o*******w
发帖数: 349 | 1 这是一个Volterra integral equation of the 2nd kind
众所周知，homogeneous 的， 即
a
y(x) = 0 + ∫ K(x,t) y(t) dt
x
只有trivial 解。但 当 a = –∞ 时， 有non-trivial 解。
我现在实际遇到的情形是
1
y(x) = 0 + ∫ K(x,t) y(t) dt
x
但 x << 1. 这也是有non-trivial 解的。怎么解呢？
我上网搜不到这类问题的研究。大牛们有何想法？ | o*******w
发帖数: 349 | 2 实际上我原是想求解
1
y(x) = ∫ K(x/t) * 1/t * y(t) dt --- (1)
x (x << 1)
下面是我的初步想法。抛个砖，大牛们上玉。设
K(x) = 1 + a1*(x-1) + a2*(x-1)^2 + ... + a_m*(x-1)^m
（即在1点的 Taylor 展开式）
不失一般性, 考虑
K(x/t) = 1 + a_m * (1 – x/t)^m
原方程为
1
y = ∫ [1 + a_m * (1 – x/t)^m ]*1/t * y(t) dt
x
两边对 x 求导得
1
y' = - 1/x * y(x) + a_m ∫ d/dx (1 – x/t)^m *1/t * y(t) dt
x
= - 1/x * y(x) + a_m ∫ m(1 – x/t)^(m-1) *(-1)/t^2 * y(t) dt
1
（注意到, a_m * (1 – x/x)^m = 0)
二阶导得
1
y''= {- 1/x * y(x)}' + a_m*m(m-1) ∫ (1 – x/t)^(m-2) *(-1)^2/t^3 * y(t) dt
x
三阶导得
y^{3} =
1
{- 1/x * y(x)}'' + a_m*m(m-1)(m-2) ∫ (1 – x/t)^(m-3) *(-1)^3/t^4 y(t)dt
x
...
m 阶导
1
y^(m) = {- 1/x * y(x)}^{m-1} + a_m*m(m-1)... ∫ (-1)^m/t^(m+1) * y(t)dt
x
m+1 阶导
y^(m+1) = {- 1/x * y(x)}^{m} - a_m*m(m-1)(m-2)...*1 * (-1)^m/x^(m+1) * y(x)
i.e.
y^(m+1) - {-1/x * y(x)}^{m} + a_m*m(m-1)(m-2)... * (-1)^m/x^(m+1) *y = 0
展开 {- 1/x * y(x)}^{m} 并整理上式得
~ x^(m+1)y^{m+1} + ~ x^m* y^{m} + ... + ~ x * y' + ~ y = 0 (2)
这里 ~ 是常数，为看起来简洁起见就不不详写了。可以验证，对一般的K(x/t) , 即
K(x/t) = 1 + a_1 * (1 – x/t) + ... + a_m * (1 – x/t)^m
我们仍得到 (2) 的形式， 这是一个标准的 Euler-Cauchy 微分方程，可解。
这样，Euler-Cauchy 常微分方程(2) 的解就是原方程
1
y(x) = ∫ K(x/t) * 1/t * y(t) dt --- (1)
x
的解。
【在 o*******w 的大作中提到】
: 这是一个Volterra integral equation of the 2nd kind
: 众所周知，homogeneous 的， 即
: a
: y(x) = 0 + ∫ K(x,t) y(t) dt
: x
: 只有trivial 解。但 当 a = –∞ 时， 有non-trivial 解。
: 我现在实际遇到的情形是
: 1
: y(x) = 0 + ∫ K(x,t) y(t) dt
: x
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