m****a
发帖数: 2593 | 1 本科学过高等数学，概率统计，线性代数，常微分，
如果想进一步提高对现代数学概念的认识，应该看什么书呢？
《数学，它的内容，方法和意义》貌似接近我应该读的书？英文书里
有没有类似的经典？
我非常不喜欢国内当年用的教材，但是很欣赏类似龚昇的微积分五讲
一类的从更高观点来讲述基本概念的书籍，能给人醍醐灌顶之感的书。
转贴一篇文章可以描述我希望的数学教育应该是怎么样的吧。当然版上都是专业大牛，
就当是科普吧。
=========================
随记：我们需要怎样的数学教育？
icon2 This is My Life | icon4 2011-04-14 13:47| icon3276 Comments | 本文内容
遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com
注：这篇文章里有很多个人观点，带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正
确的，有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家
记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。
我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱
好者，只是比一般的爱好者更加执着，更加疯狂罢了。初中、高中一路保送，大学不在
数学专业，这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识，让我对数学有如
此浓厚的兴趣。从 05 年建立这个 Blog 以来，每看到一个惊人的结论或者美妙的证明
，我再忙都会花时间把它记录下来，生怕自己忘掉。不过，我深知，这些令人拍案叫绝
的雕虫小技其实根本谈不上数学之美，数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体
会。
我多次跟人说起，我的人生理想就是，希望有一天能学完数学中的各个分支，然后
站在一个至高点，俯瞰整个数学领域，真正体会到数学之美。但是，想要实现这一点是
很困难的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本？这就是我今天想说的—
—课本极其不靠谱。
这个我深有体会。最近两年，我一直在做初中数学培训，有了一些自己的看法。数
学教育大致分成三个阶段，看山是山看水是水，看山不是山看水不是水，看山是山看水
是水。
最早数学教育就是，教你几个定理，告诉你它们是怎么证的，再让你证明一些新的
定理。
后来的要求就变了：光学数学不够，还要用数学。数学教育已经上升了一个层次：
大家要把数学用到生活中去，解释生活中的现象。一时间，课本也好，中考题也好，全
是与生活实际紧密联系的数学应用题，仿佛放眼望去身边真的处处都是数学一样。商场
卖货，书店卖书，农民耕地，工人铺砖，再一次涌现在了课本、教辅书和考试题里。其
实，数学可以解释生活，只是我们并不会这样去做。生活的变量太多，再强大的数学模
型也不可能考虑到一切。对于平常人来说，真正能用到数学的地方，也就只有算算帐了。
总有一天，数学教育会拔高到第三层：返朴归真，数学真正牛 B 的还是它本身。
你会发现，那些伟大的数学思想，那些全新的数学理论，最初研究的动机并不是要急于
解释我们身边的某某诡异现象，而是它本身的美妙。线性代数的出现，很大程度上要归
功于神奇的 Cramer 悖论；群论的诞生，也是 Galois 研究多项式的解的结构时的产物
；Euler 创立图论，源于那个没有任何实用价值的 Königsberg 蛋疼问题；非欧
几何的出现，则完全是由于这个问题本身的魅力。微积分呢？它确实有非常广泛的实用
价值，物理学的各种定义都依赖于微积分；但很可惜，它不是一种具有颠覆性的数学思
想。
初一课本讲负数时，反复说负数的实际意义，比如海拔、得分、温度、收支等等，
把负数变成一种真实的存在。其实，这不是人们使用负数的主要动机。负数的价值在于
，它可以把减去一个数变成加上一个负数，很多加加减减复杂到甚至需要分类讨论的东
西都能够用一个式子统一在一起了。比如说小学的盈亏问题：如果每人分 3 个苹果还
多 8 个，如果每人分 5 个苹果则还多 2 个，问有多少人多少苹果？解法是，两种分
法多出来的苹果相差 6 个，这是每个人多分了两个苹果引起的，因此一共 3 个人，从
而可以算出有 17 个苹果。但是，如果把问题改成“每人分 3 个就多 8 个，每人分 5
个就少 2 个”该怎么办？上面的公式就变了，8 不能减 2，要加 2 。因此，小学讲
盈亏问题会分“盈亏”、“盈盈”、“亏亏”三种情况讨论。其实，如果把“少 2 个
”理解成“多 -2 个”，问题是一模一样的，之前的公式同样适用。负数这一新思想立
即把三种情况统一在了一起，它们的本质变得一模一样了。
这是我给初一学生讲负数时必讲的例子。这才是负数的意义。这才是课本里应该反
复举例强调的。
某次看到论坛里有人问，群论有什么意思啊？某人回复，群论很有意思啊，只是课
本把它写得没意思了，比方说，讲群论怎么能不讲魔方呢？我不赞同这个回复。数学吸
引人的地方，不在于它在生活中的应用，而在于它本身的美。为什么不讲 Lagrange 定
理？为什么不讲 Sylow 定理？对于我来说，最能吸引我学习一个数学课题的，莫过于
一系列非平凡的结论以及它的精彩证明了。
科幻小说《伤心者》的末尾列举了很多长期以来未得到实际应用的数学理论，不过
却没有说到一个更为极端的例子。数学中的皇冠——数论——2000 年来一直没有任何
实际应用，是最纯粹的数学。直到计算机，尤其是现代密码学的出现，才让数论第一次
走出数学，走进了人们的生活中。是什么在支持数论的研究呢？只能是数学本身了。
在我给初中孩子出几何题时，我都尝试着给出一般性的问题，求证三角形中两边的
平均长度大于第三边上的中线长，求证三角形三条高的倒数和等于内切圆半径的倒数，
等等。即使是纯代数问题和解析几何问题，我也总能编出题目描述简单并且极具挑战性
的问题。两数的和与积相等共有多少个整数解？把直线 y=x 沿 y=2x 翻折后得到的直
线方程是什么？在感受结论之美的同时，他们也会因自己独立解决了一个真正的数学问
题而激动。
然而，这还不算教育的主要问题。某次与一个数学专业的同学聊到 Riemann 假设
时，对方说她从没听说过 Riemann 假设。我大吃一惊，数学专业的人怎么可能不知道
Riemann 假设呢？随即明白，这也是拜数学教育所赐。翻开数学课本，总是成套的理论
体系，先定义再证明，说得头头是道。可是，这些东西都是怎么来的呢？在得出这些东
西的过程中，数学家们走了哪些弯路呢？课本上只字不提。课本里从来都只讲什么是对
的，却从来不讲什么是错的。数学考试只会让你证明一个结论，从不会让你推翻一个结
论。
2010 年江苏高考数学题因为“太难”备受争议。其中最后一道大题如下：已知 △
ABC 的三边长都是有理数，(1) 求证 cos(A) 是有理数； (2) 求证对任意正整数 n ，
cos(nA) 是有理数。其实这道题是一个非常漂亮的好题，描述简单，问题普遍，结论
有趣，证明巧妙，中考题就该这么出。不过我觉得，如果再补上这么一个小问，这道题
就真的完美了：证明或推翻， sin(A) 一定是有理数。当然，问题本身并不难，等边三
角形就是一个最简单的反例。关键在于，推翻一个结论，寻找一个反例，也是数学研究
的一个基本能力，而这是中学数学教育中很少重视的。
于是，在教初中数学时，我布置的每道作业题都无一例外地以“证明或推翻”打头
。偶尔，有些题目真的是需要学生们去推翻它。比方说，证明或推翻，周长和面积都相
等的两个三角形全等。不同的人找到的反例不一样，有的简单有的复杂，有的深刻有的
盲目。再用一整节课的时间逐一讲解并点评大家构造的反例，给孩子们带来的收获远比
直接讲题要大得多。
但是，我还没有讲到数学教育中最主要的问题。前段时间去图灵的作译者交流会，
期间和刘江老师简单地聊了几句。刘江老师提到一个网站叫做 Better Explained 。他
说，其实大家没能理解数学之妙，是因为教的时候没教好，数学本来可以讲得更直观，
更通俗的。
我非常同意刘江老师的说法。举个例子吧。如果有学生问，质数是什么？老师会说
，质数就是除了 1 和自身以外，没有其它约数的数。不对，这不是学生想要的答案。
学生真正想知道的是，质数究竟是什么？其实，质数就是不可再分的数，是组成一切自
然数的基本元素。 12 是由两个 2 和一个 3 组成的，正如 H2O 是由两个 H 原子和一
个 O 原子组成的一样。只是和化学世界不同，算术世界的元素有无穷多个。算术世界
内的一切对象、定理和方法，都是由这些基本元素组成的，这才是质数为什么那么重要
的原因。
高中学复数时，相信很多人会纳闷儿：虚数是什么？为什么要承认虚数？虚数怎么
就表示旋转了？其实，人们建立复数理论，并不是因为人们有时需要处理根号里是负数
的情况，而是因为下面这个不可抗拒的理由：如果承认虚数，那么 n 次多项式就会有
恰好 n 个根，数系一下子就如同水晶球一般的完美了。但复数并不能形象地反映在数
轴上，这不仅是因为实数在数轴上已经完备了，还有另外一个原因：没有什么几何操作
连做两次就能实现取相反数。比如，“乘以 3”就代表数轴上的点离原点的距离扩大到
原来的三倍，“3 的平方”，也就是“乘以 3 再乘以 3”，就是把上述操作连做两次
，即扩大到 9 倍。同样地，“乘以 -1”表示把点翻折到数轴另一侧，“-1 的平方”
就会把这个点又翻回来。但是，怎么在数轴上表示“乘以 i ”的操作？换句话说，什
么操作连做两次能够把 1 变成 -1 ？一个颇具革命性的创意答案便是，把这个点绕着
原点旋转 90 度。转 90 度转两次，自然就跑到数轴的另一侧了。没错，这就把数轴扩
展到了整个平面，正好解决了复数没地方表示的问题。于是，复数的乘法可以解释为缩
放加旋转，复数本身自然也就有了 z = r (cosθ + sinθi) 的表示方式。顺着这个道
理推下去，一切都顺理成章了。复数不但有了几何解释，有时还能更便捷地处理几何问
题。
一直对线性代数很感兴趣，于是大学选了线性代数这门课，结果收获几乎为零。原
因很简单，本来期待着来一次大彻大悟，结果学了一个学期，我还是不知道矩阵究竟是
什么，矩阵乘法为什么要这么定义，矩阵可逆又怎么了，行列式究竟表示什么。
直到今天看到这个网页，才看见有人一语道破线性代数的真谛（这也是我终于决定
写成此文的直接原因）。我终于找到了我那一个学期企图寻找的东西。就好像把 x 变
成 2 x 一样，我们经常需要把 (x, y) 变成 (2 x + y, x - 3 y) 之类的东西，这就
叫做线性变换。于是才想到定义矩阵乘法，用于表示一切线性变换。几何上看，把平面
上的每个点 (x, y) 都变到 (2 x + y, x - 3 y) 的位置上去，效果就相当于对这个平
面进行了一个“线性的拉扯”。
矩阵的乘法，其实就是多个线性变换叠加的效果，它显然满足结合律，但不满足交
换律。主对角线全是 1 的矩阵所对应的线性变换其实就是不变的意思，因此它叫做单
位矩阵。矩阵 A 乘以矩阵 B 得单位矩阵，就是做完线性变换 A 后再做一次线性变换
B 就又变回去了的意思，难怪我们说矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵。课本上对行列式的定
义千奇百怪，又是什么递归，又是什么逆序对，还编写口诀帮助大家记忆。其实，行列
式的真正定义就一句话：每个单位正方形在线性变换之后的面积。因此，单位矩阵的行
列式当然就为 1，某行全为 0 的行列式显然为 0 （因为某一维度会被无视掉，线性变
换会把整个平面压扁）， |A·B| 显然等于 |A|·|B| 。行列式为 0 ，对应的矩阵当
然不可逆，因为这样的线性变换已经把平面压成一条线了，什么都不能把它变回去了。
当然，更高阶的矩阵就对应了更高维的空间。一瞬间，所有东西都解释清楚了。
难以置信的是，如此令人兴奋的东西，我们所用的课本上竟然一点都没有说到！那
些开篇就讲行列式定义的课本，为什么不先把线性变换下的面积当作行列式的定义，再
推导出行列式的计算方法，再来补充说明“其实从逻辑上说，我们应该先用这个计算公
式来定义行列式，然后才说行列式可以用来表示面积”？为了严密性而牺牲了可读性，
太不值得了。写到这里，我真想立即拾起线性代数课本，用全新的眼光重看所有的定义
和定理，然后重新写一份真正的线性代数教材来。
高数课本同样荒唐。主流的高数课本都是先讲导数，再讲不定积分，再讲定积分，
完全把顺序弄颠倒了。好多人学完微积分，虽然已经用得得心应手，但仍然没懂这是怎
么回事。究其原因，还是数学教学的问题。
我理想中的微积分课本则应该是先讲定积分，再讲导数，再讲不定积分。先讲定积
分，不过千万不能用现在的定积分符号，避免学生误认为定积分是由不定积分发展而来
的。讲自古就有的积分思想，讲分割求和取极限的方法，自创一套定积分的符号。然后
另起炉灶，开始讲微分，讲无穷小，讲变化量。最后才讲到，随着 x 一点一点的增加
，曲线下方面积的变化量就是那一条条竖线的高度——不就是这个曲线本身的函数值吗
？因此，反过来，为了求出一个函数对应的曲线下方的面积，只需要找到一个新函数，
使得它的微分正好就是原来那个函数。啪，微积分诞生了。
光讲形式化的推导沒有用。这才是真正把微积分讲懂的方式。严格定义和严格证明
应该放到直观理解之后。只可惜，我还没看到哪本课本是这样写的。
说了这么多，其实总结起来只有一句话：我们学习数学的过程，应该和人类认识数
学的过程一样。我们应该按照数学发展历史的顺序学习数学。我们应该从古人计数开始
学起，学到算术和几何，学到坐标系和微积分，了解每个数学分支创立的动机，以及这
个分支曲折的发展历程。我们应该体会数学发展的每个瓶颈，体会每个全新理论的伟大
之处，体会每一次数学危机让数学家们手忙脚乱的感觉，体会先有直观思维再给出形式
化描述的艰难。
可惜，我没有找到任何用这种方式学习数学的途径。
不过也好。既然没有捷径，那就让我自己把那堆形式化的定义和证明通看一遍，然
后自己去体会其中的道理吧。这样看来，我们的教育也没错：先用考试逼着大家把该学
的东西都学了，尽管自己也不知道自己学的是啥；等将来的某一天达到一定高度时，回
头看看过去学的东西，突然恍然大悟，明白了当初学的究竟是什么。这无疑是一件更有
乐趣的事情。我希望有一天能像今天这样，能悟出高等代数究竟在讲什么，能悟出范畴
论到底有什么用，能悟出 Riemann 假设为何如此牛 B，能悟出 Hilbert 空间是什么东
西，然后把它们都写下来。
这恐怕得花我大半辈子的时间吧。 |
t*****n
发帖数: 1589 | 2 找个好学校念四年本科，忘掉你学过的那些所谓工科的高等数学。不重新从real
analysis学起就没有意义 |
l********e
发帖数: 3632 | 3 既然你学过微积分，建议你看看《陈省身微积分讲义》
百度上收一下就有。这是陈先生2001年在南开给本科生讲微积分的讲义，网上不知道有
没有视频。里面讲了很多想法和历史，很有意思。应该可以给你微积分一个全新的认识
。后面还有些初等的微分几何内容，很有意思。
【在 m****a 的大作中提到】
: 本科学过高等数学，概率统计，线性代数，常微分，
: 如果想进一步提高对现代数学概念的认识，应该看什么书呢？
: 《数学，它的内容，方法和意义》貌似接近我应该读的书？英文书里
: 有没有类似的经典？
: 我非常不喜欢国内当年用的教材，但是很欣赏类似龚昇的微积分五讲
: 一类的从更高观点来讲述基本概念的书籍，能给人醍醐灌顶之感的书。
: 转贴一篇文章可以描述我希望的数学教育应该是怎么样的吧。当然版上都是专业大牛，
: 就当是科普吧。
: =========================
: 随记：我们需要怎样的数学教育？
|
m****a
发帖数: 2593 | 4 这恐怕是不可能了，我感兴趣的是那些重要的思想，这篇文章讲的我觉得
对我的胃口。
http://blog.sciencenet.cn/blog-4909-243368.html
“不过，准备在工科专业领域内做深入研究的学生们应当花一点时间读一点最基础的数
学。除了工科大学已经教过的高等数学等课程外，可以读一点实分析和近世代数的入门
知识。了解一点关于集合、测度、连续统、Lebesgue积分，以及初等数论、群这些基本
概念。学习这些基本知识不需要太多的时间，而对进一步学习数学理论很有必要。对于
更深入广泛的数学知识，不妨先采用“浏览学习法”：试着读一读，不太懂不要紧，但
要求快一些，多一些。“浏览学习法”的目的是了解数学涉及的各个方面，为将来深入
学习提供线索。不要小看那些似懂非懂的线索。如果你积累了较丰富的线索，它们会扩
展你的思路，在需要的时候引导你较快地了解必须深入准备的基础。缺乏线索，脑子里
要么一片空白，要么产生一些不切实际的空想，自然难以作研究工作。”
"工科学生可以发挥自己在形象思维方面的长处去理解数学。如果这样，你或许会发现
数学中的若干知识不仅有趣，而且有用。这里说一说几个常见的例子。
―― 正交性。这是布满了数学和物理书籍的基本知识。为什么正交函数会如此广泛地
受到重视？从数学的角度看到的是基，用它来描述函数空间中任何一个元具有唯一性和
可逆性；可以联系映射的定义域和值域，从而研究解乃至求得解。从应用的角度看到的
是一种基本工具或方法，可以使得例如函数变换、函数逼近、数据压缩、数学物理问题
的求解等问题变得容易处理和易于理解。与正交性相联系的自然是非正交性。非正交性
也很有用。例如用非正交基（标架）表示信号可以灵活地具有某些特别的性质。这种表
示带有一定冗余，但有一定抗损能力。
描述空间正交性最基本的数学原理是什么？合理的回答应该是Cauchy－Riemann方程。
由此才有保角变换、Laplace方程、调和函数、Poisson方程等等。空间正交性对数学物
理问题的研究者太有用了。有了这个直观概念，就容易理解和猜测例如流体力学、引力
场、电磁场等等领域中边值问题的解的形式。例如波导中特别是在不规则波导中电磁波
存在的模式、模式变化这些问题可以根据正交性来猜测和解释，因为电场分量必定垂直
于波导壁，而磁场分量必须平行于波导壁。
―― 无源性。讨论无源性的数学家不多，但对于物理和工程，无源性非常重要。空间
无源性隐含在解析函数的Cauchy积分定理中。事实上，例如用有限元方法处理大型力学
计算问题时人们观察到，求解方程的矩阵一般是主对角优势的，这和求解一个无源电阻
网络时观察到的现象相一致。其内因就是无源性，它保证了解的数值稳定性和迭代求解
方法的快速收敛。在电路理论中证实，一类特别的解析函数称为正实函数作为驱动阻抗
，是无源网络可综合的充分必要条件。进而，无源而且无损的网络在电子工程设计上非
常有用。因为例如无源无损滤波器的特性随元件参数变化的敏感度底，适合于工业生产
。现代数字滤波器包括通信滤波器组的理论和设计都要应用和发展这些概念。
―― 最大熵和最小熵。熵是热物理学中最先引入的概念，用它表示能量在系统中分布
的均匀程度，同时也表示热和温度的关系。一个系统达到了热平衡，或达到了能量的均
匀分布，则系统的熵达到最大。在通信领域中熵被用来作为信息的度量，表示平均信息
量。如果熵最大，表明信源的不确定性最大，被传送的信号寄载的信息自然就最多。在
信息处理、信号估计，包括图像处理应用中，熵的概念被借用来表示对解的先验限制：
最大熵限制表示解在数值分布上应该有一定的均匀性或平滑性；而最小熵限制表示解应
该很不平滑，如同若干孤立点那样。这两种情况在应用中都可能出现。例如在若干反演
问题中（如信号重建、复原、去噪、估计等），为了抑制噪声，可以将最大熵作为对解
的附加限制。在另外的情况下，例如希望的解是点状的星云，或者是如同若干孤立噪声
那样的岩层反射序列，或者是只含一个非零元的理想信道，对这些情况就可以附加最小
熵限制。注意我们这里使用的“概念被借用”说法。其实这是研究中的常用方法。如果
你的视野广些，积累多些，就有可借用的机会。
―― 距离和相似性。距离这个概念在数学中太重要了，它是定义度量空间的第一
要素。有了距离，才好讨论度量空间中元和元之间的相互关系，才好讨论按距离的收敛
性。有多种距离的具体形式适合于研究不同的数学问题。典型的例子有用函数差值上界
定义的距离（一致收敛距离）和按函数差值平方积分定义的距离（均方收敛距离）。典
型地，许多问题需要通过最优化一个泛函指标来表达，这个指标就是距离。工科研究者
十分关注距离的一个直观含义：函数的相似性度量。自然地，用距离描述的相似性是很
窄的一类相似性。即使是这样， 它的应用已经遍及物理和工程的许多领域。与电子信
息领域相关的应用例子有信号（图像）重建、恢复、估计等等。两个随机变量的在统计
上是否相关或独立，或者它们的统计特性是否相似，为检验这些问题在统计学中引入了
Kullback-Leibler型距离和Bhattacharyya距离（或称为差离度，divergence）。这些
距离不满足三角不等式，称为广义距离。它们在统计模式分析、目标识别和分类、图像
分割和配准等方面已经有重要应用。在工程研究中你可以利用手头掌握的数学不等式，
定义新的距离或广义距离，它或许有某种特别的性质。"
【在 t*****n 的大作中提到】
: 找个好学校念四年本科，忘掉你学过的那些所谓工科的高等数学。不重新从real
: analysis学起就没有意义
|
m****a
发帖数: 2593 | 5 刚下了，多谢。
【在 l********e 的大作中提到】
: 既然你学过微积分，建议你看看《陈省身微积分讲义》
: 百度上收一下就有。这是陈先生2001年在南开给本科生讲微积分的讲义，网上不知道有
: 没有视频。里面讲了很多想法和历史，很有意思。应该可以给你微积分一个全新的认识
: 。后面还有些初等的微分几何内容，很有意思。
|
g*****o
发帖数: 812 | 6 我觉得你举得例子, 恰好都是数学在工科上的应用啊, 所以不知道你想要的到底是什么
.
我觉得看故事不如看定义和推算, 我想实变函数, 泛函分析, 离散数学的课本应该能满
足你吧.
【在 m****a 的大作中提到】
: 这恐怕是不可能了，我感兴趣的是那些重要的思想，这篇文章讲的我觉得
: 对我的胃口。
: http://blog.sciencenet.cn/blog-4909-243368.html
: “不过，准备在工科专业领域内做深入研究的学生们应当花一点时间读一点最基础的数
: 学。除了工科大学已经教过的高等数学等课程外，可以读一点实分析和近世代数的入门
: 知识。了解一点关于集合、测度、连续统、Lebesgue积分，以及初等数论、群这些基本
: 概念。学习这些基本知识不需要太多的时间，而对进一步学习数学理论很有必要。对于
: 更深入广泛的数学知识，不妨先采用“浏览学习法”：试着读一读，不太懂不要紧，但
: 要求快一些，多一些。“浏览学习法”的目的是了解数学涉及的各个方面，为将来深入
: 学习提供线索。不要小看那些似懂非懂的线索。如果你积累了较丰富的线索，它们会扩
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m****a
发帖数: 2593 | 7 本科学过高等数学，概率统计，线性代数，常微分，
如果想进一步提高对现代数学概念的认识，应该看什么书呢？
《数学，它的内容，方法和意义》貌似接近我应该读的书？英文书里
有没有类似的经典？
我非常不喜欢国内当年用的教材，但是很欣赏类似龚昇的微积分五讲
一类的从更高观点来讲述基本概念的书籍，能给人醍醐灌顶之感的书。
转贴一篇文章可以描述我希望的数学教育应该是怎么样的吧。当然版上都是专业大牛，
就当是科普吧。
=========================
随记：我们需要怎样的数学教育？
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遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com
注：这篇文章里有很多个人观点，带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正
确的，有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家
记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。
我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱
好者，只是比一般的爱好者更加执着，更加疯狂罢了。初中、高中一路保送，大学不在
数学专业，这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识，让我对数学有如
此浓厚的兴趣。从 05 年建立这个 Blog 以来，每看到一个惊人的结论或者美妙的证明
，我再忙都会花时间把它记录下来，生怕自己忘掉。不过，我深知，这些令人拍案叫绝
的雕虫小技其实根本谈不上数学之美，数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体
会。
我多次跟人说起，我的人生理想就是，希望有一天能学完数学中的各个分支，然后
站在一个至高点，俯瞰整个数学领域，真正体会到数学之美。但是，想要实现这一点是
很困难的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本？这就是我今天想说的—
—课本极其不靠谱。
这个我深有体会。最近两年，我一直在做初中数学培训，有了一些自己的看法。数
学教育大致分成三个阶段，看山是山看水是水，看山不是山看水不是水，看山是山看水
是水。
最早数学教育就是，教你几个定理，告诉你它们是怎么证的，再让你证明一些新的
定理。
后来的要求就变了：光学数学不够，还要用数学。数学教育已经上升了一个层次：
大家要把数学用到生活中去，解释生活中的现象。一时间，课本也好，中考题也好，全
是与生活实际紧密联系的数学应用题，仿佛放眼望去身边真的处处都是数学一样。商场
卖货，书店卖书，农民耕地，工人铺砖，再一次涌现在了课本、教辅书和考试题里。其
实，数学可以解释生活，只是我们并不会这样去做。生活的变量太多，再强大的数学模
型也不可能考虑到一切。对于平常人来说，真正能用到数学的地方，也就只有算算帐了。
总有一天，数学教育会拔高到第三层：返朴归真，数学真正牛 B 的还是它本身。
你会发现，那些伟大的数学思想，那些全新的数学理论，最初研究的动机并不是要急于
解释我们身边的某某诡异现象，而是它本身的美妙。线性代数的出现，很大程度上要归
功于神奇的 Cramer 悖论；群论的诞生，也是 Galois 研究多项式的解的结构时的产物
；Euler 创立图论，源于那个没有任何实用价值的 Königsberg 蛋疼问题；非欧
几何的出现，则完全是由于这个问题本身的魅力。微积分呢？它确实有非常广泛的实用
价值，物理学的各种定义都依赖于微积分；但很可惜，它不是一种具有颠覆性的数学思
想。
初一课本讲负数时，反复说负数的实际意义，比如海拔、得分、温度、收支等等，
把负数变成一种真实的存在。其实，这不是人们使用负数的主要动机。负数的价值在于
，它可以把减去一个数变成加上一个负数，很多加加减减复杂到甚至需要分类讨论的东
西都能够用一个式子统一在一起了。比如说小学的盈亏问题：如果每人分 3 个苹果还
多 8 个，如果每人分 5 个苹果则还多 2 个，问有多少人多少苹果？解法是，两种分
法多出来的苹果相差 6 个，这是每个人多分了两个苹果引起的，因此一共 3 个人，从
而可以算出有 17 个苹果。但是，如果把问题改成“每人分 3 个就多 8 个，每人分 5
个就少 2 个”该怎么办？上面的公式就变了，8 不能减 2，要加 2 。因此，小学讲
盈亏问题会分“盈亏”、“盈盈”、“亏亏”三种情况讨论。其实，如果把“少 2 个
”理解成“多 -2 个”，问题是一模一样的，之前的公式同样适用。负数这一新思想立
即把三种情况统一在了一起，它们的本质变得一模一样了。
这是我给初一学生讲负数时必讲的例子。这才是负数的意义。这才是课本里应该反
复举例强调的。
某次看到论坛里有人问，群论有什么意思啊？某人回复，群论很有意思啊，只是课
本把它写得没意思了，比方说，讲群论怎么能不讲魔方呢？我不赞同这个回复。数学吸
引人的地方，不在于它在生活中的应用，而在于它本身的美。为什么不讲 Lagrange 定
理？为什么不讲 Sylow 定理？对于我来说，最能吸引我学习一个数学课题的，莫过于
一系列非平凡的结论以及它的精彩证明了。
科幻小说《伤心者》的末尾列举了很多长期以来未得到实际应用的数学理论，不过
却没有说到一个更为极端的例子。数学中的皇冠——数论——2000 年来一直没有任何
实际应用，是最纯粹的数学。直到计算机，尤其是现代密码学的出现，才让数论第一次
走出数学，走进了人们的生活中。是什么在支持数论的研究呢？只能是数学本身了。
在我给初中孩子出几何题时，我都尝试着给出一般性的问题，求证三角形中两边的
平均长度大于第三边上的中线长，求证三角形三条高的倒数和等于内切圆半径的倒数，
等等。即使是纯代数问题和解析几何问题，我也总能编出题目描述简单并且极具挑战性
的问题。两数的和与积相等共有多少个整数解？把直线 y=x 沿 y=2x 翻折后得到的直
线方程是什么？在感受结论之美的同时，他们也会因自己独立解决了一个真正的数学问
题而激动。
然而，这还不算教育的主要问题。某次与一个数学专业的同学聊到 Riemann 假设
时，对方说她从没听说过 Riemann 假设。我大吃一惊，数学专业的人怎么可能不知道
Riemann 假设呢？随即明白，这也是拜数学教育所赐。翻开数学课本，总是成套的理论
体系，先定义再证明，说得头头是道。可是，这些东西都是怎么来的呢？在得出这些东
西的过程中，数学家们走了哪些弯路呢？课本上只字不提。课本里从来都只讲什么是对
的，却从来不讲什么是错的。数学考试只会让你证明一个结论，从不会让你推翻一个结
论。
2010 年江苏高考数学题因为“太难”备受争议。其中最后一道大题如下：已知 △
ABC 的三边长都是有理数，(1) 求证 cos(A) 是有理数； (2) 求证对任意正整数 n ，
cos(nA) 是有理数。其实这道题是一个非常漂亮的好题，描述简单，问题普遍，结论
有趣，证明巧妙，中考题就该这么出。不过我觉得，如果再补上这么一个小问，这道题
就真的完美了：证明或推翻， sin(A) 一定是有理数。当然，问题本身并不难，等边三
角形就是一个最简单的反例。关键在于，推翻一个结论，寻找一个反例，也是数学研究
的一个基本能力，而这是中学数学教育中很少重视的。
于是，在教初中数学时，我布置的每道作业题都无一例外地以“证明或推翻”打头
。偶尔，有些题目真的是需要学生们去推翻它。比方说，证明或推翻，周长和面积都相
等的两个三角形全等。不同的人找到的反例不一样，有的简单有的复杂，有的深刻有的
盲目。再用一整节课的时间逐一讲解并点评大家构造的反例，给孩子们带来的收获远比
直接讲题要大得多。
但是，我还没有讲到数学教育中最主要的问题。前段时间去图灵的作译者交流会，
期间和刘江老师简单地聊了几句。刘江老师提到一个网站叫做 Better Explained 。他
说，其实大家没能理解数学之妙，是因为教的时候没教好，数学本来可以讲得更直观，
更通俗的。
我非常同意刘江老师的说法。举个例子吧。如果有学生问，质数是什么？老师会说
，质数就是除了 1 和自身以外，没有其它约数的数。不对，这不是学生想要的答案。
学生真正想知道的是，质数究竟是什么？其实，质数就是不可再分的数，是组成一切自
然数的基本元素。 12 是由两个 2 和一个 3 组成的，正如 H2O 是由两个 H 原子和一
个 O 原子组成的一样。只是和化学世界不同，算术世界的元素有无穷多个。算术世界
内的一切对象、定理和方法，都是由这些基本元素组成的，这才是质数为什么那么重要
的原因。
高中学复数时，相信很多人会纳闷儿：虚数是什么？为什么要承认虚数？虚数怎么
就表示旋转了？其实，人们建立复数理论，并不是因为人们有时需要处理根号里是负数
的情况，而是因为下面这个不可抗拒的理由：如果承认虚数，那么 n 次多项式就会有
恰好 n 个根，数系一下子就如同水晶球一般的完美了。但复数并不能形象地反映在数
轴上，这不仅是因为实数在数轴上已经完备了，还有另外一个原因：没有什么几何操作
连做两次就能实现取相反数。比如，“乘以 3”就代表数轴上的点离原点的距离扩大到
原来的三倍，“3 的平方”，也就是“乘以 3 再乘以 3”，就是把上述操作连做两次
，即扩大到 9 倍。同样地，“乘以 -1”表示把点翻折到数轴另一侧，“-1 的平方”
就会把这个点又翻回来。但是，怎么在数轴上表示“乘以 i ”的操作？换句话说，什
么操作连做两次能够把 1 变成 -1 ？一个颇具革命性的创意答案便是，把这个点绕着
原点旋转 90 度。转 90 度转两次，自然就跑到数轴的另一侧了。没错，这就把数轴扩
展到了整个平面，正好解决了复数没地方表示的问题。于是，复数的乘法可以解释为缩
放加旋转，复数本身自然也就有了 z = r (cosθ + sinθi) 的表示方式。顺着这个道
理推下去，一切都顺理成章了。复数不但有了几何解释，有时还能更便捷地处理几何问
题。
一直对线性代数很感兴趣，于是大学选了线性代数这门课，结果收获几乎为零。原
因很简单，本来期待着来一次大彻大悟，结果学了一个学期，我还是不知道矩阵究竟是
什么，矩阵乘法为什么要这么定义，矩阵可逆又怎么了，行列式究竟表示什么。
直到今天看到这个网页，才看见有人一语道破线性代数的真谛（这也是我终于决定
写成此文的直接原因）。我终于找到了我那一个学期企图寻找的东西。就好像把 x 变
成 2 x 一样，我们经常需要把 (x, y) 变成 (2 x + y, x - 3 y) 之类的东西，这就
叫做线性变换。于是才想到定义矩阵乘法，用于表示一切线性变换。几何上看，把平面
上的每个点 (x, y) 都变到 (2 x + y, x - 3 y) 的位置上去，效果就相当于对这个平
面进行了一个“线性的拉扯”。
矩阵的乘法，其实就是多个线性变换叠加的效果，它显然满足结合律，但不满足交
换律。主对角线全是 1 的矩阵所对应的线性变换其实就是不变的意思，因此它叫做单
位矩阵。矩阵 A 乘以矩阵 B 得单位矩阵，就是做完线性变换 A 后再做一次线性变换
B 就又变回去了的意思，难怪我们说矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵。课本上对行列式的定
义千奇百怪，又是什么递归，又是什么逆序对，还编写口诀帮助大家记忆。其实，行列
式的真正定义就一句话：每个单位正方形在线性变换之后的面积。因此，单位矩阵的行
列式当然就为 1，某行全为 0 的行列式显然为 0 （因为某一维度会被无视掉，线性变
换会把整个平面压扁）， |A·B| 显然等于 |A|·|B| 。行列式为 0 ，对应的矩阵当
然不可逆，因为这样的线性变换已经把平面压成一条线了，什么都不能把它变回去了。
当然，更高阶的矩阵就对应了更高维的空间。一瞬间，所有东西都解释清楚了。
难以置信的是，如此令人兴奋的东西，我们所用的课本上竟然一点都没有说到！那
些开篇就讲行列式定义的课本，为什么不先把线性变换下的面积当作行列式的定义，再
推导出行列式的计算方法，再来补充说明“其实从逻辑上说，我们应该先用这个计算公
式来定义行列式，然后才说行列式可以用来表示面积”？为了严密性而牺牲了可读性，
太不值得了。写到这里，我真想立即拾起线性代数课本，用全新的眼光重看所有的定义
和定理，然后重新写一份真正的线性代数教材来。
高数课本同样荒唐。主流的高数课本都是先讲导数，再讲不定积分，再讲定积分，
完全把顺序弄颠倒了。好多人学完微积分，虽然已经用得得心应手，但仍然没懂这是怎
么回事。究其原因，还是数学教学的问题。
我理想中的微积分课本则应该是先讲定积分，再讲导数，再讲不定积分。先讲定积
分，不过千万不能用现在的定积分符号，避免学生误认为定积分是由不定积分发展而来
的。讲自古就有的积分思想，讲分割求和取极限的方法，自创一套定积分的符号。然后
另起炉灶，开始讲微分，讲无穷小，讲变化量。最后才讲到，随着 x 一点一点的增加
，曲线下方面积的变化量就是那一条条竖线的高度——不就是这个曲线本身的函数值吗
？因此，反过来，为了求出一个函数对应的曲线下方的面积，只需要找到一个新函数，
使得它的微分正好就是原来那个函数。啪，微积分诞生了。
光讲形式化的推导沒有用。这才是真正把微积分讲懂的方式。严格定义和严格证明
应该放到直观理解之后。只可惜，我还没看到哪本课本是这样写的。
说了这么多，其实总结起来只有一句话：我们学习数学的过程，应该和人类认识数
学的过程一样。我们应该按照数学发展历史的顺序学习数学。我们应该从古人计数开始
学起，学到算术和几何，学到坐标系和微积分，了解每个数学分支创立的动机，以及这
个分支曲折的发展历程。我们应该体会数学发展的每个瓶颈，体会每个全新理论的伟大
之处，体会每一次数学危机让数学家们手忙脚乱的感觉，体会先有直观思维再给出形式
化描述的艰难。
可惜，我没有找到任何用这种方式学习数学的途径。
不过也好。既然没有捷径，那就让我自己把那堆形式化的定义和证明通看一遍，然
后自己去体会其中的道理吧。这样看来，我们的教育也没错：先用考试逼着大家把该学
的东西都学了，尽管自己也不知道自己学的是啥；等将来的某一天达到一定高度时，回
头看看过去学的东西，突然恍然大悟，明白了当初学的究竟是什么。这无疑是一件更有
乐趣的事情。我希望有一天能像今天这样，能悟出高等代数究竟在讲什么，能悟出范畴
论到底有什么用，能悟出 Riemann 假设为何如此牛 B，能悟出 Hilbert 空间是什么东
西，然后把它们都写下来。
这恐怕得花我大半辈子的时间吧。 |
t*****n
发帖数: 1589 | 8 找个好学校念四年本科，忘掉你学过的那些所谓工科的高等数学。不重新从real
analysis学起就没有意义 |
l********e
发帖数: 3632 | 9 既然你学过微积分，建议你看看《陈省身微积分讲义》
百度上收一下就有。这是陈先生2001年在南开给本科生讲微积分的讲义，网上不知道有
没有视频。里面讲了很多想法和历史，很有意思。应该可以给你微积分一个全新的认识
。后面还有些初等的微分几何内容，很有意思。
【在 m****a 的大作中提到】
: 本科学过高等数学，概率统计，线性代数，常微分，
: 如果想进一步提高对现代数学概念的认识，应该看什么书呢？
: 《数学，它的内容，方法和意义》貌似接近我应该读的书？英文书里
: 有没有类似的经典？
: 我非常不喜欢国内当年用的教材，但是很欣赏类似龚昇的微积分五讲
: 一类的从更高观点来讲述基本概念的书籍，能给人醍醐灌顶之感的书。
: 转贴一篇文章可以描述我希望的数学教育应该是怎么样的吧。当然版上都是专业大牛，
: 就当是科普吧。
: =========================
: 随记：我们需要怎样的数学教育？
|
m****a
发帖数: 2593 | 10 这恐怕是不可能了，我感兴趣的是那些重要的思想，这篇文章讲的我觉得
对我的胃口。
http://blog.sciencenet.cn/blog-4909-243368.html
“不过，准备在工科专业领域内做深入研究的学生们应当花一点时间读一点最基础的数
学。除了工科大学已经教过的高等数学等课程外，可以读一点实分析和近世代数的入门
知识。了解一点关于集合、测度、连续统、Lebesgue积分，以及初等数论、群这些基本
概念。学习这些基本知识不需要太多的时间，而对进一步学习数学理论很有必要。对于
更深入广泛的数学知识，不妨先采用“浏览学习法”：试着读一读，不太懂不要紧，但
要求快一些，多一些。“浏览学习法”的目的是了解数学涉及的各个方面，为将来深入
学习提供线索。不要小看那些似懂非懂的线索。如果你积累了较丰富的线索，它们会扩
展你的思路，在需要的时候引导你较快地了解必须深入准备的基础。缺乏线索，脑子里
要么一片空白，要么产生一些不切实际的空想，自然难以作研究工作。”
"工科学生可以发挥自己在形象思维方面的长处去理解数学。如果这样，你或许会发现
数学中的若干知识不仅有趣，而且有用。这里说一说几个常见的例子。
―― 正交性。这是布满了数学和物理书籍的基本知识。为什么正交函数会如此广泛地
受到重视？从数学的角度看到的是基，用它来描述函数空间中任何一个元具有唯一性和
可逆性；可以联系映射的定义域和值域，从而研究解乃至求得解。从应用的角度看到的
是一种基本工具或方法，可以使得例如函数变换、函数逼近、数据压缩、数学物理问题
的求解等问题变得容易处理和易于理解。与正交性相联系的自然是非正交性。非正交性
也很有用。例如用非正交基（标架）表示信号可以灵活地具有某些特别的性质。这种表
示带有一定冗余，但有一定抗损能力。
描述空间正交性最基本的数学原理是什么？合理的回答应该是Cauchy－Riemann方程。
由此才有保角变换、Laplace方程、调和函数、Poisson方程等等。空间正交性对数学物
理问题的研究者太有用了。有了这个直观概念，就容易理解和猜测例如流体力学、引力
场、电磁场等等领域中边值问题的解的形式。例如波导中特别是在不规则波导中电磁波
存在的模式、模式变化这些问题可以根据正交性来猜测和解释，因为电场分量必定垂直
于波导壁，而磁场分量必须平行于波导壁。
―― 无源性。讨论无源性的数学家不多，但对于物理和工程，无源性非常重要。空间
无源性隐含在解析函数的Cauchy积分定理中。事实上，例如用有限元方法处理大型力学
计算问题时人们观察到，求解方程的矩阵一般是主对角优势的，这和求解一个无源电阻
网络时观察到的现象相一致。其内因就是无源性，它保证了解的数值稳定性和迭代求解
方法的快速收敛。在电路理论中证实，一类特别的解析函数称为正实函数作为驱动阻抗
，是无源网络可综合的充分必要条件。进而，无源而且无损的网络在电子工程设计上非
常有用。因为例如无源无损滤波器的特性随元件参数变化的敏感度底，适合于工业生产
。现代数字滤波器包括通信滤波器组的理论和设计都要应用和发展这些概念。
―― 最大熵和最小熵。熵是热物理学中最先引入的概念，用它表示能量在系统中分布
的均匀程度，同时也表示热和温度的关系。一个系统达到了热平衡，或达到了能量的均
匀分布，则系统的熵达到最大。在通信领域中熵被用来作为信息的度量，表示平均信息
量。如果熵最大，表明信源的不确定性最大，被传送的信号寄载的信息自然就最多。在
信息处理、信号估计，包括图像处理应用中，熵的概念被借用来表示对解的先验限制：
最大熵限制表示解在数值分布上应该有一定的均匀性或平滑性；而最小熵限制表示解应
该很不平滑，如同若干孤立点那样。这两种情况在应用中都可能出现。例如在若干反演
问题中（如信号重建、复原、去噪、估计等），为了抑制噪声，可以将最大熵作为对解
的附加限制。在另外的情况下，例如希望的解是点状的星云，或者是如同若干孤立噪声
那样的岩层反射序列，或者是只含一个非零元的理想信道，对这些情况就可以附加最小
熵限制。注意我们这里使用的“概念被借用”说法。其实这是研究中的常用方法。如果
你的视野广些，积累多些，就有可借用的机会。
―― 距离和相似性。距离这个概念在数学中太重要了，它是定义度量空间的第一
要素。有了距离，才好讨论度量空间中元和元之间的相互关系，才好讨论按距离的收敛
性。有多种距离的具体形式适合于研究不同的数学问题。典型的例子有用函数差值上界
定义的距离（一致收敛距离）和按函数差值平方积分定义的距离（均方收敛距离）。典
型地，许多问题需要通过最优化一个泛函指标来表达，这个指标就是距离。工科研究者
十分关注距离的一个直观含义：函数的相似性度量。自然地，用距离描述的相似性是很
窄的一类相似性。即使是这样， 它的应用已经遍及物理和工程的许多领域。与电子信
息领域相关的应用例子有信号（图像）重建、恢复、估计等等。两个随机变量的在统计
上是否相关或独立，或者它们的统计特性是否相似，为检验这些问题在统计学中引入了
Kullback-Leibler型距离和Bhattacharyya距离（或称为差离度，divergence）。这些
距离不满足三角不等式，称为广义距离。它们在统计模式分析、目标识别和分类、图像
分割和配准等方面已经有重要应用。在工程研究中你可以利用手头掌握的数学不等式，
定义新的距离或广义距离，它或许有某种特别的性质。"
【在 t*****n 的大作中提到】
: 找个好学校念四年本科，忘掉你学过的那些所谓工科的高等数学。不重新从real
: analysis学起就没有意义
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m****a
发帖数: 2593 | 11 刚下了，多谢。
【在 l********e 的大作中提到】
: 既然你学过微积分，建议你看看《陈省身微积分讲义》
: 百度上收一下就有。这是陈先生2001年在南开给本科生讲微积分的讲义，网上不知道有
: 没有视频。里面讲了很多想法和历史，很有意思。应该可以给你微积分一个全新的认识
: 。后面还有些初等的微分几何内容，很有意思。
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g*****o
发帖数: 812 | 12 我觉得你举得例子, 恰好都是数学在工科上的应用啊, 所以不知道你想要的到底是什么
.
我觉得看故事不如看定义和推算, 我想实变函数, 泛函分析, 离散数学的课本应该能满
足你吧.
【在 m****a 的大作中提到】
: 这恐怕是不可能了，我感兴趣的是那些重要的思想，这篇文章讲的我觉得
: 对我的胃口。
: http://blog.sciencenet.cn/blog-4909-243368.html
: “不过，准备在工科专业领域内做深入研究的学生们应当花一点时间读一点最基础的数
: 学。除了工科大学已经教过的高等数学等课程外，可以读一点实分析和近世代数的入门
: 知识。了解一点关于集合、测度、连续统、Lebesgue积分，以及初等数论、群这些基本
: 概念。学习这些基本知识不需要太多的时间，而对进一步学习数学理论很有必要。对于
: 更深入广泛的数学知识，不妨先采用“浏览学习法”：试着读一读，不太懂不要紧，但
: 要求快一些，多一些。“浏览学习法”的目的是了解数学涉及的各个方面，为将来深入
: 学习提供线索。不要小看那些似懂非懂的线索。如果你积累了较丰富的线索，它们会扩
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m****a
发帖数: 2593 | 13 我感兴趣的是概念背后的实际意义，（大侠们暂缓拍砖，我有自知之明，不是
那种对应用没兴趣天生适合学纯数学的料，版上这种高人估计一抓一大把）。对于我等
俗人来说，直观通俗的形象思维+工程应用还是很重要，帮助理解概念，提升兴趣。
前面推荐的陈省身微积分讲义和龚昇的微积分五讲类似，确是大师之作，有高屋建瓴的
风范，不知道其他数学分支有类似的著作没有？
另外听说美国的数学教材写的比较好，有没有推荐的？
自己对国内过去用的教材很反感，凭空扔来几个定理，讲一堆枯燥的证明，花了一堆时
间也不知道这东西是怎么来的，有什么用。
【在 g*****o 的大作中提到】
: 我觉得你举得例子, 恰好都是数学在工科上的应用啊, 所以不知道你想要的到底是什么
: .
: 我觉得看故事不如看定义和推算, 我想实变函数, 泛函分析, 离散数学的课本应该能满
: 足你吧.
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r*g
发帖数: 3159 | 14 Road to reality by penrose
【在 m****a 的大作中提到】
: 我感兴趣的是概念背后的实际意义，（大侠们暂缓拍砖，我有自知之明，不是
: 那种对应用没兴趣天生适合学纯数学的料，版上这种高人估计一抓一大把）。对于我等
: 俗人来说，直观通俗的形象思维+工程应用还是很重要，帮助理解概念，提升兴趣。
: 前面推荐的陈省身微积分讲义和龚昇的微积分五讲类似，确是大师之作，有高屋建瓴的
: 风范，不知道其他数学分支有类似的著作没有？
: 另外听说美国的数学教材写的比较好，有没有推荐的？
: 自己对国内过去用的教材很反感，凭空扔来几个定理，讲一堆枯燥的证明，花了一堆时
: 间也不知道这东西是怎么来的，有什么用。
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s*****V
发帖数: 21731 | 15 罗杰彭罗斯的书更像是物理的科普
【在 r*g 的大作中提到】
: Road to reality by penrose
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e**c
发帖数: 327 | 16 楼主找到类似的书的时候通知一声。
我也一直想找这一类的书看看。 |
l*******1
发帖数: 61 | 17 邹老师，十五年前教我反卷积与信号复原。
好老师呀!真正做学问的人，人品好。现在这样的老师找不到了。他的讲义现在还保留
着。 |
g*****o
发帖数: 812 | 18 美国人写的书还好吧, 都非常厚, 废话多, 例子也多
【在 m****a 的大作中提到】
: 我感兴趣的是概念背后的实际意义，（大侠们暂缓拍砖，我有自知之明，不是
: 那种对应用没兴趣天生适合学纯数学的料，版上这种高人估计一抓一大把）。对于我等
: 俗人来说，直观通俗的形象思维+工程应用还是很重要，帮助理解概念，提升兴趣。
: 前面推荐的陈省身微积分讲义和龚昇的微积分五讲类似，确是大师之作，有高屋建瓴的
: 风范，不知道其他数学分支有类似的著作没有？
: 另外听说美国的数学教材写的比较好，有没有推荐的？
: 自己对国内过去用的教材很反感，凭空扔来几个定理，讲一堆枯燥的证明，花了一堆时
: 间也不知道这东西是怎么来的，有什么用。
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g****t
发帖数: 31659 | 19 你应该去看物理书吧?
【在 m****a 的大作中提到】
: 我感兴趣的是概念背后的实际意义，（大侠们暂缓拍砖，我有自知之明，不是
: 那种对应用没兴趣天生适合学纯数学的料，版上这种高人估计一抓一大把）。对于我等
: 俗人来说，直观通俗的形象思维+工程应用还是很重要，帮助理解概念，提升兴趣。
: 前面推荐的陈省身微积分讲义和龚昇的微积分五讲类似，确是大师之作，有高屋建瓴的
: 风范，不知道其他数学分支有类似的著作没有？
: 另外听说美国的数学教材写的比较好，有没有推荐的？
: 自己对国内过去用的教材很反感，凭空扔来几个定理，讲一堆枯燥的证明，花了一堆时
: 间也不知道这东西是怎么来的，有什么用。
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r*g
发帖数: 3159 | 20 最近在看 Mathematics: Form and Function by Saunders Mac Lane.
http://www.amazon.com/Mathematics-Form-Function-Saunders-MacLan
这本书作为overview还挺好看。
【在 m****a 的大作中提到】
: 本科学过高等数学，概率统计，线性代数，常微分，
: 如果想进一步提高对现代数学概念的认识，应该看什么书呢？
: 《数学，它的内容，方法和意义》貌似接近我应该读的书？英文书里
: 有没有类似的经典？
: 我非常不喜欢国内当年用的教材，但是很欣赏类似龚昇的微积分五讲
: 一类的从更高观点来讲述基本概念的书籍，能给人醍醐灌顶之感的书。
: 转贴一篇文章可以描述我希望的数学教育应该是怎么样的吧。当然版上都是专业大牛，
: 就当是科普吧。
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: 随记：我们需要怎样的数学教育？
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g****t
发帖数: 31659 | 21 好书。谢推荐。
【在 r*g 的大作中提到】
: 最近在看 Mathematics: Form and Function by Saunders Mac Lane.
: http://www.amazon.com/Mathematics-Form-Function-Saunders-MacLan
: 这本书作为overview还挺好看。
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B****n
发帖数: 11290 | 22 這篇文章挺有意思的 不過有個觀念我不同意 "对于平常人来说，真正能用到数学的地
方，也就只有算算帐了"
對一般人來說 其實生活中數學的應用很多 只是很多人沒有利用數學解決問題的習慣
我舉幾個例子 報章雜誌經常會有許多數據 有不少都有問題 數學的觀念清楚有時可以
讓你不被數據所騙
平常玩的紙牌遊戲 像撲克 橋牌這些 很大的程度上是機率的問題 如果靈活利用數學
可以簡化很多計算 得到正確機率的估計
玩股票 會點數學統計 往往可以有些有趣的發現 我一朋友是在ebay作data scientist
的 她開玩笑說她自己有點職業病 呵呵 往往可以從生活中(比方報紙上)許多複雜的數
據裡找出些道理或是問題所在
比較不常見的例子就更多了 比方說我一個數學的朋友寫象棋程式 演算法算的就是比較
快 裡面有不少數學的思考 不那麼專業的例子 寫遊戲的朋友 需要寫一個簡單的程式
讓一怪物在某時刻落到某定點 要寫一個隨時間的函式 本質上是高中的問題
有一個生物學的老師 他發現一些結構和數學裡面的permutation有很大的關係
【在 m****a 的大作中提到】
: 本科学过高等数学，概率统计，线性代数，常微分，
: 如果想进一步提高对现代数学概念的认识，应该看什么书呢？
: 《数学，它的内容，方法和意义》貌似接近我应该读的书？英文书里
: 有没有类似的经典？
: 我非常不喜欢国内当年用的教材，但是很欣赏类似龚昇的微积分五讲
: 一类的从更高观点来讲述基本概念的书籍，能给人醍醐灌顶之感的书。
: 转贴一篇文章可以描述我希望的数学教育应该是怎么样的吧。当然版上都是专业大牛，
: 就当是科普吧。
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: 随记：我们需要怎样的数学教育？
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s****b
发帖数: 2039 | |
