T*******x
发帖数: 8565 | 1 Let G be a finite abelian group of order n. Let H be the set of group
homomorphism from G to Z_n. Find the cardinality of H. |
T*******x
发帖数: 8565 | 2 必须是到Z_n的homomorphism，换成到自己的endomorphism就不一样了。
【在 T*******x 的大作中提到】
: Let G be a finite abelian group of order n. Let H be the set of group
: homomorphism from G to Z_n. Find the cardinality of H.
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T*******x
发帖数: 8565 | 3 证明：| H | = n.
【在 T*******x 的大作中提到】
: Let G be a finite abelian group of order n. Let H be the set of group
: homomorphism from G to Z_n. Find the cardinality of H.
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n********g
发帖数: 6504 | 4 你的专业是啥？
【在 T*******x 的大作中提到】
: Let G be a finite abelian group of order n. Let H be the set of group
: homomorphism from G to Z_n. Find the cardinality of H.
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c****8
发帖数: 1 | 5 老黑用鸡巴猛抽你的后脑，会不会把你砸出震荡（脑）？
盹盹盹
：Let G be a finite abelian group of order n. Let H be the set of group
：homomorphism from G to Z_n. Find the cardinality of H.
：☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.10
【在 T*******x 的大作中提到】
: 证明：| H | = n.
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T*******x
发帖数: 8565 | 6 现在没专业，只有职业。
【在 n********g 的大作中提到】
: 你的专业是啥？
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n********g
发帖数: 6504 | 7 你能解释sensitivity conjecture不？
【在 T*******x 的大作中提到】
: 现在没专业，只有职业。
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B*Q
发帖数: 25729 | |
T*******x
发帖数: 8565 | 9 前两天看了一个知乎的贴讲到了。说是中国数学家两页纸证明了一个三十年的猜想。介
绍了证明思路，但是好像问题本身并没有介绍清楚，也可能我读的不仔细。是门电路输
入对二进制输出结果的影响，这方面的猜想。
你能介绍这个问题吗？
【在 n********g 的大作中提到】
: 你能解释sensitivity conjecture不？
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T*******x
发帖数: 8565 | 10 问题是有答案的，答案是n，我前贴已经说了。要的是证明，证明是没有标准写法的。
没有答案的问题，是open ended question，那难度就不一样了，那就只能随便聊聊。
【在 B*Q 的大作中提到】
: 这些问题没标准答案么？
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T*******x
发帖数: 8565 | 11 再加一个问题。证明：
for any g != 0 in G,
sum for h in H of exp(2*pi*i*h(g)/n)
等于0。
Also, for h != 0 in H (h=0 means h(g)=0 for all g in G),
sum for g in G of exp(2*pi*i*h(g)/n)
等于0。
【在 T*******x 的大作中提到】
: Let G be a finite abelian group of order n. Let H be the set of group
: homomorphism from G to Z_n. Find the cardinality of H.
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T****i
发帖数: 15191 | 12 真羡慕你们学数学的，一摞纸一支笔就可以开工了。祝你也能解决一个数学难题。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 前两天看了一个知乎的贴讲到了。说是中国数学家两页纸证明了一个三十年的猜想。介
: 绍了证明思路，但是好像问题本身并没有介绍清楚，也可能我读的不仔细。是门电路输
: 入对二进制输出结果的影响，这方面的猜想。
: 你能介绍这个问题吗？
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l********e
发帖数: 3986 | 13 这是个业余的发烧友，其实他也不知到自己在干什么。
【在 T****i 的大作中提到】
: 真羡慕你们学数学的，一摞纸一支笔就可以开工了。祝你也能解决一个数学难题。
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b******r
发帖数: 1 | 14 如果 g 是循环群，易解。
如果g 不是循环群，有个定理好像是说有限交欢群都可以分解成循环群的直积。然后
就好说了。
不过有个问题是怎么定义两个homomorphism 相同，应该是modolo g 的同构群的意义下
相同，那样的话，答案就不是n.
如果 g 不是循环群，答案也不应该是n.
: 证明：| H | = n.
【在 T*******x 的大作中提到】
: 再加一个问题。证明：
: for any g != 0 in G,
: sum for h in H of exp(2*pi*i*h(g)/n)
: 等于0。
: Also, for h != 0 in H (h=0 means h(g)=0 for all g in G),
: sum for g in G of exp(2*pi*i*h(g)/n)
: 等于0。
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T*******x
发帖数: 8565 | 15 我发现你越来越变态了，自从上次定积分收敛被打脸之后，是不是觉得暴露了丢人了？
反华也开始赤膊上阵了。你是破罐子破摔了吧。呵呵。
【在 l********e 的大作中提到】
: 这是个业余的发烧友，其实他也不知到自己在干什么。
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T*******x
发帖数: 8565 | 16 两个homomorphism相同就定义为作为函数相同。对，这个问题的关键的确是分解成循环
群的直积，这个是叫有限交换群基本定理，fundamental theorem of finite abelian
group.
【在 b******r 的大作中提到】
: 如果 g 是循环群，易解。
: 如果g 不是循环群，有个定理好像是说有限交欢群都可以分解成循环群的直积。然后
: 就好说了。
: 不过有个问题是怎么定义两个homomorphism 相同，应该是modolo g 的同构群的意义下
: 相同，那样的话，答案就不是n.
: 如果 g 不是循环群，答案也不应该是n.
:
:
: 证明：| H | = n.
:
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T*******x
发帖数: 8565 | 17 确实。数学就是一支笔几张纸就开工，没有纸笔也行。前两天知乎上谈那个解决了门电
路敏感性问题的中国人，说这个问题想好几年了，每次想一段时间就放弃，也不执着，
隔段时间回来再想。在很多个夜晚达到了帮助睡眠的效果。这个的确有，我就有。想问
题不会睡不着觉，想着想着睡着了很正常，半夜醒来还能接着想，然后也是很快睡着，
不影响睡觉。
【在 T****i 的大作中提到】
: 真羡慕你们学数学的，一摞纸一支笔就可以开工了。祝你也能解决一个数学难题。
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l********e
发帖数: 3986 | 18 我的错误是忘了lnx的收敛性，并把其作为收敛尺度，我也承认了我的错误。我对这个
问题的思路没问题，只是判据没有仔细考虑，这没啥丢人的，毕竟没功夫来抠这些本科
练习题级的细节。
我说过那个积分没有解析解，如果你还继续胡搅蛮缠瞎折腾，只表明你并不是科班出身
，至少是数学根本不理解。
我们当时有个傻逼丑女生，上课总喜欢搞些乱七八遭，其实很无聊的问题以显示她的聪
明。她不明白的是这些乱七八糟只能表示她的愚蠢，对她的学习进步毫无帮助。
finite abelian group homomorphism 你能用你自己的语言描述一下吗？如何
homomorphism ？Monomorphism， Epimorphism，Isomorphism，Endomorphism，
Automorphism，又有什么特殊？有什么局限，有什么应用，你有空多还是看看书。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 我发现你越来越变态了，自从上次定积分收敛被打脸之后，是不是觉得暴露了丢人了？
: 反华也开始赤膊上阵了。你是破罐子破摔了吧。呵呵。
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T*******x
发帖数: 8565 | 19 你个傻逼，听不懂人说话吗？在那个贴里我至少说了两次，我不反对说那个题没有解析
解。还要我说几次？你真是个傻逼。
叔可以给你讲讲homomorphism。
【在 l********e 的大作中提到】
: 我的错误是忘了lnx的收敛性，并把其作为收敛尺度，我也承认了我的错误。我对这个
: 问题的思路没问题，只是判据没有仔细考虑，这没啥丢人的，毕竟没功夫来抠这些本科
: 练习题级的细节。
: 我说过那个积分没有解析解，如果你还继续胡搅蛮缠瞎折腾，只表明你并不是科班出身
: ，至少是数学根本不理解。
: 我们当时有个傻逼丑女生，上课总喜欢搞些乱七八遭，其实很无聊的问题以显示她的聪
: 明。她不明白的是这些乱七八糟只能表示她的愚蠢，对她的学习进步毫无帮助。
: finite abelian group homomorphism 你能用你自己的语言描述一下吗？如何
: homomorphism ？Monomorphism， Epimorphism，Isomorphism，Endomorphism，
: Automorphism，又有什么特殊？有什么局限，有什么应用，你有空多还是看看书。
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T*******x
发帖数: 8565 | 20 那个积分没有解析解，这是个trivial的事情，你还拿来当个什么大发现，真是愚蠢。
【在 l********e 的大作中提到】
: 我的错误是忘了lnx的收敛性，并把其作为收敛尺度，我也承认了我的错误。我对这个
: 问题的思路没问题，只是判据没有仔细考虑，这没啥丢人的，毕竟没功夫来抠这些本科
: 练习题级的细节。
: 我说过那个积分没有解析解，如果你还继续胡搅蛮缠瞎折腾，只表明你并不是科班出身
: ，至少是数学根本不理解。
: 我们当时有个傻逼丑女生，上课总喜欢搞些乱七八遭，其实很无聊的问题以显示她的聪
: 明。她不明白的是这些乱七八糟只能表示她的愚蠢，对她的学习进步毫无帮助。
: finite abelian group homomorphism 你能用你自己的语言描述一下吗？如何
: homomorphism ？Monomorphism， Epimorphism，Isomorphism，Endomorphism，
: Automorphism，又有什么特殊？有什么局限，有什么应用，你有空多还是看看书。
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T*******x
发帖数: 8565 | 21 不过group homomorphism 倒是值得讲一讲。
Given group G and H, a function f from G to H is called a group homomorphism
if f(g_1*g_2)=f(g_1)*f(g_2).
【在 l********e 的大作中提到】
: 我的错误是忘了lnx的收敛性，并把其作为收敛尺度，我也承认了我的错误。我对这个
: 问题的思路没问题，只是判据没有仔细考虑，这没啥丢人的，毕竟没功夫来抠这些本科
: 练习题级的细节。
: 我说过那个积分没有解析解，如果你还继续胡搅蛮缠瞎折腾，只表明你并不是科班出身
: ，至少是数学根本不理解。
: 我们当时有个傻逼丑女生，上课总喜欢搞些乱七八遭，其实很无聊的问题以显示她的聪
: 明。她不明白的是这些乱七八糟只能表示她的愚蠢，对她的学习进步毫无帮助。
: finite abelian group homomorphism 你能用你自己的语言描述一下吗？如何
: homomorphism ？Monomorphism， Epimorphism，Isomorphism，Endomorphism，
: Automorphism，又有什么特殊？有什么局限，有什么应用，你有空多还是看看书。
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T*******x
发帖数: 8565 | 22 f is called a monmorphism if f is injective，单射。f is called epimorphism
if f is surjective，满射。f is an isomorphism if f is both a monomorphism
and a epimorphism.
If G and H are the same group, f is an endomorohism. f is an automorphism if
it’s a endomorphism and a isomorphism.
homomorphism
【在 T*******x 的大作中提到】
: 不过group homomorphism 倒是值得讲一讲。
: Given group G and H, a function f from G to H is called a group homomorphism
: if f(g_1*g_2)=f(g_1)*f(g_2).
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T*******x
发帖数: 8565 | 23 Homomorphism，中文叫同态，是两个同样代数结构物体之间的映射，也就是函数，但不
是任意函数，它respect这个代数结构。
homomorphism
【在 T*******x 的大作中提到】
: 不过group homomorphism 倒是值得讲一讲。
: Given group G and H, a function f from G to H is called a group homomorphism
: if f(g_1*g_2)=f(g_1)*f(g_2).
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T*******x
发帖数: 8565 | 24 什么叫respect代数结构？就是定义域两个元素的关系，映射到值域两个元素后，满
足同样关系。
定义已经完全说清楚了，这样的解释不增加定义中的任何内容，实际上它减少或者模糊
了定
义中的内容，但是用自然语言解释常常有助于理解，这是人类理解的复杂性造成的。
【在 T*******x 的大作中提到】
: Homomorphism，中文叫同态，是两个同样代数结构物体之间的映射，也就是函数，但不
: 是任意函数，它respect这个代数结构。
:
: homomorphism
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T*******x
发帖数: 8565 | 25 我先说这么多。homomorphism可说的有很多。你来说说看。
【在 l********e 的大作中提到】
: 我的错误是忘了lnx的收敛性，并把其作为收敛尺度，我也承认了我的错误。我对这个
: 问题的思路没问题，只是判据没有仔细考虑，这没啥丢人的，毕竟没功夫来抠这些本科
: 练习题级的细节。
: 我说过那个积分没有解析解，如果你还继续胡搅蛮缠瞎折腾，只表明你并不是科班出身
: ，至少是数学根本不理解。
: 我们当时有个傻逼丑女生，上课总喜欢搞些乱七八遭，其实很无聊的问题以显示她的聪
: 明。她不明白的是这些乱七八糟只能表示她的愚蠢，对她的学习进步毫无帮助。
: finite abelian group homomorphism 你能用你自己的语言描述一下吗？如何
: homomorphism ？Monomorphism， Epimorphism，Isomorphism，Endomorphism，
: Automorphism，又有什么特殊？有什么局限，有什么应用，你有空多还是看看书。
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T*******x
发帖数: 8565 | 26 我出这个题不难，就是大家玩一下。但是它渊源很深。我可以说一下。
【在 T*******x 的大作中提到】
: Let G be a finite abelian group of order n. Let H be the set of group
: homomorphism from G to Z_n. Find the cardinality of H.
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T*******x
发帖数: 8565 | 27 这个东西出现在Dirichlet character中。Dirichlet character是Dirichlet在对黎曼
zeta函数扩展的时候提出的，他用这个证明了ak+b的形式的整数中有无穷多素数，其中
a和b为互素整数。比如4k+1，8k+5。
Dirichlet character是这么定义的：
固定正整数a大于1，比如a=8。比a小且和a互素的正整数有四个：1，3，5，7。这四个
数关于相乘模8这个二元运算构成一个群，满足交换律（abelian），是一个finite
abeblian group，单位元为1，order为4，也就是元素个数为4。这就是题中的G群，n=4。
Z_n，是整数模n的等价类集合，关于加法模n这个运算构成一个群，满足交换律，单位
元为0。
假设h为从G到Z_n的group homomorphism，定义G到复数的一个函数，
f(g)=exp(2*pi*i*h(g)/n)
这个函数就是Dirichlet character的骨干。它定义在和a互素的数上，和a不互素的定
义为0，再扩展到全部整数，这就是周期为a=8的Dirichlet character。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 我出这个题不难，就是大家玩一下。但是它渊源很深。我可以说一下。
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T*******x
发帖数: 8565 | 28 我们证明一下|H|=n.
根据fundamental theorem of finite abelian group，一个finite abelian group可
以表示成cyclic group的直积。这就相当于一个向量空间可以分解成几个一维空间一样
，每个一维相当于一个坐标维，空间中的每个元素都能分解成坐标维元素的线性组合，
可以写出其坐标。
选定每一个cyclic group中的generator，这种选定方法不是唯一的，但是可以选定。G
到Z_n的一个homomorphism相当于给每个generator元素赋值，反之亦然，给每一个
generator的任意一套赋值都能延伸成一个homomorphism。所以H的cardinality就等于
给每一个generator赋值的方法的数目。
看一个直积component，也就是一个cyclic group，假设它的order为m，那么它的
generator的order也为m，Z_n中有唯一一个order m的子群，给cyclic group
generator赋值只能选遍这个order m的子群，有m种方法。
所以总的赋值方法数就等于各个直积cyclic group的order的乘积，也就是n。
【在 T*******x 的大作中提到】
: Let G be a finite abelian group of order n. Let H be the set of group
: homomorphism from G to Z_n. Find the cardinality of H.
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T*******x
发帖数: 8565 | 29 证明结束了，但是要说明一下，到Z_n不一定是满射。比如如果G是2X2的群，它不是一
个循环群，除了单位元之外，每个元素都是 order 2的，它映射到Z_4上像只能在Z_4的
二阶子群上。
。G
【在 T*******x 的大作中提到】
: 我们证明一下|H|=n.
: 根据fundamental theorem of finite abelian group，一个finite abelian group可
: 以表示成cyclic group的直积。这就相当于一个向量空间可以分解成几个一维空间一样
: ，每个一维相当于一个坐标维，空间中的每个元素都能分解成坐标维元素的线性组合，
: 可以写出其坐标。
: 选定每一个cyclic group中的generator，这种选定方法不是唯一的，但是可以选定。G
: 到Z_n的一个homomorphism相当于给每个generator元素赋值，反之亦然，给每一个
: generator的任意一套赋值都能延伸成一个homomorphism。所以H的cardinality就等于
: 给每一个generator赋值的方法的数目。
: 看一个直积component，也就是一个cyclic group，假设它的order为m，那么它的
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T*******x
发帖数: 8565 | 30 再证明一下这个。
还是要用fundamental theorem of finite abelian group，把G分解成循环群的直积，
然后在每一个直积component里选定一个generator，这样G就有一组generator，记为(
g1,g2,g3,...)。
G中每个元素g都可以用这组generator线性组合表示，
g=r1g1+r2g2+r3g3+...
这里用abelian group的convention把群二元运算写成加法。还可以把g写成坐标的形式
g=(r1,r2,r3,...)
这就是fundamental theorem的主要意义。
根据homomorphism，
h(g)=r1 h(g1)+r2 h(g2)+r3 h(g3)+...
根据H的构造方法，h取遍H正是每一个h(gi)取遍与gi对应的Z_n的子群，整个sum变成了
一个多重sum，index可以分离，写成
sum h(g1) in J1 of exp(...r1 h(g1))
sum h(g2) in J2 of exp(...r2 h(g2))
sum h(g3) in J3 of exp(...r3 h(g3))
...
的形式。每一个sum都为0。
这里用到了g != 0。如果 g=0，显然这个sum的每一项为1，总和为n。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 再加一个问题。证明：
: for any g != 0 in G,
: sum for h in H of exp(2*pi*i*h(g)/n)
: 等于0。
: Also, for h != 0 in H (h=0 means h(g)=0 for all g in G),
: sum for g in G of exp(2*pi*i*h(g)/n)
: 等于0。
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i****r
发帖数: 673 | 31 俺只知道同态滤波，其它一概不知
【在 T*******x 的大作中提到】
: Homomorphism，中文叫同态，是两个同样代数结构物体之间的映射，也就是函数，但不
: 是任意函数，它respect这个代数结构。
:
: homomorphism
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T*******x
发帖数: 8565 | 32 同态滤波我倒不知道。
【在 i****r 的大作中提到】
: 俺只知道同态滤波，其它一概不知
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i****r
发帖数: 673 | 33 就是把线性滤波器处理不了的信号，
映射为线性滤波器可以处理的信号，
完后再映射回去。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 同态滤波我倒不知道。
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T*******x
发帖数: 8565 | 34 把前两天出的一个相关问题copy到这里：
给定任意正整数 n>1，
证明级数收敛：
sum (k from 0 to infinity) sum (m from 0 to n-1) of
exp(2*pi*i*m/n) * 1/(k*n+m+1)
【在 T*******x 的大作中提到】
: Let G be a finite abelian group of order n. Let H be the set of group
: homomorphism from G to Z_n. Find the cardinality of H.
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T*******x
发帖数: 8565 | 35 还有wsn写的证明：
wsnren (买买提非著名wsn德马家)
3 74.* 7/26/19, 15:3:52 (4^19)
This is too trivial. When k is large, 1/(kn+m+1)=1/(kn)+O((m+1)/(kn)^2).
Thus the innermost sum is 1/(kn)sum_{m}e(m/n)+sum_{m}O((m+1)/(kn)^2)=O(1/k^2
).
【在 T*******x 的大作中提到】
: 把前两天出的一个相关问题copy到这里：
: 给定任意正整数 n>1，
: 证明级数收敛：
: sum (k from 0 to infinity) sum (m from 0 to n-1) of
: exp(2*pi*i*m/n) * 1/(k*n+m+1)
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T*******x
发帖数: 8565 | 36 我要继续写一下Dirichlet对ak+b中有无穷多素数的证明。因为它里面涉及一个数学发
明/发现的重要方法。
=4。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这个东西出现在Dirichlet character中。Dirichlet character是Dirichlet在对黎曼
: zeta函数扩展的时候提出的，他用这个证明了ak+b的形式的整数中有无穷多素数，其中
: a和b为互素整数。比如4k+1，8k+5。
: Dirichlet character是这么定义的：
: 固定正整数a大于1，比如a=8。比a小且和a互素的正整数有四个：1，3，5，7。这四个
: 数关于相乘模8这个二元运算构成一个群，满足交换律（abelian），是一个finite
: abeblian group，单位元为1，order为4，也就是元素个数为4。这就是题中的G群，n=4。
: Z_n，是整数模n的等价类集合，关于加法模n这个运算构成一个群，满足交换律，单位
: 元为0。
: 假设h为从G到Z_n的group homomorphism，定义G到复数的一个函数，
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T*******x
发帖数: 8565 | 37 在此之前有证明4k+1的方法（4k+1中有无穷多素数），已经很难了，4k+3的方法又更难
。而Dirichlet证明的是ak+b，统一的方法，发明了新的结构，新的方法，这里包含数
学发现/发明的重要启示。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 我要继续写一下Dirichlet对ak+b中有无穷多素数的证明。因为它里面涉及一个数学发
: 明/发现的重要方法。
:
: =4。
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T*******x
发帖数: 8565 | 38 Dirichlet的方法是在欧拉的一个方法上扩展的。欧拉用这个方法证明了有无穷多素数
，这个平凡的结论，但是其方法不平凡，而且可以扩展。
他是从黎曼zeta函数出发，
zeta(s)=sum n from 1 to infinity of 1/n^s
已知当s=1时，zeta函数就是调和级数，不收敛，趋于无穷。
第一步是把zeta函数表示为乘积的形式。
比如看
zeta(2)=1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...
1/2^2 * zeta(2) = 1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + ...
那么zeta(2) * (1-1/2^2)等于在zeta(2)中把2，4，6，...项删除。也就是说乘以(1-1
/2^2)这个操作相当于一个筛法，在原级数的基础上筛除2的倍数项。
zeta(2) * (1-1/2^2) * (1-1/3^2) 等于以zeta(2)为基础，先筛除2的倍数项，然后，
再筛除3的倍数项。
如果以此类推，把所有的素数倍数项都依次筛除，那剩下的是什么？只有1。所以
zeta(s)=
(1-1/2^s)^(-1) * (1-1/3^s)^(-1) * (1-1/5^s)^(-1) * ...
取遍所有素数项。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 我要继续写一下Dirichlet对ak+b中有无穷多素数的证明。因为它里面涉及一个数学发
: 明/发现的重要方法。
:
: =4。
|
T*******x
发帖数: 8565 | 39 这个筛除的方法只适用于素数，而比如
zeta(2) * (1-1/2^2) * (1-1/4^2)
这样的不行。
-1
【在 T*******x 的大作中提到】
: Dirichlet的方法是在欧拉的一个方法上扩展的。欧拉用这个方法证明了有无穷多素数
: ，这个平凡的结论，但是其方法不平凡，而且可以扩展。
: 他是从黎曼zeta函数出发，
: zeta(s)=sum n from 1 to infinity of 1/n^s
: 已知当s=1时，zeta函数就是调和级数，不收敛，趋于无穷。
: 第一步是把zeta函数表示为乘积的形式。
: 比如看
: zeta(2)=1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...
: 1/2^2 * zeta(2) = 1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + ...
: 那么zeta(2) * (1-1/2^2)等于在zeta(2)中把2，4，6，...项删除。也就是说乘以(1-1
|
T*******x
发帖数: 8565 | 40 这个叫Euler product.
第二步是取对数。
ln zeta(s)=
-ln (1-1/2^s) -ln (1-1/3^s) -ln (1-1/5^s)...
然后用泰勒展开，
-ln (1-x)= x/1 + x^2/2 + x^3/3 +...
取s趋近于1，已知zeta(1)=无穷，ln zeta(1)也等于无穷。另一方面，把原式写成阵列，
ln zeta(1)=
1/2 + 1/2^2/2 + 1/2^3/3 + 1/2^4/4 + ...
+1/3 + 1/3^2/2 + 1/3^3/3 + 1/3^4/4 + ...
+1/5 + 1/5^2/2 + 1/5^3/3 + 1/5^4/4 + ...
+...
阵列的第一列是所有的素数的倒数相加。阵列从第二列开始到无穷加在一起收敛，这个
很容易证明，因为从第二列开始看每一行，都是比几何级数收敛还快。比如第一行，从
第二列开始，加在一起小于 1/2^2，第二行，从第二列开始，加在一起小于 1/3^2，...
所以一方面阵列等式的左面ln zeta(1)=∞，另一方面，阵列从第二列开始，加起来有
限。所以阵列的第一列只能趋于无穷。也就是说，所有素数的倒数之和为无穷，所以必
须有无穷多的素数。
-1
【在 T*******x 的大作中提到】
: Dirichlet的方法是在欧拉的一个方法上扩展的。欧拉用这个方法证明了有无穷多素数
: ，这个平凡的结论，但是其方法不平凡，而且可以扩展。
: 他是从黎曼zeta函数出发，
: zeta(s)=sum n from 1 to infinity of 1/n^s
: 已知当s=1时，zeta函数就是调和级数，不收敛，趋于无穷。
: 第一步是把zeta函数表示为乘积的形式。
: 比如看
: zeta(2)=1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...
: 1/2^2 * zeta(2) = 1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + ...
: 那么zeta(2) * (1-1/2^2)等于在zeta(2)中把2，4，6，...项删除。也就是说乘以(1-1
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T*******x
发帖数: 8565 | 41 Dirichlet的目标就是要扩展Euler的方法，make it work，因为已经接近了。怎么看出
来接近了呢？比如考虑8k+5形式的素数吧。
Euler是从全部自然数倒数的黎曼zeta函数出发，得到全部自然数中的素数相关的乘积
表达。而如果从selected自然数的黎曼zeta函数出发，就应该得到selected自然数中的
素数相关的乘积表达。这就接近了。
所以目标是这样一个黎曼函数，
L(s)=
1/5^s + 1/13^s + 1/21^s + 1/29^s +...
这里出现的自然数都是8k+5形式的。
Euler方法最重要的一步是写成乘积形式，而其中用到了素数的筛法，去掉2，3，5等的
倍数项。直接用在L函数上行不行？好像不直接行。缺啥补啥啊！呵呵。这就是数学发
明的一个重要方法。我觉得这条路应该是走的通的，也可能走不通，Dirichlet并没有
走这条路。
那就把自然数补齐，
L(s)=
f(1)/1^s + f(2)/2^s + f(3)/3^s + f(4)/4^s +...
其中f(n)=1 if n=8k+5否则等于0。
现在能表达成乘积的形式了吗？筛法中素数倍数项分母提出公共因子，分子也必须提出
公共因子，这就要求f要和这个方法匹配，提炼一下发现要求很简单，
f(mn)=f(m)f(n)
这叫multiplicative.
这样的东西存在，后来就叫Dirichlet character.
还差一步，因为按照前面的需要
f(n)=1 if n=8k+5否则等于0，
它不直接满足multiplicative。这个地方缺啥呢？这应该也是一个跳跃，因为可以想象
，某人走到这里，发现有character这个东西，但是它不直接是8k+5的形式，失败。。
。但至少它可以告诉你，和8互素的整数中有无穷多素数。。。这个结论也不平凡啊。
Dirichlet应该在这里花了不少时间，他知道不只有一个周期为8的character，它们之
间的关系。。。可以组合成所需要的f函数，而且和后面的步骤。。。够用。
成立。
列，
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这个叫Euler product.
: 第二步是取对数。
: ln zeta(s)=
: -ln (1-1/2^s) -ln (1-1/3^s) -ln (1-1/5^s)...
: 然后用泰勒展开，
: -ln (1-x)= x/1 + x^2/2 + x^3/3 +...
: 取s趋近于1，已知zeta(1)=无穷，ln zeta(1)也等于无穷。另一方面，把原式写成阵列，
: ln zeta(1)=
: 1/2 + 1/2^2/2 + 1/2^3/3 + 1/2^4/4 + ...
: +1/3 + 1/3^2/2 + 1/3^3/3 + 1/3^4/4 + ...
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T*******x
发帖数: 8565 | 42 还需要另一个：
Also, for h != 0 in H (h=0 means h(g)=0 for all g in G),
sum for g in G of exp(2*pi*i*h(g)/n)
等于0。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 再加一个问题。证明：
: for any g != 0 in G,
: sum for h in H of exp(2*pi*i*h(g)/n)
: 等于0。
: Also, for h != 0 in H (h=0 means h(g)=0 for all g in G),
: sum for g in G of exp(2*pi*i*h(g)/n)
: 等于0。
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T*******x
发帖数: 8565 | 43 这个问题可以用环和模的语言包装一下。
Let G be a finite abelian group of order n. Then G is a module over the
principal ideal ring Z_n. (Note: Z_n is not generally a principal ideal
domain).
The set H of homomorphism from G to Z_n is the dual space of G, that is, the
space of linear functionals. Fixing a set of basis of G, which in this case
is a linearly independent and generating set, G is isomorphic to H. There
is a canonical isomorphism between G and its double dual.
The image of an element in the dual space (viewed as a linear functional) is
a subgroup of Z_n (actually an ideal of Z_n). The image of an element in
the double dual space (viewed as a linear functional on the dual space) is
also a subgroup of Z_n.
这么说一下，原问题就都在里面了。
【在 T*******x 的大作中提到】
: Let G be a finite abelian group of order n. Let H be the set of group
: homomorphism from G to Z_n. Find the cardinality of H.
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T*******x
发帖数: 8565 | 44 最后这段还不行，光说image是subgroup还不行，还得是covering，不过homomorphism
肯定对image是covering 的，而image也肯定是subgroup，所以啥也不用说了。
the
case
is
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这个问题可以用环和模的语言包装一下。
: Let G be a finite abelian group of order n. Then G is a module over the
: principal ideal ring Z_n. (Note: Z_n is not generally a principal ideal
: domain).
: The set H of homomorphism from G to Z_n is the dual space of G, that is, the
: space of linear functionals. Fixing a set of basis of G, which in this case
: is a linearly independent and generating set, G is isomorphic to H. There
: is a canonical isomorphism between G and its double dual.
: The image of an element in the dual space (viewed as a linear functional) is
: a subgroup of Z_n (actually an ideal of Z_n). The image of an element in
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T*******x
发帖数: 8565 | 45 这个不行。Z_n module 没有basis。但是minimal generating set是有的。dual space
和double dual space也是有的。几个space的关系是有的。这个先这样吧。
the
case
is
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这个问题可以用环和模的语言包装一下。
: Let G be a finite abelian group of order n. Then G is a module over the
: principal ideal ring Z_n. (Note: Z_n is not generally a principal ideal
: domain).
: The set H of homomorphism from G to Z_n is the dual space of G, that is, the
: space of linear functionals. Fixing a set of basis of G, which in this case
: is a linearly independent and generating set, G is isomorphic to H. There
: is a canonical isomorphism between G and its double dual.
: The image of an element in the dual space (viewed as a linear functional) is
: a subgroup of Z_n (actually an ideal of Z_n). The image of an element in
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