b****e
发帖数: 906 | 1 假设我有一个二元函数f(x,t)，x和t都是连续变量。现将x定为自变量，t作为参量，在
连续改变t的情况下我可以得到一系列的一元函数f(x)。我想知道怎么判断这一系列的
一元函数构成一组完备基，使得所有的一元函数都可以展开在这组函数上？
同时，在有限分立空间中有如下结论，如果一个矢量和一组完备基正交，那这个矢量必
然为零矢量，是否在连续空间也有相同的结论？
这应该是泛函范畴的问题，可我没有学过它，所以可能在陈述问题时有不严格或不完全
的地方，请各位多多诲人不倦，非常感谢 | B****n
发帖数: 11290 | 2
Usually it is not an easy problem. Even for the famous Fourier series, it
needs a lot of efforts to prove the set of its basis functions is complete.
If you post the form of f(x,t), people here may have better ideas how to
prove completeness. The luckiest thing is if the set {f(x,t),t in R} can be related to some known complete basis.
Yes. If x is in a separable Hilbert space, it can be expressed as an
infinite sum of orthonormal basis functions. If it is orthogonal to any
basis function, then
【在 b****e 的大作中提到】
: 假设我有一个二元函数f(x,t)，x和t都是连续变量。现将x定为自变量，t作为参量，在
: 连续改变t的情况下我可以得到一系列的一元函数f(x)。我想知道怎么判断这一系列的
: 一元函数构成一组完备基，使得所有的一元函数都可以展开在这组函数上？
: 同时，在有限分立空间中有如下结论，如果一个矢量和一组完备基正交，那这个矢量必
: 然为零矢量，是否在连续空间也有相同的结论？
: 这应该是泛函范畴的问题，可我没有学过它，所以可能在陈述问题时有不严格或不完全
: 的地方，请各位多多诲人不倦，非常感谢
| b****e
发帖数: 906 | 3
.
be related to some known complete basis.
非常感谢您的回复。我在尝试着找能成为完备基的基本特征，所以考虑的是普遍的函数
，并没有特定的函数形式。看起来似乎这种完备性应该不难实现，只是难以证明吧，如
果采用有限空间的矢量分解，一般的矢量总是会和矢量基矢有重叠的，那种出现
collinear的情况总还是特例。
从几何上看，似乎一维空间的每一个地方都有那个连续函数族中的某一个加以特别的强
调（例如一堆的高斯，每个高斯出现的最大值的位置都不同），那么很有可能这个连续
函数族就是一维空间的完备基，只是怎么证明和数学表述呢？
同时以上说的情况太片面，譬如Fourier基矢就是在每个地方基本上相同大小，只是疏
密不同。那么，怎么将数学表述包括尽可能多的情况呢？
domain you want to prove completeness. Also, you have to specify the
functional space; for example, it only covers all the continuous functions,
or o
【在 B****n 的大作中提到】
:
: Usually it is not an easy problem. Even for the famous Fourier series, it
: needs a lot of efforts to prove the set of its basis functions is complete.
: If you post the form of f(x,t), people here may have better ideas how to
: prove completeness. The luckiest thing is if the set {f(x,t),t in R} can be related to some known complete basis.
: Yes. If x is in a separable Hilbert space, it can be expressed as an
: infinite sum of orthonormal basis functions. If it is orthogonal to any
: basis function, then
| b****e
发帖数: 906 | 4 尝试着给一个实际的例子，
K(x;w,T) = pi/w [2w coth(x/2T) - (w+x) coth((w+x)/2T) + (w-x) coth((w-x)/2T)]
where x is the 1D dimension, parameters are any w, but with T>0. |
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