C**********n
发帖数: 164 | 1 求大牛帮忙解题，一定感激不尽，特大号包子答谢！！！
这个应该属于TOPOLOGY的范畴了。 |
A***C
发帖数: 143 | 2 右边的不等式是显而易见的，因为
||x||_2^2 -(||x||_1)^2 = - \sum_{i \neq j} |x_i||x_j| <= 0
关于左边的不等式，可以这样来证
(||x||_1/\sqrt n)^2=(1/n)\sum_{ij} |x_i||x_j|
=(1/n)x_i sign(x_i) sign(x_j) x_j
=x^T H x, where
H = hh^T/n, and h_i=sign(x_i)
易知H只有一个非零特征值，且其值为 ||h||_2/\sqrt n <=1
I-H半正定，这样
x^T (I-H)x >=0,
即 ||x||^2_2 - (||x||_1/\sqrt n)^2>0
【在 C**********n 的大作中提到】
: 求大牛帮忙解题，一定感激不尽，特大号包子答谢！！！
: 这个应该属于TOPOLOGY的范畴了。
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n***p
发帖数: 7668 | 3 不就是Cauchy不等式么？搞这么复杂。
【在 A***C 的大作中提到】
: 右边的不等式是显而易见的，因为
: ||x||_2^2 -(||x||_1)^2 = - \sum_{i \neq j} |x_i||x_j| <= 0
: 关于左边的不等式，可以这样来证
: (||x||_1/\sqrt n)^2=(1/n)\sum_{ij} |x_i||x_j|
: =(1/n)x_i sign(x_i) sign(x_j) x_j
: =x^T H x, where
: H = hh^T/n, and h_i=sign(x_i)
: 易知H只有一个非零特征值，且其值为 ||h||_2/\sqrt n <=1
: I-H半正定，这样
: x^T (I-H)x >=0,
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p*******5
发帖数: 6446 | 4 先两边取平方，展开后用a^2 + b^2 >= 2ab代入
【在 C**********n 的大作中提到】
: 求大牛帮忙解题，一定感激不尽，特大号包子答谢！！！
: 这个应该属于TOPOLOGY的范畴了。
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A***C
发帖数: 143 | 5 Starting from Cauchy inequality, 有简单的证法吗？
我从Cauchy inequality开始的证明还是很复杂。
【在 n***p 的大作中提到】
: 不就是Cauchy不等式么？搞这么复杂。
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n***p
发帖数: 7668 | 6 ||x||_1 = |x_1| + |x_2| +...+ |x_n|
= 1 |x_1| + 1 |x_2| +... + 1 |x_n|
<= (1^2 + 1^2+... + 1^2)^{1/2} (x_1^2 + x_2^2 +...+ x_n^2)^{1/2}
= n^{1/2} ||x||_2.
【在 A***C 的大作中提到】
: Starting from Cauchy inequality, 有简单的证法吗？
: 我从Cauchy inequality开始的证明还是很复杂。
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A***C
发帖数: 143 | 7 wow,
This is much better.
【在 n***p 的大作中提到】
: ||x||_1 = |x_1| + |x_2| +...+ |x_n|
: = 1 |x_1| + 1 |x_2| +... + 1 |x_n|
: <= (1^2 + 1^2+... + 1^2)^{1/2} (x_1^2 + x_2^2 +...+ x_n^2)^{1/2}
: = n^{1/2} ||x||_2.
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