v**i
发帖数: 50 | 1 请问大家：Hermite 函数定义成 d^2(y)/dx^2-2x(dy/dx)+2vy=0 的一个解 （v是正整
数时也叫Hermite 多项式），关于它的性质很多特殊函数书上都有讨论，常见的：比如
把解表示成幂级数的形式，或积分的形式，或写成其他常见的特殊函数的变换。但我想
知道
d^2(y)/dx^2+2x(dy/dx)+2vy=0 的解有没有讨论过？
我也翻过一些特殊函数的书，没摸着什么头绪...请高手指点。
(背景：我在写篇论文，里面出现了Ornstein-Ohlenbeck Process，但是我这个随机过
程不是mean-reverting, 而是 diverging的，离中心越远离心越强，所以才产生了以上
的微分方程问题） |
y*******e
发帖数: 12 | 2 合流超几何函数
Confluent Hypergeometric functions
Also knowns as Kummer functions |
y*******e
发帖数: 12 | 3 PS: Hermite 也算是一种特殊的合流超几何函数吧
你是说OU过程？有点意思。 |
R*********r
发帖数: 1855 | 4 这个不用那么复杂，直接在d^2(y)/dx^2+2x(dy/dx)+2vy=0里令y=e^(ax^2)z(x)，a为待
定系数，就可以把方程变成d^2(z)/dx^2-2x(dz/dx)+2v'z=0 |
v**i
发帖数: 50 | |
v**i
发帖数: 50 | 6 hermite 函数就可以用合流超几何函数表示出来，它们都是整函数，性质还蛮好的。我
特别喜欢合流超几何函数，幂级数新式很简单。对，我说的
就是OU过程，我在求一个OU随机过程停留在一个区间的平均时间（带贴现），所以要解
这种方程。 |
v**i
发帖数: 50 | 7 RmGladiator (Roman)：你刚才的变量替换我算了算, 你的想法还是挺好的，把 (dy/dx
)前面的符号从正号变成了负号，但是现在你的v'不再是个常数了，而是一个依赖于x的
多项式... 能不能再支个招？ 多谢 |
v**i
发帖数: 50 | 8 RmGladiator (Roman)： 你说的是对的，我刚才算错了。选a=-1就可以了，谢谢 |
R*********r
发帖数: 1855 | 9 有一点要注意，因为那个指数因子的存在，解在无穷远处有限或者趋于零这个条件总是
满足的，不会再有什么量子化条件了。 |
v**i
发帖数: 50 | 10 不好意思，你又把我说糊涂了。用H_v(z) 代表hermite 函数, v 是参数, z自变量. 当
v是负数的时候， 比如-2，e^{-z^2}H_v(Z)=e^{-z^2}H_{-2}(z), 当z逼近负无穷时，
是个无界的接近多项式的东西，它不可能收敛到0或者有限的数。(我同意当z逼近正无
穷时，H_{-2}(z) 收敛到0.)
能否解释一下? 另外量子化条件是干什么用的? 是不是物理里面的? |
v**i
发帖数: 50 | 11 不好意思，你又把我说糊涂了。用H_v(z) 代表hermite 函数, v 是参数, z自变量. 当
v是负数的时候， 比如-2，e^{-z^2}H_v(Z)=e^{-z^2}H_{-2}(z), 当z逼近负无穷时，
是个无界的接近多项式的东西，它不可能收敛到0或者有限的数。(我同意当z逼近正无
穷时，H_{-2}(z) 收敛到0.)
能否解释一下? 另外量子化条件是干什么用的? 是不是物理里面的? |
