w****z
发帖数: 107 | 1 一个信号sin(2*pi*x), 频率是1，基于nyquist，如果采样频率是2hz，我们应该可以重
构sin（2*pi*x)。也就是一个周期采样两点即可
然而，如果我们每个周期采样两点，一点在x=0，一点在x=1/2，sin(2*pi*x) 幅度都是
0.好像重构不出原始的sin function。问题在哪里呢？ |
n****t
发帖数: 170 | 2 采样频率得严格大于带宽的两倍，你的例子刚好是等于的情况，你可以考虑频域上，有
ALIASING产生 |
w****z
发帖数: 107 | 3 多谢答复：
另外如果不大于，而是正好象我举例子上的等于，之所以在2hz的情况下，不能重构，
是不是因为
原始信号的频谱，有两点，一个peak是在1，一个peak是在-1，采样频率如果是2的话，
peak 在1的那一点会跟，下一个周期的-1一点重合 （因为-1+2=1），但两点重合，频
率应该加强，之所以相互cancel，是因为+1的频谱相位，跟-1的频谱相位相差180度？
【在 n****t 的大作中提到】
: 采样频率得严格大于带宽的两倍，你的例子刚好是等于的情况，你可以考虑频域上，有
: ALIASING产生
|
z*****n
发帖数: 7639 | 4 你的采样器能做到这点我就服了你。
【在 w****z 的大作中提到】
: 一个信号sin(2*pi*x), 频率是1，基于nyquist，如果采样频率是2hz，我们应该可以重
: 构sin（2*pi*x)。也就是一个周期采样两点即可
: 然而，如果我们每个周期采样两点，一点在x=0，一点在x=1/2，sin(2*pi*x) 幅度都是
: 0.好像重构不出原始的sin function。问题在哪里呢？
|
l********k
发帖数: 13 | 5 前面兄弟说过了，奈奎斯特定律的严格陈述里面，是排除采样频率恰好是两倍的这种情
况的。
另外，你可以很直观的想一下，对于采样器来说，如果采样点都是零，means nothing.
..当然是恢复不出来了...:D
【在 w****z 的大作中提到】
: 多谢答复：
: 另外如果不大于，而是正好象我举例子上的等于，之所以在2hz的情况下，不能重构，
: 是不是因为
: 原始信号的频谱，有两点，一个peak是在1，一个peak是在-1，采样频率如果是2的话，
: peak 在1的那一点会跟，下一个周期的-1一点重合 （因为-1+2=1），但两点重合，频
: 率应该加强，之所以相互cancel，是因为+1的频谱相位，跟-1的频谱相位相差180度？
|
z*****n
发帖数: 7639 | 6 Your statement is not correct.
If highest frequency is B, then a sampling rate of 2B is
called the "lower bound" by which the signal can be
reconstructed.
The reason is: for the sampling rate 2B and a sinusoidal X
of B-Hz, the sampling point may fall at any point of
[0, pi) radians of X. When it falls at 0, then we get
all 0 input; when it falls at pi/2, then we get
B with full magnitude. However, because [0,pi) is a continous
domain, the chance to be on any certain point is negligible,
so in th
【在 l********k 的大作中提到】
: 前面兄弟说过了，奈奎斯特定律的严格陈述里面，是排除采样频率恰好是两倍的这种情
: 况的。
: 另外，你可以很直观的想一下，对于采样器来说，如果采样点都是零，means nothing.
: ..当然是恢复不出来了...:D
|
g****t
发帖数: 31659 | 7 我怎么记得必须是平方可积信号,才有采样定理阿?
As I remember:
sin(t)之类的东西,其平方所围面积是无限的.
信号重构的那个sinc展开式肯定不对.
【在 z*****n 的大作中提到】
: Your statement is not correct.
: If highest frequency is B, then a sampling rate of 2B is
: called the "lower bound" by which the signal can be
: reconstructed.
: The reason is: for the sampling rate 2B and a sinusoidal X
: of B-Hz, the sampling point may fall at any point of
: [0, pi) radians of X. When it falls at 0, then we get
: all 0 input; when it falls at pi/2, then we get
: B with full magnitude. However, because [0,pi) is a continous
: domain, the chance to be on any certain point is negligible,
|
z*****n
发帖数: 7639 | 8 Do you mean "可积" integrable?
I have never heard this theory...
By the way, I think sin^2(t) is still integrable.
【在 g****t 的大作中提到】
: 我怎么记得必须是平方可积信号,才有采样定理阿?
: As I remember:
: sin(t)之类的东西,其平方所围面积是无限的.
: 信号重构的那个sinc展开式肯定不对.
|
i*****t
发帖数: 24265 | 9 2倍于sin频率出来采样的显然是锯齿波或方波，不是sin。
【在 w****z 的大作中提到】
: 一个信号sin(2*pi*x), 频率是1，基于nyquist，如果采样频率是2hz，我们应该可以重
: 构sin（2*pi*x)。也就是一个周期采样两点即可
: 然而，如果我们每个周期采样两点，一点在x=0，一点在x=1/2，sin(2*pi*x) 幅度都是
: 0.好像重构不出原始的sin function。问题在哪里呢？
|
z*****n
发帖数: 7639 | 10 同学，reconstruction 的时候不是一点一点的瞄过去的！
是要乘exp(2*pi*f_i*t)的。
【在 i*****t 的大作中提到】
: 2倍于sin频率出来采样的显然是锯齿波或方波，不是sin。
|
|
|
g****t
发帖数: 31659 | 11 以下是我的理解:
sin^2(t) 在无穷远处的极限不存在，所以
不是平方可积的。它从负无穷到正无穷的积分是无限大。
香农原始的论文没处理这种情况。他没有处理广义函数。
http://www.stanford.edu/class/ee104/shannonpaper.pdf
他说"to have the time function very small outside the interval T"
sin(t)显然不符合这个。
要处理sin(t)这种情况，要用广义函数，卷积。这种情况，
但是工科课本都是形式上推一下。说的并不清楚。
普通函数+平方可积的情况，=1/2f的情况信号恢复没问题。
为什么对广义函数的情况就不行。我也不清楚。
我想多半是什么地方取个极限什么的把等号弄掉了。
Do you mean "可积" integrable?
I have never heard this theory...
By the way, I think sin^2(t) is still integrable.
【在 z*****n 的大作中提到】
: Do you mean "可积" integrable?
: I have never heard this theory...
: By the way, I think sin^2(t) is still integrable.
|
w****z
发帖数: 107 | 12 你这也不对，我现在大致清楚原因
sin(2*pi*x) 在频谱上有两点，一个是频率1Hz，一个是频率-1Hz,
频率1Hz 与频率-1hz (在复数平面）的相位是相差180度. 相位相差180度的正负频率叠
加在一起产生一个实正弦信号。
sin(2*pi*x)=j(exp(-j*2*pi*x)-exp(j*2*pi*x))/2
在采样2Hz的情况下，频谱将会变成周期的，周期interval是2Hz.这样的后果会导致
-1Hz的频谱在下一个周期变成频率是1hz，
因为原始频谱的-1Hz的相位跟1hz的相位相差180度，这样就会导致在1Hz上面有两个频
率一样，但相位相差180的两个分量，叠加在一起的后果是频谱为0，因此在时域上采样
也为0，不可能重构出原始信号。
另外重构不是乘以exp（2*pi**j*f*t),而时卷积sinc函数，
因为要想重构原始频谱，在频域相当于乘以一个窗口函数，
这个在时域上对等于卷积一个sinc 函数
【在 z*****n 的大作中提到】
: 同学，reconstruction 的时候不是一点一点的瞄过去的！
: 是要乘exp(2*pi*f_i*t)的。
|
g****t
发帖数: 31659 | 13 对普通函数，平方可积的情况，=1/2f采样，
用sinc插值公式重构肯定是没问题的。
(Theorem 1
http://www.stanford.edu/class/ee104/shannonpaper.pdf)
你下头这段还是没说明白为啥对sin(t)之类的
Fourier变换是广义函数的情况，等号不成立阿?
【在 w****z 的大作中提到】
: 你这也不对，我现在大致清楚原因
: sin(2*pi*x) 在频谱上有两点，一个是频率1Hz，一个是频率-1Hz,
: 频率1Hz 与频率-1hz (在复数平面）的相位是相差180度. 相位相差180度的正负频率叠
: 加在一起产生一个实正弦信号。
: sin(2*pi*x)=j(exp(-j*2*pi*x)-exp(j*2*pi*x))/2
: 在采样2Hz的情况下，频谱将会变成周期的，周期interval是2Hz.这样的后果会导致
: -1Hz的频谱在下一个周期变成频率是1hz，
: 因为原始频谱的-1Hz的相位跟1hz的相位相差180度，这样就会导致在1Hz上面有两个频
: 率一样，但相位相差180的两个分量，叠加在一起的后果是频谱为0，因此在时域上采样
: 也为0，不可能重构出原始信号。
|
w****z
发帖数: 107 | 14 等号为什么没问题？等号是肯定有问题的，就好像刚才我所举的例子
【在 g****t 的大作中提到】
: 对普通函数，平方可积的情况，=1/2f采样，
: 用sinc插值公式重构肯定是没问题的。
: (Theorem 1
: http://www.stanford.edu/class/ee104/shannonpaper.pdf)
: 你下头这段还是没说明白为啥对sin(t)之类的
: Fourier变换是广义函数的情况，等号不成立阿?
|
g****t
发帖数: 31659 | 15 sin(t)不是平方可积的.它的fourier函数是个distributation
或者叫广义函数.
平方可积的情况等号没问题.这也是香农论文上所处理的情况.
等号为什么没问题？等号是肯定有问题的，就好像刚才我所举的例子
【在 w****z 的大作中提到】
: 等号为什么没问题？等号是肯定有问题的，就好像刚才我所举的例子
|
n****t
发帖数: 170 | 16 这么理解吧，采样后在频域上是，原来的频谱移动整数倍Fs叠加，对我们考虑的这种情
况，有ALIASING的部分就是频率为正负Fs/2的信号成份，如果这部分信号的能量为零，
这个ALIASING没有任何影响，我们还是可以还原信号；如果能量不为零，这个ALIASING
的影响就不可以忽略为零，原信号也就不可以重构。 |
g****t
发帖数: 31659 | 17 这个解释牛.
对常规函数,某点的能量都是零,所以=1/2f的情况,sinc插值法重建信号是没
问题的.
但是exp(it)之类的函数,频域1/2f处点积分是有值的.
所以有问题.=1/2f的时候重构不了.
大牛能不能推荐一个广义函数采样定理之类文章?
俺想看看数学家怎么看这个问题的.
这么理解吧，采样后在频域上是，原来的频谱移动整数倍Fs叠加，对我们考虑的这种情
况，有ALIASING的部分就是频率为正负Fs/2的信号成份，如果这部分信号的能量为零，
这个ALIASING没有任何影响，我们还是可以还原信号；如果能量不为零，这个ALIASING
的影响就不可以忽略为零，原信号也就不可以重构。
【在 n****t 的大作中提到】
: 这么理解吧，采样后在频域上是，原来的频谱移动整数倍Fs叠加，对我们考虑的这种情
: 况，有ALIASING的部分就是频率为正负Fs/2的信号成份，如果这部分信号的能量为零，
: 这个ALIASING没有任何影响，我们还是可以还原信号；如果能量不为零，这个ALIASING
: 的影响就不可以忽略为零，原信号也就不可以重构。
|
t*******g
发帖数: 373 | 18 sin的傅里叶变换信息全在在边界上
【在 w****z 的大作中提到】
: 一个信号sin(2*pi*x), 频率是1，基于nyquist，如果采样频率是2hz，我们应该可以重
: 构sin（2*pi*x)。也就是一个周期采样两点即可
: 然而，如果我们每个周期采样两点，一点在x=0，一点在x=1/2，sin(2*pi*x) 幅度都是
: 0.好像重构不出原始的sin function。问题在哪里呢？
|
a****l
发帖数: 8211 | 19 好象理论上是用sinc重建的吧?
【在 z*****n 的大作中提到】
: 同学，reconstruction 的时候不是一点一点的瞄过去的！
: 是要乘exp(2*pi*f_i*t)的。
|
n****t
发帖数: 170 | 20 这个问题涉及到傅立叶级数的收敛，有L1和L2收敛的分别，较好的理解需要建立在分析
测度的概念上，这样才可以从严格意义上处理广义上的函数。我想在gallager的书
Principles of Digital Communication中（第四章）有很好的介绍，我比较喜欢。
ALIASING
【在 g****t 的大作中提到】
: 这个解释牛.
: 对常规函数,某点的能量都是零,所以=1/2f的情况,sinc插值法重建信号是没
: 问题的.
: 但是exp(it)之类的函数,频域1/2f处点积分是有值的.
: 所以有问题.=1/2f的时候重构不了.
: 大牛能不能推荐一个广义函数采样定理之类文章?
: 俺想看看数学家怎么看这个问题的.
:
: 这么理解吧，采样后在频域上是，原来的频谱移动整数倍Fs叠加，对我们考虑的这种情
: 况，有ALIASING的部分就是频率为正负Fs/2的信号成份，如果这部分信号的能量为零，
|
n****t
发帖数: 170 | 21 这个理解就是我想说的。
【在 w****z 的大作中提到】
: 多谢答复：
: 另外如果不大于，而是正好象我举例子上的等于，之所以在2hz的情况下，不能重构，
: 是不是因为
: 原始信号的频谱，有两点，一个peak是在1，一个peak是在-1，采样频率如果是2的话，
: peak 在1的那一点会跟，下一个周期的-1一点重合 （因为-1+2=1），但两点重合，频
: 率应该加强，之所以相互cancel，是因为+1的频谱相位，跟-1的频谱相位相差180度？
|
g****t
发帖数: 31659 | 22 谢谢推荐.
【在 n****t 的大作中提到】
: 这个问题涉及到傅立叶级数的收敛，有L1和L2收敛的分别，较好的理解需要建立在分析
: 测度的概念上，这样才可以从严格意义上处理广义上的函数。我想在gallager的书
: Principles of Digital Communication中（第四章）有很好的介绍，我比较喜欢。
:
: ALIASING
|
