当Tarski-knaster 理论成立，是否T: 2s->2s(2的s次方)是inflationary function？
怎么用数学的方法证明呢？ |
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F*******n
发帖数: 8 | 50 The absolute worst talk (once again, expositorily speaking) was by Gang Tian
. Here there was no room at all for productive day-dreaming. Tian's talk was
extremely technical, very dry, and the transparencies were typed with small
font, that probably made it hard to follow even for the ten or whatever
experts in the audience.
Appendix to Opinion 48: Impressions From The International Congress of
Mathematicians 2002 (ICM 2002, Beijing , Aug. 20-29):
By Doron Zeilberger
Written: Oct. 10, 2002
http:... 阅读全帖 |
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