x******g
发帖数: 318 | 1 限用初等方法
若a^n+b^n=2，a，b∈R，n∈N，n≥2，
证明：a+b≤2，ab≤1 |
D*******a
发帖数: 3688 | 2 max a+b
s.t. a^n+b^n=2
use lagrangian can prove max=2
【在 x******g 的大作中提到】
: 限用初等方法
: 若a^n+b^n=2，a，b∈R，n∈N，n≥2，
: 证明：a+b≤2，ab≤1
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x******g
发帖数: 318 | 3 限用初等方法
【在 D*******a 的大作中提到】
: max a+b
: s.t. a^n+b^n=2
: use lagrangian can prove max=2
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H****h
发帖数: 1037 | 4 可以只考虑正数吗？
【在 x******g 的大作中提到】
: 限用初等方法
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x******g
发帖数: 318 | 5 n为偶数时可以，奇数时呢?
【在 H****h 的大作中提到】
: 可以只考虑正数吗？
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s******y
发帖数: 3 | 6 是不是可以把a^n+b^n配方成(a+b)^n的形式，再看啊。
【在 x******g 的大作中提到】
: 限用初等方法
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d****n
发帖数: 12461 | |
x******g
发帖数: 318 | 8 那是循环论证
【在 d****n 的大作中提到】
: Thanks. A typo.
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x******g
发帖数: 318 | |
n*******l
发帖数: 2911 | 10 1. If n is even, need only consider a>0, b>0.
Since f(x) = x^n is convex for x>0,
( (a+b)/2 ) ^n <= (a^n +b^n)/2 = 1.
Hence a+b <=2.
On the other hand, by Cauchy-Schwarz inequality,
2 = a^n +b^n >= 2 (ab)^(n/2).
Hence ab<=1.
2. If n is odd, it is impossible for both a and b to be negative. So two cas
es remain.
2(i). If both a>0, b>0, same as case 1.
2(ii). Without loss of generality, we suppose a>0>b = -c.
Then
a> 1 since a^n = 2 - b^n = 2 + c^n >= 2.
2 = a^n
【在 x******g 的大作中提到】
: 限用初等方法
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n*******l
发帖数: 2911 | 11 Dynkin's inequality is not correct since obviously
the powers are not balanced. But it is not fatal.
By Holder's inequality, we can prove
f(n) = ((a^n+b^n)/2)^(1/n)
is an increasing function of n>1 for a>0, b>0.
So
((a^n+b^n)/2)^(1/n)>= ( (a^2+b^2)/2 )^(1/2) >=(a+b)/2.
【在 x******g 的大作中提到】
: 但至少看起来像那么回事
: 呵呵
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d****n
发帖数: 12461 | |
n******t
发帖数: 4406 | 13 elementary proof for Hoelder's inequality?
【在 n*******l 的大作中提到】
: Dynkin's inequality is not correct since obviously
: the powers are not balanced. But it is not fatal.
: By Holder's inequality, we can prove
: f(n) = ((a^n+b^n)/2)^(1/n)
: is an increasing function of n>1 for a>0, b>0.
: So
: ((a^n+b^n)/2)^(1/n)>= ( (a^2+b^2)/2 )^(1/2) >=(a+b)/2.
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d****n
发帖数: 12461 | 14 这个有啥好证的？
两个平均不等式
((a^n+b^n)/2)^(1/n)>=(a^2+b^2)/2>=(a+b)/2, (a^2+b^2)/2>=ab
【在 x******g 的大作中提到】
: 限用初等方法
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x******g
发帖数: 318 | |
x******g
发帖数: 318 | 16 可能是我孤陋寡闻,我还从来没听说过画函数图像可以代表严格的证明
【在 d****n 的大作中提到】
: 这个有啥好证的？
: 两个平均不等式
: ((a^n+b^n)/2)^(1/n)>=(a^2+b^2)/2>=(a+b)/2, (a^2+b^2)/2>=ab
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t**********r
发帖数: 256 | 17 初等数学里的严格证明是什么意思？
平面几何里面的题，隐含使用图形连续性和凸性质的多了去了。
【在 x******g 的大作中提到】
: 可能是我孤陋寡闻,我还从来没听说过画函数图像可以代表严格的证明
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x******g
发帖数: 318 | 18 初等数学里的严格证明的范例可以参考几何原本
【在 t**********r 的大作中提到】
: 初等数学里的严格证明是什么意思？
: 平面几何里面的题，隐含使用图形连续性和凸性质的多了去了。
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t**********r
发帖数: 256 | 19 几何原本很多证明都隐含曲线连续性假设的,这你不知道?
最简单的例子,一个园,内外两点连一条曲线一定会和这个
园相交,这种例子多的是.
【在 x******g 的大作中提到】
: 初等数学里的严格证明的范例可以参考几何原本
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x******g
发帖数: 318 | 20 那是循环论证
【在 d****n 的大作中提到】
: Jenson吧。看图就可以了。
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x******g
发帖数: 318 | 21 但至少看起来像那么回事
呵呵
【在 t**********r 的大作中提到】
: 几何原本很多证明都隐含曲线连续性假设的,这你不知道?
: 最简单的例子,一个园,内外两点连一条曲线一定会和这个
: 园相交,这种例子多的是.
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