m****d
发帖数: 12 | 1 正整数之正无理数次方为无理数的一个初等证明
摘要：例如要证明2^\pi为无理数，我们首先将\pi展开，得到两个形式：一个是
\pi=3.14159265...=3*1+1*1/10+1*1/25+1*1/1000+1*1/2000... (*)
一个是：
\pi=3.14159265...=3*1+1*1/10+1*4/100+1*1/1000+1*5/10000... (**)
显然，(*)和(**)是等价的。然后，证明：
2^\pi=
2^3*2^(1/10)*2^(1/25)*2^(1/100)*2^(1/2000)*2^(1/10000)*2^(-100000)*...
是由至多有限个正整数与无穷多个无理数之积，由数学归纳法可知，2^\pi也是一个无
理数。
引理：任何一个正无理数都可以表示为：
w=k_1*1+k_2*(1/2)+k_3*(1/3)+...，其中k_1是自然数，k_i=0或1或-1,i=2,3,...(1)
证明：
任何一个正无理数都可以表示成无限不循环小数的形式，即：
w=k_0*d_0+k_1*d_1 |
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l********y
发帖数: 1327 | 2 设计一个算法，判断一个integer n是不是可以表示成k(k>=2)个连续正整数的和
比如：9=4+5 或者9=2+3+4, 但是8就不可以
奇数都可以，但是偶数怎么判断？ |
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d*****t
发帖数: 41 | 3 设一个数n是从a开始k个连续正整数的和，有
n = (a+a+k-1)/2*k = (2a+k-1)*k/2
i.e. 2*n = (2a+k-1)*k
不管k是奇是偶，(2a+k-1)*k 都是一个奇数*偶数,所以n不能是2^m |
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h****8
发帖数: 49 | 4 极浅显编序号常识凸显有序号数n>一切整数0
极浅显编序号常识凸显有序号数n>一切整数
——重大错误：正整数集N无上界
黄小宁（广州市华南师大南区9-303邮编510631）
将正整数集N的所有数n都配上序号，1=第1号数，…，n=第n号数，所用序号数n的
全体组成T。显然没有与N的任何元n相配号的T外无穷大序号数n>无穷集N的一切n才能与
N外的负整数配上序号，例如“-1=第n号数”中的n>N的一切n——极浅显序号常识推翻
了“N无上界”思想牢笼。
数学规定各正整数n都有相反数-n，但没规定各序号数n都有相反的序号数（与号字
结合在一起的“n号”中的n称为序号数。序号的起始号是1号，没有第-1号等，即n号没
有相反的-n号。）。可见序号数n与正整数n是有区别的。因为N的各元n都有两个对应数
±n且所有对应数组成整数集Z，所以Z的元比N的元多一倍。显然T外序号数n>N的一切n
才能定量描述Z包含多少个元素。可见“个数多少”并非都能由正整数n表示，正如正方
形对角线长等须用无理数表示，有理数全体远远不够用一样。
获中国教育学会一等奖的文献[1]论证了N内有最大自然数n′使比n′大的n′+1 |
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h****8
发帖数: 49 | 5 极浅显编序号常识凸显有序号数n>一切整数
——重大错误：正整数集N无上界
黄小宁（广州市华南师大南区9-303邮编510631）
将正整数集N的所有数n都配上序号，1=第1号数，…，n=第n号数，所用序号数n的
全体组成T。显然没有与N的任何元n相配号的T外无穷大序号数n>无穷集N的一切n才能与
N外的负整数配上序号，例如“-1=第n号数”中的n>N的一切n——极浅显序号常识推翻
了“N无上界”思想牢笼。
数学规定各正整数n都有相反数-n，但没规定各序号数n都有相反的序号数（与号字
结合在一起的“n号”中的n称为序号数。序号的起始号是1号，没有第-1号等，即n号没
有相反的-n号。）。可见序号数n与正整数n是有区别的。因为N的各元n都有两个对应数
±n且所有对应数组成整数集Z，所以Z的元比N的元多一倍。显然T外序号数n>N的一切n
才能定量描述Z包含多少个元素。可见“个数多少”并非都能由正整数n表示，正如正方
形对角线长等须用无理数表示，有理数全体远远不够用一样。
获中国教育学会一等奖的文献[1]论证了N内有最大自然数n′使比n′大的n′+1等
不∈N！显然没有此重大发现就绝无本文的发 |
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h****8
发帖数: 49 | 6 狗屁：将 “将正整数集N的所有数n都配上序号”，什么叫“所有”？你能实现所有吗
？这已经是悖论了，还证明个屁啊。
那么我来告诉你怎么配号：
-1--- 1号
1 -----2号
-2 ----- 3号
2 ------- 4号
............
也就是说对于正整数n 他的序号就是2n ，那么对于正整数2n ,他的序号就是4n，是不
是4n就没法配号了，不是4n的号是8n啊。怎么样，这样配数，你是不是要发疯？
__________________
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#3
hxl268
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“将编上号的数字（实数或复数）按着编号从小到大的顺序排列起来就构成了一个数列
，...表示成a1，a2，a3， |
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h****8
发帖数: 49 | 7 狗屁：将 “将正整数集N的所有数n都配上序号”，什么叫“所有”？你能实现所有吗
？这已经是悖论了，还证明个屁啊。
那么我来告诉你怎么配号：
-1--- 1号
1 -----2号
-2 ----- 3号
2 ------- 4号
............
也就是说对于正整数n 他的序号就是2n ，那么对于正整数2n ,他的序号就是4n，是不
是4n就没法配号了，不是4n的号是8n啊。怎么样，这样配数，你是不是要发疯？
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“将编上号的数字（实数或复数）按着编号从小到大的顺序排列起来就构成了一个数列
，...表示成a1，a2，a3， |
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d**********r
发帖数: 24123 | 8 这道题怎么解？
给定任何一个正实数ε，证明除了有限个正整数以外的所有正整数v，任何有v个顶点且
有大于等于(1+ε)v条边的图包含两个不同的等长简单回路。 |
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m******n
发帖数: 1691 | 9 10=1+2+3+4
任何一个数sum，如果 sum/奇数=整数，那么可以；
如果 sum/偶数=整数+0.5，也是可以。
除此以外都不行。 |
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f*****e
发帖数: 2992 | 10 正整数n>m>0
求下面方程的非负整数解：
m*x1+(m-1)*x2+...+1*x_m=n |
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a***s
发帖数: 206 | 11 你们以上的搜索都是brute force没有注意到数字的特殊性。
当 a + b = c 时而且a,b,c都是正整数，
a^2 + b^2 <= c^2 是永远成立的。
所以搜索的范围可以减小。只需要从两个数的和大于等于sqrt(k),并且两个数都比sqrt
(k)小，里面找就行了。在利用对称性又可以进一步减少搜索的范围。
edit:
另外如果k是偶数，两个数必须同时是奇数或偶数
如果k是奇数，两个数必须一个是奇数一个偶数 |
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h*********y
发帖数: 170 | 12 求1billion内和9876543互质的正整数的和。
要算法效率最高 |
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s*******e
发帖数: 93 | 13 我一开始是想写成这样
for(i=2;i<=n/2;i=i*2)
{
if( n%i == i/2 && n/i-i/2>=1)
return true;
}
for(i=3;i<=n/3;i=i+2)
{
if( n%i == 0 && n/i-(i-1)/2>=1)
return true;
}
return false;
感觉2^m的方法是正解。上面用code的方法不知道能不能帮助证明为什么只要不是2^m就
行？
btw有没有谁可以检查下这个code有无漏洞？ |
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t******n
发帖数: 2939 | 14 ☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:34:22 2013, 美东) 提到:
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
所以素数有无穷多个.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:37:03 2013, 美东) 提到:
在承认素数的这个等价定义 (即 a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a
的素数整除) 的前提下, 居然有人会认为这个证明是错的, 或者是不完备的.
我实在不能理解.
求问一下大家, 是不是有的人的脑子天生有缺陷, 根本怎么教都不会明白... 阅读全帖 |
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n*******w
发帖数: 6708 | 15 北美WSN有几个的父亲， 是芝加哥大学拿到博士学位的，
1928年在芝加哥大学拿到博士学位，回国是不是也是相当于现在的一个大千人计划教授了
杨武之（1896— 1973）数学家，数学教育家。长期在清华大学和西南联合大学数学系
任系主任或代主任。是我国早期从事现代数论和代数学教学与研究的学者，诺贝尔奖获
得者杨振宁的父亲。 杨武之，原名杨克纯，武之是他的号。1896年4月14日出生于安徽
合肥。杨武之的主要学术贡献是数论研究，尤其以华林（Waring）问题的工作著称。杨
武之一生从事数学教育，特别是在清华大学和西南联合大学执教并主持系务时期，培养
和造就了两代数学人才，对中国现代数学的贡献很大。
目录
简介
人物生平青少年
学业有成
晚年
数论研究
数学教育大学数学教育的先驱
杨武之与华罗庚
杨武之与杨振宁
主要论著
展开简介
人物生平 青少年
学业有成
晚年
数论研究
数学教育 大学数学教育的先驱
杨武之与华罗庚
杨武之与杨振宁
主要论著
展开编辑本段简介杨武之，安徽凤阳人。
1896年4月14日 出生于安徽合肥（今属肥西县）。
1914年 毕业于安徽省立第二中学。
1914—1918... 阅读全帖 |
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n*******w
发帖数: 6708 | 16 北美WSN有几个的父亲， 是芝加哥大学拿到博士学位的，
1928年在芝加哥大学拿到博士学位，回国是不是也是相当于现在的一个大千人计划教授了
杨武之（1896— 1973）数学家，数学教育家。长期在清华大学和西南联合大学数学系
任系主任或代主任。是我国早期从事现代数论和代数学教学与研究的学者，诺贝尔奖获
得者杨振宁的父亲。 杨武之，原名杨克纯，武之是他的号。1896年4月14日出生于安徽
合肥。杨武之的主要学术贡献是数论研究，尤其以华林（Waring）问题的工作著称。杨
武之一生从事数学教育，特别是在清华大学和西南联合大学执教并主持系务时期，培养
和造就了两代数学人才，对中国现代数学的贡献很大。
目录
简介
人物生平青少年
学业有成
晚年
数论研究
数学教育大学数学教育的先驱
杨武之与华罗庚
杨武之与杨振宁
主要论著
展开简介
人物生平 青少年
学业有成
晚年
数论研究
数学教育 大学数学教育的先驱
杨武之与华罗庚
杨武之与杨振宁
主要论著
展开编辑本段简介杨武之，安徽凤阳人。
1896年4月14日 出生于安徽合肥（今属肥西县）。
1914年 毕业于安徽省立第二中学。
1914—1918... 阅读全帖 |
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t**********k
发帖数: 511 | 17
读维特根斯坦（数学和逻辑）
这一篇会有一些难度，我认为自己的这一个系列是写给那些想了解语言哲学的人看的，
尽量浅出。已经知道的人用不着看，我以为自己缺乏深入的本钱。
西方哲学和神学从来都和数学有密切的联系，以后会进一步谈到，在这一点上和中国哲
学走的路似乎有所不同。这个里面有一个很重要的关联，数学是一个很严密的东西，结
论会有普遍性。比如说，芙蓉姐姐美不美，难得定论；而1+1=2，没有人去怀疑。所以
说，我们要想自己的语言严密而可靠，就得往数学那一边靠。
当人们认识到逻辑比数学是一个更根本的东西时，自然就想语言也得要用逻辑来彻底的
整一下，看看哪些东西是合乎逻辑的，我认为这是语言哲学的最重要的根源。所以说，
想理解语言哲学不懂一些逻辑就是笑话了。
其实撇开这一点，了解弗雷格是怎么样从逻辑构造出数还是很有些意思的，知道那些最
重要的思想是怎么一回事，考察人的智力活动能够到达一个什么样的高度，怎么都会是
很吸引人的。而且逻辑是不要什么预备知识的，很多中国人在美国迅速转行做了码工就
是证明，相对... 阅读全帖 |
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l*****e
发帖数: 65 | 18 来自主题: Mathematics版 - 一个猜想
是正整数)
我来抛砖引玉吧。设a1^(1/k1)+....an^(1/kn)=q 为有理数。
首先，不妨假设k1=k2=...=kn=n, 取他们的最小公倍数即可，反正{a_i}^{n/k_i}依然是
正有理数。
其次，考虑a_i/{q^n},可以假设q=1,反正a_i^{1/n}/q依然是正无理数。
再者，把a_i们的公分母b移到等式右边， 得 (a_1)^{1/n}+...+(a_k)^{1/n}=b^{1/n},其
中a_i,b 都是正整数，且{a_i/b}^{1/n}不是有理数。
两边同时n次幂，用牛顿二次展开式，得。。。。。。
把左边的式子中正整数都销去，剩下的项依然形如(x_i)^{1/n},x_i正整数，只是右边现
在为正整数。所以你的问题是：
(a_1)^{1/n}+...+(a_k)^{1/n}=b，其中a_i,b 都是正整数，且{a_i}^{1/n}不是整数。这
种方程无解。
这个看上去好像Fermat大定理，不知哪位高手搞掂她。 |
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i****1
发帖数: 84 | 19 在我碰到这道题之前，它已经被某人心怀恶意地发布在网络上，成为流行的朋友圈图片，肆意捉弄那些老实人。我根本没意识到我偶然看到的这道题到底是个什么样的怪物。它长这个样：
你可能已经在朋友圈看到过很多这样的图了，它们一般都是标题党的垃圾：什么“95%的麻省理工毕业生无法解决的问题”，这个“问题”要么很空洞，要么偷换概念，要么就是不重要的脑筋急转弯。
但这个问题不是。这张图片就是一个精明的，或者说阴险的圈套。大概99.999995%的人根本没有任何机会解决它，甚至包括一大批顶级大学非数论方向的数学家。它的确是可解的，但那真的真的不得了的难。
我们求解的是这个方程的正整数解
(为了与论文的变量名相适应，我把苹果、香蕉和菠萝修改过来了)
面对任何方程，你需要做的第一步是尝试并确定问题背景。这到底被划归到哪一类问题？嗯，我们被要求找到整数解，所以这是一个数论问题。就题而言，方程涉及有理函数（多项式除多项式的函数形式），但很显然我们可以用通分移项的方法化成一个多项式函数，所以我们实际上解得是一个丢番图方程（ Diophantine equation）。正数解的要求有一点不同寻常，接下来我们会看到这个要... 阅读全帖 |
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AM
发帖数: 141 | 20 原文在这里，文章中的照片都贴不到版上，为啥？打倒老邢。
http://www.mysanco.com/wenda/index.php?class=discuss&action=que
张益唐和北大数学78级
作者：香港浸会大学 --- 汤涛
--- 谨以此文纪念陈景润诞辰80周年；他影响了那个难忘的时代
2013年是北京大学数学系成立100周年。百年大庆，作为校友，总觉得应该写点什么作
为纪念。
1904年，清政府颁布的《钦定学堂章程》规定“高等算学”隶属格致科（现在称理科）
，并且规定了算学门的课程。辛亥革命后，京师大学堂于1912年5 月1日改名为国立北
京大学。同年公布的“民国元年所订之大学学制及其学科”中格致科改名为理科，其中
包括数学门。1913年秋，北京大学数学门招收新生，标志着中国现代第一个大学数学系
正式开始教学活动。北大数学的早期学生张国焘因为后期的政治生涯为数学系增添了些
许传奇。
北大数学的一百年培养了大量的人才，先后培养出6000多名本科生、1000多名硕士、博
士毕业生，一大批优秀的数学家和其他方面的专家分布在各行业， 许多人成绩斐然，
得到社会各界的高度评价... 阅读全帖 |
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r****z
发帖数: 12020 | 21 谢谢你的大包子。
错倒是没错，因为题目里没有对 A、B 给出限制。但是事实上不对 A、B 作任何限制没
有什么意义，因为从题目公式可以导出 A、B 之间的简单关系 B=5/(41/60-4/A)，所以
可以带入任意 A 求出一个相应的 B，就是对普通一元一次方程代入个值进行验算，不
需要任何解题技巧。所以我前面证明给加了一个 A、B 为正整数的条件。实际上，因为
A、B 不可能为零，这个条件可以扩展到 A、B 为非零整数，因为可以证明 A、B 中有
负整数的解不存在。证明如下：
首先，因为题目中等式右边为正，A、B 不可能同时为负，所以只有 A 为正 B 为负和
A 为负 B 为正两种情形。
如果 A 为正，则 4/A>41/60 -> A<240/41=5.9... -> A=1,2,3,4,5 同时 B=5/(41/60-
4/A) 为负整数 -> 此情形整数解不存在
同理，
如果 B 为正，则 5/B>41/60 -> B<300/41=7.3... -> B=1,2,3,4,5,6,7 同时 A 为负
整数 -> 此情形整数解不存在
所以这个问题的整数解有且仅有两组：A=15，... 阅读全帖 |
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e*******n
发帖数: 4912 | 22 1.在这个系列里我打算写一些我在各种文章和书中看到的八卦
希望能博大家一笑
有一次littlewood问hardy,为什么他每次到一个旅馆就会把镜子用毛巾盖起来?
回答是:因为他长得太丑了
2.Hadamard,Jacques去意大利Bologna开1928年国际数学家大会,期间要坐火车去一个地
方
车厢里有很多人在聊天,他觉得十分累,就出了道困难的数学题,众人思考这道题,
车厢里马上安静下来了,于是Hadamard就可以睡觉了
3.Bourbaki是一个法国数学家的集体代名词
Bourbaki的第一篇文章发表在comptes Rendus(法国科学院的一个杂志)上
在1949年Journal of symbolic logic上的一篇文章
"Foundations of mathematics for the working mathematican"
中,Bourbaki教授的地址是University of Nancago
一个杜撰的地址,分别是Nancy和Chicago(weil在那里)前后组合
1940年,Boas,Ralph(MR的主编)曾经在Encyclopa... 阅读全帖 |
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H****h
发帖数: 1037 | 23 继续整理。
两种对称性可以同时考虑。
称系统有r对称性，如果将整个系统旋转1/r周，状态不变。
并且r是满足此性质的最大正整数。
我们可以把圆上x和x+2π/r的点粘在一起。
于是圆被折成了r叠。仍然得到一个圆。
新系统没有对称性，且周期和原系统相同，单圈周期是原来的1/r。
算周期时最后要有个1/r的因子。
所以完全可以只考虑r=1的情况。
假设r=1。注意到每次碰撞不改变球的顺序。
如果在最小正周期时，每个球没有回到初试位置，
那么说明系统旋转某个非周角整数倍的角度，
得到不变的状态。
稍加分析，这个角度必然是周角的某个1/k倍。
k是大于1的整数。矛盾。
所以在最小正周期时，每个球回到初始位置。
fxiong用角动量法解释了每经过一个时间单位，
x号球到达x+(p-q)(mod n)位置。
所以首次到达x位置是在第k圈，k(p-q)/n是整数时。
一般地，最小正周期是k/r，k是最小的满足
k(p-q)/n是整数的正整数。
时
绕
指
何
位
和
每
，
，
=
-2π/r
在
个
列
总
小
要
小
the |
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z**********e
发帖数: 22064 | 24 原创 2016-08-25 施郁知识分子 微信号The-Intellectual
功能介绍
《知识分子》是由饶毅、鲁白、谢宇三位学者创办的移动新媒体平台，致力于关注科学
、人文、思想。我们将兼容并包，时刻为渴望知识、独立思考的人努力，共享人类知识
、共析现代思想、共建智趣中国。欢迎关注。
编者按：
2016年8月16日，中国首颗量子科学实验卫星成功发射。随后，上海大学数学
系一位副教授对量子通信和量子计算提出了一系列质疑，被诸多媒体引用、报道。多家
媒体也就上海大学这位老师对量子通信和量子计算的看法征求复旦大学物理学系施郁教
授的意见。施郁教授目前主要研究领域为量子纠缠及其在凝聚态物理和粒子物理中的运
用。施郁教授未参与到量子科学实验卫星的工作，与量子科学实验卫星的研究无利益相
关。
以下为施郁教授对量子通信和量子计算的解读以及对上海大学副教授观点的评
论。
撰文 | 施郁（复旦大学物理学系教授）
责编 | 陈晓雪
● ● ●
1
量子通信与量子计算简介
量子通信和量子计算是国际上的研究热点，都属于量子信息科学。传统的信息服从的规
律与量子力... 阅读全帖 |
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b*****n
发帖数: 618 | 25 前段时间骑驴找马终于告一段落，感觉本版的技术贴和面经贴帮助非常之大，也非常感
谢共享资源的各路大牛。希望提供一些信息和个人感受给还在找工的童鞋，有帮助最好
，但是毕竟本人资历尚浅，如果有不对的地方也请轻喷。
背景：
ms毕业不到两年
主要申请公司：
offer：facebook，google，uber，palantir，sumo logic，walmartlab，yahoo，
amazon，apple
reject：dropbox
主要几个包裹：
U： 145k base + 25k股 RSU
F： 150k base + 40k signon + 10%bonus + 260k美元 RSU
W： 165k base + 50k signon + 20%bonus + 35k美元 RSU每年（
这个略复杂，相当于每年35k美元RSU的refresh，但是每次refresh分四年给）
再上各个公司的面经和感受：
Yahoo：
最早面的公司，面的是Flurry Team，Yah... 阅读全帖 |
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f*******r
发帖数: 976 | 26 恭喜，都是好包袱！
关键字: 面经
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Jun 13 17:27:31 2015, 美东)
前段时间骑驴找马终于告一段落，感觉本版的技术贴和面经贴帮助非常之大，也非常感
谢共享资源的各路大牛。希望提供一些信息和个人感受给还在找工的童鞋，有帮助最好
，但是毕竟本人资历尚浅，如果有不对的地方也请轻喷。
背景：
ms毕业不到两年
主要申请公司：
offer：facebook，google，uber，palantir，sumo logic，walmartlab，yahoo，
amazon，apple
reject：dropbox
主要几个包裹：
U： 145k base + 25k股 RSU
F： 150k base + 40k signon + 10%bonus + 260k美元 RSU
W： 165k base + 50k signon + 20%bonus + 35k美元 RSU每年（
这个略复杂，相当于每年35k美元RSU的refres... 阅读全帖 |
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a*********3
发帖数: 660 | 27 定义 definition变量 variable面积 area直径 diameter半径 radius公式 formula
单价 unit price范围 range/scope/extent集合 set法则 principle本金 principal利
率 interest rate利息 interest单利 simple interest复利 compound interest正数
positive number负数 negative number解析式 analytic expression分类讨论
classified discussion性质 nature （不是很确定）奇函数 odd function偶函数
even function对称 symmetric坐标原点 origin单调性 monotonicity（不是很确定）
任意 random周期性 periodic 有界性 boundedness 数学 mathematics, maths(BrE)
, math(AmE) 公理 axiom 定理 theorem 计算 calculation 运算 operat... 阅读全帖 |
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b*****s
发帖数: 11267 | 28 1 已知条件
命题N：由任意大于1的不同的正整数组成的集合，若全部大于4的偶数都可以表示为集
合内元素相乘的形式。代数形式为：2A＝A×B×C……（A、B、 C……分别表示大于1的
正整数）。则该集合称为元素相乘时全部偶数对应的解；该集合内所有相乘等于某一偶
数的元素组成的集合称为该偶数对应的解。
说明：（1）元素相乘时，任一元素都可以无限次乘以包括该元素在内的集合内任意元
素。由大于1的正整数构成的集合中，因为：2×4＝8；2×2×2＝8（2自身相乘）。所
以，8对应的解为｛2，4｝。同理，1０对应的解为｛2，5｝
（2）偶数对应的解（集合）中如有相同元素，只保留一个元素（因任一元素可以无限
次自乘）。即：集合中无相同元素。
(3) 合并每个偶数对应的解（集合），然后去掉合并后集合内相同的元素（因元素自身
可以相乘，因而相同元素只保留一个即可满足命题要求）。这样，合并后的由不同正整
数元素构成的集合即是全部偶数对应的解。
命题M：由大于1的不同的正整数组成的集合，若全部大于4的偶数都可以表示为集合内
两个元素之和或某一元素自身相加的形式。代数形式为：2A＝A+B；2A＝A+A（A为大 |
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t**********k
发帖数: 511 | 29
读维特根斯坦（罗素悖论）
维特根斯坦在《逻辑哲学论》中说：
3.332 何命题都不可能述及自身，因为命题指号不可能包含于自身（这就是全部的
类型论）。
当我们说“太阳”或者“张三”到底是什么意思呢？按照维特根斯坦的解释，那不过是
一个指号，指向那个我们能够有经验的东西。太阳在英语里是“sun”，张三也许有另
一个称呼，比如张教授，没有关系，因为那个词有意思不是其本身，而是它们代表了某
个东西，我们不能从语言中得到这个指号意义，太阳并不是一个在语言中存在的东西，
虽然我们能有这个指号。
既然这样，必然是词只有在句子中才有确定的意义。比如说要是在生活远离太阳系的另
一个星球，我们就可能不知道什么是太阳，根本看不到。
类型论是由于罗素悖论而产生的，因为这个悖论反应了语言逻辑中关键问题，所以可以
轻易找到例子。我来举一个自己认为容易理解的例子：某某部的人从来就不说实话，有
一回“境外势力”策反了某某部的一个官员，让他说出了“我们永远都是在撒谎”。
但是，“境外势力“不要高兴得太早了，此人... 阅读全帖 |
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t******n
发帖数: 2939 | 30 ☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Fri May 24 08:41:56 2013, 美东) 提到:
我们假设不知道什么叫素数，我们对正整数集合进行如下的定义来定义素数。（这是从
链接上取下来的，也是I63的定义）
(1) 1不是素数 (base case)
(2) a是素数当且仅当a不能被任何小于它的素数整除。
我曾经多次指出，这个定义在用素数定义素数，是不正确的。但看到很多的反驳如下。
1不是素数, 我们考察2，发现小于2的素数集合为空集，于是2为素数。以此再往下递归
，得出所有素数的定义。我想昨天深入讨论此内容的人，都不会反对我的总结吧。关于
"小于2的素数集合为空集"推出"2为素数"，因我的不慎，还做出过郑重道歉。
好，我们仿造这种递归定义，来定义偶数。
我们假设不知道什么叫偶数，我们对非负整数集合进行如下的定义来定义偶数。
(1) 0不是偶数 (base case)
(2) a是偶数当且仅当a与任何小于它的偶数之差为2的倍数。
我从base case开始。0不是偶数。我们考察... 阅读全帖 |
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l*******s
发帖数: 7316 | 31 这个说法是对的，但对大家理解好像没什么帮助。我再给点有帮助的解释。
用n个碗代表菜单上的n个菜，用m个筷子代表要点m份菜。把筷子放到第几个碗就表示点
第几个菜。如果一个碗里有几个筷子就表示这个菜要点几分。这样原来的问题就转换成
把m个筷子放到n个碗里的放法。这m个筷子可能没全放到n个碗里，还有几个拿在手里就
表示少点几个菜。但拿在手里挺累的，就再摆个碗，把手里的筷子放在后加的碗里也一
样。如果可以一个菜也不点，那后加的碗里也可以有0到m个筷子。所以在n个碗里放0到
m个筷子就转换为在n+1个碗里放m个筷子.
下面看看在n+1个碗里放m个筷子有多少种方法。
在n+1个碗里放m个筷子，每个碗里可以放0到m个筷子，等价于n+1个非负整数加起来等
于m。 如果把每个非负整数都加1， 问题就转化为 n+1个正整数加起来等于m+n+1。
m+n+1可以写成m+n+1个1加起来，中间有m+n个“+”号。 现在把这m+n个“+”号中的n
个换成“，”， 就变成了有n个“，”分开的n+1个表达式，每个表达是都等于一
个正整数。 也就是把m+n+1分成了n+1个正整数。 有多少种分法呢？ 就是m+n个“+... 阅读全帖 |
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s*x
发帖数: 3328 | 32 干脆不用自然数这个概念。只用正整数，负整数，非负整数，非正整数，非零整数...
这样的概念。介绍的时候把``正整数''做为一个名词介绍。 |
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A****e
发帖数: 310 | 33 有3个人参加一个比赛，每个人选一个正整数，如果3个正整数里面有至少一个是唯一的
，那么选取了最小的唯一正整数的人获胜，得到奖金。如果没有唯一的正整数（也就是
3个数全一样），那么就大家都不能得到奖金。如果每个人都知道是3个人一起参加这个
比赛，请问如果作为一个参赛者，应该采取什么策略呢？（比赛只比一次）
比如3人选取了1，2，3，那么选1的人获胜；如果3人选了1，1，3，那么选3的获胜；如
果选了3，3，3，那么没人获胜。
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我自己的想法是，如果在理性前提下，其中一个参赛者（不管怎样思考）想出了一个策
略，那么另外2个人也应该想出同样的策略，那么3个人的策略应该是一样的。
所以如果这个策略是具体一个数字的话，那么3个人都猜一样的数，就大家的总体收益
是0。这样明显不好。
因此，最优策略应该是一个概率分布? 3个人都用同一个p.d.f，去选取数字，假设这样
3个人都没有奖金的概率是P，那么每人获胜的的概率就是（1-p）/3，这样我们应该选
取合适的p.d.f去最小化P？
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请问这么想对吗？谢谢大家了！～～～～ |
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B******O
发帖数: 472 | 34 定义：f(0)=1 ， f(n)为以其他正整数和的形势描述整数n的方法总数，要求和的每项
是2的正整数次幂（含0）但相同的幂不能超过两次。比如，f(4)=3，因为4可以表达成
：1+1+2, 2+2，4；但1+1+1+1不是。
请描述：用简单的一句话或者数学表达式描述{f(n)/f(n-1)}（n为正整数）。 |
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l********e
发帖数: 12 | 35 PHASE 1:一维
如果我有一个正整数N,有若干个小正整数n1,n2,n3,.....
我怎样挑出那些小的整数，使他们的和小于等于N,并且与N的差值最小。
PHASE 2:二维
如果我有一个MxN的大长方形，若干个Mi x Ni的小长方形，i=1,2,3,...,，请问如何选
择和排列这些小长方形，把它们放入那个大长方形，使剩余的面积最小？
以上所有数值为正整数。
Is it NP-hard problem? Any algorithm can solve it?
Thanks a lot. |
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x******g
发帖数: 318 | 36 已经证明的结论如下(仅供参考)
1.可以在任意的有限复数集上定义一个无等差全序
2.可以在整数集上定义一个无等差全序
3.
(1)
如果an有无穷的等差子列cn ,可以证明相反的结果:对于cn的任意重排bn ,可将全体
正整数划分为三元子集{ui
(2)
所有正整数的任何排列都必定包含一个递增的3项等差数列，但存在一个排列，它没
有单调的5项等差数列.是否对任意的排列总有4项等差数列，这还是未知的.
(3)
如果正整数被表示成一个双无穷的序列,那么必定仍然出现一个单调的3项等差数列.
但4项的等差数列可能不出现
4.
如果还限制是数列的话，限制an没有无穷等差数列也不行(包括错排)
反例如下
0；
sqr(2), 2*sqr(2), 4*sqr(2), 8*sqr(2), ...
sqr(3), 2*sqr(3), 4*sqr(3), 8*sqr(3), ...
sqr(5), 2*sqr(5), 4*sqr(5), 8*sqr(5), ...
...
无论怎么排，0前面只能有有限多个，有一行全在0的后面，这一行无法做 |
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l********e
发帖数: 12 | 37 PHASE 1:一维
如果我有一个正整数N,有若干个小正整数n1,n2,n3,.....
我怎样挑出那些小的整数，使他们的和小于等于N,并且与N的差值最小。
PHASE 2:二维
如果我有一个MxN的大长方形，若干个Mi x Ni的小长方形，i=1,2,3,...,，请问如何选
择和排列这些小长方形，把它们放入那个大长方形，使剩余的面积最小？
以上所有数值为正整数。
Is it NP-hard problem? Any algorithm can solve it?
Thanks a lot. |
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s*s
发帖数: 100 | 38 学校里有那种本科生有奖答题的活动，出几道数学题征集答案。虽然我不是本科生也不
做数学，但也经常用里面的题练练脑子。昨天看到一题想了一整天没想出来，疑似是一
道高中竞赛程度的初等数论题。实在束手无策，请牛人指点：
若(m+1)^3-m^3=n^2，其中m，n是正整数，则存在正整数k，满足n=k^2+(k+1)^2。
我通过分析知道上面命题等效于下面命题（个人感觉这个思路是不对的）：
若3m(m+1)=4p(p+1)，（m,p是正整数），则存在k使得p=k(k+1)。
另外我用数值模拟知道这个方程的整数解是非常稀疏的，开始的五组解：
m=7,k=2
m=104,k=9
m=1455,k=35
m=20272,k=132
m=282395,k=494
多谢多谢 |
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t**********k
发帖数: 511 | 39 读维特根斯坦（一和多）
罗素曾经谈到逻辑学的进展是怎么影响他的，有二个关键。第一，由一个项所成的一个
类和那个项并不相等。说白话就是，地球的卫星不等于月亮，由此罗素提出了摹状词理
论。地球的卫星是一个逻辑的东西，是摹状词，与存在毫无关系；月亮则是一个经验的
东西，对不知道月亮的人毫无意义。
第二个关键是：“把“苏格拉底是不免于死的”这种形式的命题和“一切希腊人是不免
于死的”这种形式的命题分开。亚里士多德和人所共认的关于三段论式的学说（康德以
为这种学说永远不能再有改进）认为这两种形式的命题是没有区别的，要不然，总也没
有什么大的不同。但是，事实上，若看不出这两种形式是完全不同，不论是逻辑还是算
术，都不会有长足的进展。”
其实我认为罗素还有一句话没有说，即：哲学也不会有长足的进展，我想他是以为，这
么明显的一句话用不着说，因为分析哲学，语言哲学都是建立在逻辑学的最新进展之上
的。
照理说应该按照历史顺序，先讲数学，但很有点不好懂，我就从容易的哲学讲起，下一
次再讲数学。
关键就在于：如果把希腊人看成是一个理念，这两者没有什么很大的不同，苏格... 阅读全帖 |
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t**********k
发帖数: 511 | 40 读维特根斯坦（一和多）
罗素曾经谈到逻辑学的进展是怎么影响他的，有二个关键。第一，由一个项所成的一个
类和那个项并不相等。说白话就是，地球的卫星不等于月亮，由此罗素提出了摹状词理
论。地球的卫星是一个逻辑的东西，是摹状词，与存在毫无关系；月亮则是一个经验的
东西，对不知道月亮的人毫无意义。
第二个关键是：“把“苏格拉底是不免于死的”这种形式的命题和“一切希腊人是不免
于死的”这种形式的命题分开。亚里士多德和人所共认的关于三段论式的学说（康德以
为这种学说永远不能再有改进）认为这两种形式的命题是没有区别的，要不然，总也没
有什么大的不同。但是，事实上，若看不出这两种形式是完全不同，不论是逻辑还是算
术，都不会有长足的进展。”
其实我认为罗素还有一句话没有说，即：哲学也不会有长足的进展，我想他是以为，这
么明显的一句话用不着说，因为分析哲学，语言哲学都是建立在逻辑学的最新进展之上
的。
照理说应该按照历史顺序，先讲数学，但很有点不好懂，我就从容易的哲学讲起，下一
次再讲数学。
关键就在于：如果把希腊人看成是一个理念，这两者没有什么很大的不同，苏格... 阅读全帖 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 41 这个东西出现在Dirichlet character中。Dirichlet character是Dirichlet在对黎曼
zeta函数扩展的时候提出的，他用这个证明了ak+b的形式的整数中有无穷多素数，其中
a和b为互素整数。比如4k+1，8k+5。
Dirichlet character是这么定义的：
固定正整数a大于1，比如a=8。比a小且和a互素的正整数有四个：1，3，5，7。这四个
数关于相乘模8这个二元运算构成一个群，满足交换律（abelian），是一个finite
abeblian group，单位元为1，order为4，也就是元素个数为4。这就是题中的G群，n=4。
Z_n，是整数模n的等价类集合，关于加法模n这个运算构成一个群，满足交换律，单位
元为0。
假设h为从G到Z_n的group homomorphism，定义G到复数的一个函数，
f(g)=exp(2*pi*i*h(g)/n)
这个函数就是Dirichlet character的骨干。它定义在和a互素的数上，和a不互素的定
义为0，再扩展到全部整数，这就是周期为a=8的Dirichlet character。 |
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r****z
发帖数: 12020 | 42 可以证明。
从熊大的公式开始，先作基本假设：A、B、n 都为正整数，于是有
(4B+5A)=41n 和 AB=60n
可以给出 A、B 上限：
4B>=41n/2 -> B>=41n/8=41AB/(8*60) -> A<=480/41=11.7... -> A<=11
或者
5A>=41n/2 -> A>=41n/10=41AB/(10*60) -> B<=600/41=14.6... -> B<=14
另从原题目，可以给出 A、B 下限：
4/A<4/A+5/B=41/60 -> A>240/41=5.9... -> A>=6
5/B<4/A+5/B=41/60 -> B>300/41=7.3... -> B>=8
所以只要要求 A、B、n 都为正整数，结果就是有限的，只有十三种组合，穷举去掉非
整数解就可以了：
要么 A 从 6 到 11，同时 B 为整数（情形 A=6，B=300）
要么 B 从 8 到 14，同时 A 为整数（情形 A=15，B=12） |
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发帖数: 1 | 43 偶数能被2（抽象意义下自然）整除，奇数不能被2（抽象意义下自然）整除、奇数（包
括素数）却能被2（抽象意义下）相对整除，…，在数值逻辑公理体系中，派生子集合
，有理数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，......从系统的发展变化的过程中产生分化
出来占据整数的位置充分的十足的体现相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为有
理数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-
6.5，......绝对值的小数单位均为最大的小数单位0.5，最大的小数单位0.5决定着有
理数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-
6.5，......的绝对值拥有相对整性质，相对整性质又为奇数能被2相对整除提供科学的
理论依据，因此，1+1=2或者说2是数学首要公理，…。
关键词：分数单位、最大的分数单位是1/2、分数单位的个数、小数单位、最大的小数
单位是0.5、小数单位的个数、相对整性质、为什么1+1=2等等。
开门见山，直击数学矛盾：
一、重... 阅读全帖 |
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s*****V
发帖数: 21731 | 44 abc猜想（abc conjecture）最先由Joseph Oesterlé及David Masser在1985年提出。
它说明对于任何ε>0，存在常数Cε> 0，并对于任何三个满足a+ b= c及a,b互质的正整
数a,b,c，有：
rad(n)在此表示n的质因数的积。[1]
截止2005年，此猜想仍未证明，却衍生一BOINC项目名为“ABC@Home”。
1996年，爱伦·贝克提出一个较为精确的猜想，将rad(abc)用
取代，在此ω是a,b,c的不同质因子的数目。[2]
2012年9月，日本京都大学数学家Shinichi Mochizuki(望月新一)公布了有关abc猜
想（abc conjecture）长达500页的证明。虽然尚未被证实整个证明过程是正确无误的
，但包括陶哲轩在内的一些著名数学家均对此给出了正面评价。
美国哥伦比亚大学数学家Dorian Goldfeld评价说：“abc猜想如果被证明，将一举
解决许多著名的Diophantine问题，包括费马大定理。如果Mochizuki的证明是正确的，
这将是21世纪最令人震惊的数学成就之一。”
abc猜想的证明... 阅读全帖 |
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g*********s
发帖数: 1782 | 45 正整数的数组x[1..n]，分成k段，找分段法，minimize the maximum sum of any
pieces,
minimize: MAX OF {sum of piece_1, sum of piece_2, ..., sum of piece_X}
dp:
f(n,k) = min { max { f(i,k-1), sum(x[j]) | i = 1..n, j = i+1..n } }
这个复杂度是O(K*N^2)，可以加速到O(K*NlgN)？
如果输入改成非负整数数组呢？
如果改成任意整数呢？
二分法要求必须是正整数吧？ |
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h****b
发帖数: 48 | 46 背景和经历：
国内名校混混，硕士混到之后又辗转混入微软中国，懵懂干了几年的测试，决心出国。
雷蒙德的卧佛拿了两个（办公室组和手机组），无奈国内极品老板不放人还给穿小鞋，
所以又去面了亚麻和狗狗，都是测试的位子，最后选了亚麻。
技术相关的面试总共经历了包括微软内的两个组各五轮，狗狗电话一轮国内三轮柯克兰
三轮，亚麻电话两轮西雅图四轮，小计二十三轮。因为签过恩地诶，所以题目要么不写
出处，要么细节做点变化，大家见谅。
关于准备：
简历里的闪光点要有针对性的挖掘。比如我用在微软内的简历里大吹特吹自己找八哥的
数据和一些特别经典的八哥；投给狗狗和亚麻的简历就强调自己写的自动化框架解决了
多大的问题。亚麻没找人内推，招聘官特意告诉我说我的简历和这个坑太匹配了。
对于要面试的组稍微做些功课也很重要。作为测试经理，对于一个用过自己产品，甚至
能提出一些主见的候选人自然是很喜欢的。在和办公室组聊的时候，我刚好之前把一些
私人表格从狗狗文档换到了微软的天盘，做了一些对比，老板听得很开心。。。
编程题的复习我是通读了150，编程珠玑和何海涛一百题，然后再浏览本版精华区，最
后几天去找点新题做做保持临场状态... 阅读全帖 |
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l*******s
发帖数: 7316 | 47 简化一下证明：
4/A + 5/B =41/60
要求A，B均为正整数。
4/A<41/60 并且 5/B<41/60
也就是 A > 240/41 > 5 并且 B > 300/41 > 7
另外 4/A >= 41/120 或者 5/B >= 41/120
也就是 A <= 480/41 <12 或者 B <= 600/41 <15
要么 A 从 6 到 11，同时 B=5/(41/60-4/A) 为整数, 只有 A=6，B=300一组解
要么 B 从 8 到 14，同时 A=4/(41/60-5/B) 为整数，只有 A=15，B=12一组解
所以只有 A=6，B=300 和 A=15，B=12 两组正整数解。 |
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s*****V
发帖数: 21731 | 48 abc猜想（abc conjecture）最先由Joseph Oesterlé及David Masser在1985年提出。
它说明对于任何ε>0，存在常数Cε> 0，并对于任何三个满足a+ b= c及a,b互质的正整
数a,b,c，有：
rad(n)在此表示n的质因数的积。[1]
截止2005年，此猜想仍未证明，却衍生一BOINC项目名为“ABC@Home”。
1996年，爱伦·贝克提出一个较为精确的猜想，将rad(abc)用
取代，在此ω是a,b,c的不同质因子的数目。[2]
2012年9月，日本京都大学数学家Shinichi Mochizuki(望月新一)公布了有关abc猜
想（abc conjecture）长达500页的证明。虽然尚未被证实整个证明过程是正确无误的
，但包括陶哲轩在内的一些著名数学家均对此给出了正面评价。
美国哥伦比亚大学数学家Dorian Goldfeld评价说：“abc猜想如果被证明，将一举
解决许多著名的Diophantine问题，包括费马大定理。如果Mochizuki的证明是正确的，
这将是21世纪最令人震惊的数学成就之一。”
abc猜想的证明... 阅读全帖 |
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E*****T
发帖数: 1193 | 49 题目1：就是求1到n这些位置，各放一种豆，相邻不同种且首尾不同种的情况。
对n做递归，a(n)=从1到n仅相邻不同的放法-从1到n相邻不同且首位不同的放法
=m(m-1)^{n-1}-a(n-1)
然后把m(m-1)^{n-1}写成(m-1)^n+(m-1)^{n-1}就可以算了。
题目2：又算了一次，之前忽略了一个常数，结果应该是两边均为类Fibonacci数列，也
就是每一项的值均为前面三项的线性和,通项公式可由特征根法解出。然后那个比值是1
/9
假设走法是对于两个正整数数列{a_n}{b_m}(a_0=b_0=0方便以后计算），由原点出发，
先到达坐标a_1,再回到-b_1,在走到a_2,......，令A_n,B_n分别为a_n,b_n的前n项和。
(1)走到a_n+p(其中1<=p<=a_{n+1}-a_n)所用的路程为2(A_n+B_n)+a_n+p,
走到b_m+q(其中1<=q<=b_{m+1}-b_m)所用的路程为2(A_{m+1}+B_m)+b+m+q,
题目是找到{a_n}{b_m},使得所有 路程/距离（取遍m,n,p,q）... 阅读全帖 |
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